黄金进制

黄金进制（英语：Golden ratio base）是使用黄金比φ作为底数的进位制，其中 ${\textstyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803399\ldots }$ 是一个无理数。在英语中，黄金进制也叫做base-φ、golden mean base、phi-base、phinary。在黄金进制下，任何非负整数都约定使用0和1表示，并且不连续使用两个1，这叫做黄金进制的标准形。任何黄金进制的数凡是出现11，就一定可以根据黄金比φ的性质 φ^$n$+φ^{$n -1$}=φ^{$n +1$} 表示成标准形。例如，11_φ = 100_φ。

虽然黄金进制使用无理数作为基底，任何非负整数在黄金进制下都可以表示成有限小数。所有有理数则都可以表示成循环小数。所有数的有限表示都是唯一的，但和十进制一样，整数和有限小数都可以写成无限小数的形式，如十进制中的 1 = 0.99999…。

举例

十进制数	用φ的幂表示	φ进制数
1	φ⁰	`1`
2	φ¹ + φ⁻²	`10.01`
3	φ² + φ⁻²	`100.01`
4	φ² + φ⁰ + φ⁻²	`101.01`
5	φ³ + φ⁻¹ + φ⁻⁴	`1000.1001`
6	φ³ + φ¹ + φ⁻⁴	`1010.0001`
7	φ⁴ + φ⁻⁴	`10000.0001`
8	φ⁴ + φ⁰ + φ⁻⁴	`10001.0001`
9	φ⁴ + φ¹ + φ⁻² + φ⁻⁴	`10010.0101`
10	φ⁴ + φ² + φ⁻² + φ⁻⁴	`10100.0101`

转化到标准形

211.01_φ是φ进制数，但并非标准形，因为它含有“11”和“2”，以及1=-1。我们可以根据以下公式将它转化到标准形：

011_φ = 100_φ
0200_φ = 1001_φ
010_φ = 101_φ

公式的代换过程对结果没有影响。具体过程如下：

  211.01_φ
  300.01_φ     011_φ → 100_φ
 1101.01_φ     0200_φ → 1001_φ
10001.01_φ     011_φ → 100_φ (again)
10001.101_φ    010_φ → 101_φ
10000.011_φ    010_φ → 101_φ (again)
10000.1_φ      011_φ → 100_φ (again)

任意非标准形正数都可以唯一地标准化。这样处理之后如果第一位是负数，此时需要将每一位数都变成相反数，重新标准化并加上负号。例如：

101_φ = -101_φ = -110.1_φ = -1.1_φ = -10_φ

整数的黄金进制表示

通常所说的整数在黄金进制下是有限小数。例如，整数5转化成黄金进制的过程如下所示：

5以下φ的最高次幂是 φ³ = 1 + 2φ ≈ 4.236；
与5求差为5 - (1 + 2φ) = 4 - 2φ ≈ 0.763；
0.763以下最大的φ的幂是 φ^－1 = -1 + 1φ ≈ 0.618；
再次求差，4 - 2φ - (-1 + 1φ) = 5 - 3φ ≈ 0.145
0.145以下最大的φ的幂是 φ^－4 = 5 - 3φ ≈ 0.145；
再次求差得到0
于是：　5 = φ³ + φ^－1 + φ^－4

5用φ进制表示就是1000.1001_φ。

这里其实利用了以下事实：凡φ的幂都可以用整数a、b表示成 a + b φ 的形式。因为 φ² = φ + 1 、φ^－1 = -1 + φ 。如此一来，数之间比大小就容易了。实际上，a + bφ > c + dφ 和 2(a － c) － (d － b) > (d － b) × √5 等价。只需将 φ = (1+√5)/2 代入，稍作处理就可得到这一结果。

黄金进制下的有限小数不全是整数，还包括环 $\mathbb {Z} [\phi ]:=\{a+b\phi \mid a,b\in \mathbb {Z} \}$ 的元素。

数的表示不唯一

和其他进位制相同，黄金进制中也可以用多种形式表示同一个数。就像10进制中0.999...=1，φ进制中0.1010101…_φ=1。

使用非标准形变换：1 = 0.11_φ = 0.1011_φ = 0.101011_φ = … = 0.10101010…_φ
使用等比级数展开：1.0101010…_φ 等于
$\sum _{k=0}^{\infty }\phi ^{-2k}={\frac {1}{1-\phi ^{-2}}}=\phi$
错项相减：φ² x - x = 10.101010…_φ - 0.101010…_φ = 10_φ = φ 所以 x = φ/(φ² － 1) = 1

这种不唯一是进位制的特征，1.0000和0.101010…都是标准形。一般地，φ进位制中数最后的1用01循环代替即可得到另一标准形。

有理数的黄金进制表示

在黄金进制中，可以用有限小数或者循环小数表示任意非负有理数，以及从有理数和√5生成的域Q[√5]中的非负元素。其中

\mathbb {Q} (\phi )=\mathbb {Q} ({\sqrt {5}}):=\{a+b{\sqrt {5}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}

相反地，黄金进制中的有限/循环小数都是Q[√5] 中的非负元素。例如：

1/2 ≈ 0.010 010 010 010 ... _φ
1/3 ≈ 0.00101000 00101000 00101000... _φ
√5 = 10.1_φ
2+(1/13)√5 ≈ 10.010 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 ..._φ

对这一点的证明与十进制中类似。在黄金进制下进行长除法。因为其余数的可能值是有限个，所以必定会出现循环。例如 1/2 = 1/10.01_φ = 100_φ/1001_φ 进行长除法如下：

               .0 1 0 0 1
        ________________________
1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0
            1 0 0 1                        代换 10000 = 1100 = 1011
            _______                        于是 10000-1001 = 1011-1001 = 10
                1 0 0 0 0
                  1 0 0 1
                  _______
                      etc.

反之，黄金进制中的循环小数都属于Q[√5]。因为循环部分形成了等比级数，对它求和即可得到Q[√5]的元素。

无理数的黄金进制表示

常见无理数的黄金进制表示如下：

π ≈ 100.010010101001000101010100 …_φ （OEIS数列A102243）
e ≈ 100.000010000100100000000100 …_φ （OEIS数列A105165）
√2 ≈ 1.0100000101001010010000000101 …_φ （OEIS数列A352678）
φ = ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ = 10_φ（在此计数系统为整数）
√5 = 10.1_φ

四则运算

在黄金进制中可以和其它进制一样进行四则运算。加法、减法、乘法的计算方法如下：

加、减、乘

先计算，后转化

即先对每一位按十进制数的方法计算，但不进行进位、借位，计算完再转化为标准形。例如：

2+3 = 10.01 + 100.01 = 110.02 = 110.1001 = 1000.1001

2×3 = 10.01 × 100.01 = 1000.1 + 1.0001 = 1001.1001 = 1010.0001

7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 10010.0101 = 1110.0101 = 1001.0101 = 1000.1001

避免0和1以外的数

更加自然的做法是将数转化为非标准形，以避免出现需要进位和借位的 1+1 或 0-1 。例如：

2+3 = 10.01 + 100.01 = 10.01 + 100.0011 = 110.0111 = 1000.1001

7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 1100.0001 - 10.01 = 1011.0001 - 10.01 = 1010.1101 - 10.01 = 1000.1001

除法

除了整数以外，所有有理数都不能用有限位φ进制数表示。也就是说，黄金进制中能用有限小数表示的数只有整数或者域Q[√5]中的无理数。两个整数相除得到有理数的情况已经在上文说明了。

斐波那契进制

斐波那契进制（Fibonaccimal Base）是与黄金进制关系紧密的计数系统。它只用0和1表示数，每个数位的位值对应斐波那契数^[1]。和黄金进制一样，其标准形也不连续使用两个1。如：

30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010_fib.

由于最末位始终为零，因此有时会将之省去^[1]，而省去后的结果则与齐肯多夫表述法相同^[2]。

参见

进位制

外部链接

Using Powers of Phi to represent Integers (Base Phi)（页面存档备份，存于互联网档案馆）

参考资料

^ ^1.0 ^1.1 Fibonaccimal Base. onlinejudge.org. [2022-10-06]. （原始内容存档于2022-10-09）.
^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A014417 (Representation of n in base of Fibonacci numbers (the Zeckendorf representation of n)). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

Bergman, George, A Number System with an Irrational Base, Mathematics Magazine, 1957, 31 (2): 98–110 [2011-01-13], doi:10.2307/3029218, （原始内容存档于2015-11-07）
Plojhar, Jozef, the Good~natured Rabbit~breeder, Manifold, 1971, 11: 26–30

[Fibonaccimal_Base-1] 1.0 ^1.1 Fibonaccimal Base. onlinejudge.org. [2022-10-06]. （原始内容存档于2022-10-09）.

[2] Sloane, N.J.A. (编). Sequence A014417 (Representation of n in base of Fibonacci numbers (the Zeckendorf representation of n)). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

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查论编进制的记数系统
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