十三面體

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部分的十三面體
Space-Filling Triskaidecahedron.svg
空間填充十三面體
Elongated hexagonal pyramid.png
六角錐柱
Hendecagonal prism.png
十一角柱英语Hendecagonal_prism
Gyroelongated square pyramid.png
四角錐反角柱

幾何學中,十三面體英语:Tridecahedron[1])是指由十三組成的多面體。十三面體有許多不同的拓樸形式,例如十一角柱英语Hendecagonal_prism、十二角錐,但不包含正多面體,因為找不到一個正多邊形可以組成正十三面體,已知的正多面體只有五個[註 1][2]

十三面體中已知有177種結構屬於自身對偶多面體[註 2][3]、另外有96,262,938種不同拓樸結構的十三面體具有至少9個頂點[4],不同的拓撲結構,即他們面和頂點有不同的安排方式,使得其無法單靠扭曲或簡單地通過改變邊或面之間的長度或角度轉換成另一種多面體的多面體。

若不考慮規律性、對稱性或面是否為正多邊形或有無特殊性質的話,則十三面體有無限多種,例如:截一角十二面體五角化一面截兩角立方體[註 3]等各種產生十三個面的組合,以此類推[註 4]

常見的十三面體[编辑]

常見的凸十三面體有六角錐柱四角錐反角柱二側錐五角柱側錐六角柱的對偶、十一角柱英语Hendecagonal_prism、十二角錐和十一角錐台等,而非嚴格凸的十三面體則有十三面形立體

名稱
(頂點佈局)
立體圖 展開圖 頂點 對偶
六角錐柱 Cuboctahedron  13  三角形×6
正方形×6
六邊形×1
24 13 自身對偶
空間填充十三面體 Space-Filling Triskaidecahedron.svg Net of Space-Filling Triskaidecahedron.svg 13 四邊形×6
五邊形×6
六邊形×1
30 19
四角錐反角柱 Gyroelongated square pyramid.png Johnson solid 10 net.png  13  三角形×12
正方形×1
20 9 反四角錐
二側錐五角柱 Biaugmented pentagonal prism.png Johnson solid 53 net.png 13 三角形×8
正方形×3
五邊形×2
23 12
十一角柱英语Hendecagonal_prism Hendecagonal prism.png 13 正方形×11
十一邊形×2
33 22 雙十一角錐

空間填充十三面體[编辑]

空間填充十三面體
Space-Filling Triskaidecahedron.svg
類型 空間填充多面體
13
6個近似梯形 Tetragons of Space-Filling Triskaidecahedron.svg
6個五邊形 Pentagon of Space-Filling Triskaidecahedron.svg
1個正六邊形 Hexagon of Space-Filling Triskaidecahedron.svg
30
頂點 19
歐拉特徵數 F=13, E=30, V=19 (χ=2)

空間填充十三面體英语:Triskaidecahedron[5][6])是一種能夠完全堆滿三維空間而不留空隙的一種十三面體,具有13個面、30條邊和19個頂點。十三個面中,有六個梯形、六個五邊形和一個為正六邊形[7]

空間填充十三面體的對偶多面體

其多面體的對偶多面體是一個十九面體,類似扭稜半立方體,但是其中一個頂點再進行扭稜操作前被視為一個面。

圖像 旋轉動畫 展開圖
原本的多面體
13面體
Space-Filling Triskaidecahedron.svg Space-Filling Triskaidecahedron.gif Net of Space-Filling Triskaidecahedron.svg
對偶多面體
19面體
Image of a polyhedron vertice as a face to snub from hemicube.svg Animations of a polyhedron vertice as a face to snub from hemicube.gif Net of a polyhedron vertice as a face to snub from hemicube.svg

空間填充十三面體堆砌[编辑]

空間填充十三面體堆砌
Space-Filling Triskaidecahedral Honeycomb.svg
類型 均勻堆砌
十三面體 Space-Filling Triskaidecahedron.svg
棱處相交胞:3x十三面體
頂點處相交胞:4x十三面體
近似梯形{4} Tetragons of Space-Filling Triskaidecahedron.svg
五邊形{5} Pentagon of Space-Filling Triskaidecahedron.svg
正六邊形{6} Hexagon of Space-Filling Triskaidecahedron.svg
棱處相交面:3:3x{4}、{4}+2x{5}、{4}+{5}+{6}
頂點處相交面:6:2x{4}+3x{5}+{6}
頂點處相交棱:4

空間填充十三面體堆砌是三維空間內的一種均勻密鋪,由空間填充十三面體組成,也可以被看做是四維空間中的無限胞體,每個都是一個空間填充十三面體。在這個堆砌中,這些多面體質心形成點集可以包含在一種由兩種菱形組成的6配位鑲嵌圖中[7]

棱處相交胞
該堆砌的棱處相交胞為三個空間填充十三面體,頂點處相交面胞為四個空間填充十三面體。
棱處相交面
其棱處相交面皆為三個多邊形,對梯形而言,兩個底邊的棱處相交面為一個梯形和兩個五邊形,斜側邊的棱處相交面為三個四邊形,另外一個側邊的棱處相交面為一個梯形和兩個五邊形。對五邊形而言,底邊、兩個頂角側邊和其中一個下方側邊的棱處相交面也皆為一個梯形和兩個五邊形,另一個下方側邊的棱處相交面是四邊形、五邊形、六邊形。對正六邊形而言,棱處相交面皆為四邊形、五邊形、六邊形。
頂點處相交面與頂點處相交棱
頂點處相交面為6個多邊形,包含兩個梯形、三個五邊形以及一個六邊形。頂點處相交棱則有4條。

參見[编辑]

註釋[编辑]

  1. ^ ,即使存在有十三個面皆全等的十三面體,但它們仍然不能算是正多面體。正多面體除了每個面都全等之外每個面上的角與邊必須要等大,唯有正多邊形符合此條件,但這種十三面體的面不會是正多邊形。
  2. ^ 對偶多面體為自己本身的多面體
  3. ^ 將立方體截去兩個角,再將截完的結果中的其中一個五邊形面加上五角錐
  4. ^ 有無限多種能產生十三面的組合

參考文獻[编辑]

  1. ^ What Are Polyhedra?, with Greek Numerical Prefixes
  2. ^ proof of platonic solids mathsisfun.com [2016-1-10]
  3. ^ Self Dual Tridecahedron dmccooey.com [2016-1-10]
  4. ^ Counting polyhedra numericana.com [2016-1-10]
  5. ^ Oblate Rhombohedra 互联网档案馆存檔,存档日期2016-09-21. science.unitn.it [2016-1-10]
  6. ^ Virtual Polyhedra, Greek Numerical Prefixes, 1996, George W. Hart, georgehart.com [2016-1-10]
  7. ^ 7.0 7.1 A space-filling polyhedron with 13 faces 互联网档案馆存檔,存档日期2017-07-01. science.unitn.it [2016-1-10]