虚数

$\vdots$

$i^{-3}=i$

$i^{-2}=-1$

$i^{-1}=-i$

$i^{0}=1$

$i^{1}=i$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-i$

$i^{4}=1$

$i^{5}=i$

$i^{6}=-1$

$\vdots$

$i^{n}=i^{n{\pmod {4}}}$

虚数是指可以写作实数与虚数单位$i$乘积的复数 ，并定义其性质为$i^{2}=-1$，以此定义，0可被视为同时是实数也是虚数（纯虚数）的数值。

17世纪著名数学家笛卡尔所著《几何学》（法语：La Géométrie）一书中，命名其为nombre imaginaire（虚构的数），成为了虚数（imaginary number）一词的由来。

后来在欧拉和高斯的研究之后，发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复数平面，复数平面上每一点对应着一个复数。

复数平面的图示。虚数位于垂直座标轴之上。

几何诠释

复数平面上乘以虚数单位表示旋转九十度

在几何学上，复数平面的垂直轴表示虚数，它们与代表实数的水平轴垂直。查看虚数的方法之一是参考标准数线：往右侧正幅度增长，往左侧则负幅度减少。在x轴的0点处，往上升方向可绘制y轴的“正”虚数，然后向上增加；而“负”虚数则往下增加。这个垂直轴通常被称为“虚数轴”，并被表示为$i\mathbb {R}$，Im，$\mathbb {I}$，或$\Im$。

在该呈现图示中，乘以–1对应于以原点为中心180度的旋转。$i$的乘法对应于“逆时针”方向的90度旋转，而方程式$i^{2}=-1$可被解释为，如果我们对原点应用两个90度旋转，则终了结果是单一个180度旋转。注意，“顺时针”方向的90度旋转也满足这种解释。这反映了$-i$也解出了方程$x^{2}=-1$。一般来说，乘以复数与以复数辐角围绕原点的旋转相同，然后按其大小进行缩放。

负数的平方根

更多信息：平方根 § 负数与复数的平方根

我们应该将根号视为求$x^{2}$的解，故将一个数开根号后会有两个合理的值，此二值互相差一个负号。在将正数开根号时，这两个值一为正数一为负数，故习惯上直接将根号对应到正值，而负值的解以根号前加负号来表示。但对其它的数而言开根号没有自然的对应，${\sqrt {-1}}$实际上代表的是两个数，分别为$+i$及$-i$。但若直接将${\sqrt {-1}}$对应到$+i$，而$-{\sqrt {-1}}$对应到$-i$也未尝不可。

性质

1. 不同的虚数都是不能比较大小的：$1<2\,$成立，但$1+i<2+i\,$和$i<2i\,$却均不成立。

举例说明：（反证法）

假设$i>0\,$

平方得$i^{2}>0\,$

得$-1>0\,$即可看出矛盾。

再举例：假设$i<0\,$

平方得$i^{2}>0\,$（不等式两侧同乘假设为负的$i$，不等式由小于变为大于）

得$-1>0\,$即可看出矛盾。

因此虚数或者说虚部不为0的复数不能比较大小。

2. 因为$i^{0}=1\,$，$i^{1}=i\,$，$i^{2}=-1\,$，$i^{3}=-i\,$，$i^{4}=1\,$，$\cdots$，很容易知道$i^{n}\,$（$n\in \mathbb {N} \,$）是关于指数$n\,$的周期函数，最小正周期是$4\,$。于是，我们有

$i^{1}+i^{2}+i^{3}+i^{4}=0\,$

这表示$i\,$为方程$x+x^{2}+x^{3}+x^{4}=0\,$的一个根，另三个根分别为$-i,-1\,$及$0\,$。

另外可以证明

$\omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\,$

和

${\overline {\omega }}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\,$

为下列方程的根

$x^{2}+x+1=0\,$

$x^{3}=1\,$

其中，${\overline {\omega }}\,$称为$\omega \,$的共轭虚数（或共轭复数）。

3. 如果再将虚数的这个概念扩展开去，就可以组成四元数（Quaternion）、八元数（Octonion）等特殊数学范畴。

参见

• 虚数单位
• 复数
• 四元数
• 八元数

外部链接

• 虚数i的介绍
• $i^{7321}\,$的计算方法举例
• i作为-1的平方根