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分形

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曼德博集合分形中的一个很有名的例子。
中国大陆 分形
港台 碎形[1]

分形英语:Fractal),又称碎形残形,通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状,可以分成数个部分,且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状”[2],即具有自相似的性质。

分形思想的根源可以追溯到公元17世纪,而对分形使用严格的数学处理则始于一个世纪后卡尔·魏尔施特拉斯格奥尔格·康托尔费利克斯·豪斯多夫连续而不可微函数的研究。但是分形(fractal)一词直到1975年才由本华·曼德博创造出来,字源来自拉丁文 frāctus,有“零碎”、“破裂”之意。一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代方程,即一种基于递归反馈系统[3]。分形有几种类型,可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义。虽然分形是一个数学构造,它们同样可以在自然界中被找到,这使得它们被划入艺术作品的范畴。分形在医学土力学地震学技术分析中都有应用。

特征[编辑]

要做出科赫雪花,将正三角形每边中央三分之一的线段以一对同长的线段取代,形成一个等腰的“凸角”。再对上一步骤所形成的每一边做同样的动作。每一次迭代,总长度增加三分之一。科赫雪花即是无限次迭代的结果,有无限长的周界,但其面积还是有限的。因此,科赫雪花和其他相似构造有时会被称为“怪兽曲线”。

分形一般有以下特质:[4]

因为分形在所有的大小尺度下都显得相似,所以通常被认为是无限复杂的(以不严谨的用词来说)。自然界里一定程度上类似分形的事物有山脉闪电海岸线雪片、植物、多种蔬菜(如花椰菜西兰花)和动物的毛皮的图案等等。但是,并不是所有自相似的东西都是分形,如实直线虽然在形式上是自相似的,但却不符合分形的其他特质,比如说它能被传统的欧氏几何语言所描述。

分形的图像可以用分形生成软件作出。尽管用此类软件生成的图像并不具备上述分形的特征,比如说存在放大后无上述特征的局部区域,但是这些图像通常仍然被称为分形。而且这些图像可能含有由计算或显示造成的人为偏差——一些不属于分形的特征。

历史[编辑]

谢尔宾斯基三角形的动画表示,只显示出无限递归的最初九次。

17世纪时,数学家兼哲学家莱布尼茨思考过递归的自相似,分形的数学从那时开始渐渐地成形(虽然他误认只有直线会自相似)。

直到1872年,卡尔·魏尔施特拉斯才给出一个具有处处连续但处处不可微这种非直观性质的函数例子,其图像在现今被认为是分形。1904年,海里格·冯·科赫不满意魏尔施特拉斯那抽象且解析的定义,用更加几何化的定义给出一个类似的函数,今日称之为科赫雪花。1915年瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基造出了谢尔宾斯基三角形;隔年,又造出了谢尔宾斯基地毯。1938年,保罗·皮埃尔·莱维在他的论文《Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole》中将自相似曲线的概念更进一步地推进,他在文中描述了一个新的分形曲线-莱维C形曲线格奥尔格·康托尔也给出一个具有不寻常性质的实直线上的子集康托尔集,今日也被认为是分形。

复平面的迭代函数在19世纪末20世纪初被儒勒·昂利·庞加莱菲利克斯·克莱因皮埃尔·法图加斯东·茹利亚等人所研究,但直到现在有电脑绘图的帮忙,许多他们所发现的函数才显现出其美丽来。

1960年代,本华·曼德博开始研究自相似,且在路易斯·弗莱·理查德森之前工作的基础上,写下一篇论文《英国的海岸线有多长?统计自相似和分数维度》。最终,曼德博在1975年提出了“分形”一词,来标记一个豪斯多夫-贝西科维奇维数大于拓扑维数的物件。曼德博以显著的电脑绘制图像来描绘此一数学定义,这些图像征服了大众的想像;它们中许多都基于递归,导致了大众对术语“分形”的通俗理解。

朱利亚集,一个与曼德博集有关的分形。

示例[编辑]

一类分形的典型例子有:康托尔集谢尔宾斯基三角形地毯门格海绵龙形曲线空间填充曲线(皮亚诺曲线)科赫曲线。其他的例子包括李雅普诺夫分形克莱因群英语Kleinian Group的极限集。分形可以是确定性的,如上述所有的分形;也可以是随机的(即非确定性的)。比如说,平面上布朗运动的轨迹的豪斯多夫维数等于2。

混沌动力系统有时候会和分形联系起来。动力系统相空间中的对象可以是分形(参见吸引子),一族系统的参数空间中的对象也可以是分形。一个有意思的例子就是曼德博集。这个集合包含很多完整的圆盘,所以它的豪斯多夫维数等于它的拓扑维数2;但是真正令人惊讶的是,曼德博集的边界的豪斯多夫维数也是2(而拓扑维数是1),这个结果由宍仓光广(Mitsuhiro Shishikura)在1991年证明。一个与曼德博集紧密相关的分形是朱利亚集

完整曼德博集合
曼德博集合放大6倍
曼德博集合放大100倍
曼德博集合放大2000倍
即使将曼德博集合放大2000倍,还是会显示出类似整个集合的精细结构。

造法[编辑]

四个制造分形的一般技术如下:

分类[编辑]

分形也可以依据其自相似来分类,有如下三种:

  • 精确自相似:这是最强的一种自相似,分形在任一尺度下都显得一样。由迭代函数系统定义出的分形通常会展现出精确自相似来。
  • 半自相似:这是一种较松的自相似,分形在不同尺度下会显得大略(但非精确)相同。半自相似分形包含有整个分形扭曲及退化形式的缩小尺寸。由递推关系式定义出的分形通常会是半自相似,但不会是精确自相似。
  • 统计自相似:这是最弱的一种自相似,这种分形在不同尺度下都能保有固定的数值或统计测度。大多数对“分形”合理的定义自然会导致某一类型的统计自相似(分形维数本身即是个在不同尺度下都保持固定的数值测度)。随机分形是统计自相似,但非精确及半自相似的分形的一个例子。

应用[编辑]

如上所述,随机分形可以用来描述许多高度不规则的现实世界的物件。其他分形的应用亦包括[5]

软件[编辑]

参看[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ 分形学是门新兴的科学' 最近才广受人们注意PDF) - 国立台湾大学物理系(繁体中文)
  2. ^ Mandelbrot, B.B. The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Company. 1982. ISBN 978-0-7167-1186-5. 
  3. ^ Briggs, John. Fractals:The Patterns of Chaos. London : Thames and Hudson, 1992. 1992: 148. ISBN 0500276935. 
  4. ^ Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Ltd. 2003: xxv. ISBN 978-0-470-84862-3. 
  5. ^ Applications. [2007-10-21]. (原始内容存档于2007-10-12). 
  • Mandelbrot,B.B.,1967,How long is the coast of Britain? Statistical selfsimilarity and fractional dimension,Science,155,636~638
  • Mandelbrot,B.B.,1977,Fractals,Form,Chance and Dimension,San Francisco,W.H.Freeman&Co.
  • Mandelbrot,B.B.,1982,The Fractal Geometry of Nature,San Francisco,Freeman.
  • 李水根,2004,分形,北京:高等教育出版社
  • 陈颙 陈凌,2005,分形几何学,北京:地震出版社

外部链接[编辑]