二十面截角十二面十二面體

二十面截角十二面十二面體
類別	均勻星形多面體
對偶多面體	三重二方二十面體（英語：Tridyakis icosahedron）
識別
名稱	二十面截角十二面十二面體; Icositruncated dodecadodecahedron; icosidodecatruncated icosidodecahedron
參考索引	U45, C57, W84
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	idtid
數學表示法
威佐夫符號; （英語：Wythoff symbol）	3 5 5/3 \|; 3 5/3 5 \|; 5/3 3 5 \|
性質
面	44
邊	180
頂點	120
歐拉特徵數	F=44, E=180, V=120 （χ=-16）
組成與佈局
面的種類	20個正六邊形; 12個正十邊形; 12個十角星
頂點圖	6.10.10/3
對稱性
對稱群	Ih, [5,3], *532
圖像
	; 6.10.10/3; （頂點圖）
	; 三重二方二十面體（英語：Tridyakis icosahedron）; （對偶多面體）
	閱; 論; 編;

在幾何學中，二十面截角十二面十二面體是一種星形均勻多面體，由20個正六邊形、12個正十邊形和12個十角星組成^[5]^[6]，其索引為U₄₅，對偶多面體為三重二方二十面體（英語：Tridyakis icosahedron）^[1]，具有二十面體群對稱性（英語：Icosahedral symmetry）。^[7]^[5]^[8]

性質

二十面截角十二面十二面體共由44個面、180條邊和120個頂點組成^[7]^[9]。在其44個面中，有20個正六邊形、12個十邊形和12個十角星^[5]^[6]。在其120個頂點中，每個頂點都是六邊形、十邊形和十角星的公共頂點，並且這些面在頂點周圍依照六邊形、十邊形和十角星的順序排列，在頂點圖中可以用[6,10,10/3]^[10]或(10/3.6.10)^[11]^[8]^[7]^[4]來表示。

表示法

二十面截角十二面十二面體在考克斯特—迪肯符號（英語：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示為^[4]（x5/3x3x5*a）^[12]，在威佐夫記號中可以表示為3 5/3 5 |^[1]^[2]^:130或5/3 3 5 |^[3]^[4]。

分類

由於二十面截角十二面十二面體的頂點圖為不等邊三角形且具備點可遞的特性，同時，其存在自相交的面，並可以透過星形正多面體進行廣義截角來構造，因此二十面截角十二面十二面體是一種自相交截角擬正多面體（Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra）。自相交截角擬正多面體一共有五種，分別為立方截角立方八面體、星形截角截半立方體、二十面截角十二面十二面體、截角截半大十二面體和大截角截半二十面體。^[13]這些立體由阿爾伯特·巴杜羅（Albert Badoureau）和約翰·皮奇（Johann Pitsch）於1881年發現並描述。^[14]^[15]

尺寸

若二十面截角十二面十二面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為2單位。^[16]

邊長為單位長的二十面截角十二面十二面體，中分球半徑為二分之根號十五：^[5]^[6]

R_{M}={\frac {\sqrt {15}}{2}}\approx 1.9364916731037

二面角

二十面截角十二面十二面體有三種二面角，分別為十邊形面和六邊形面的二面角、十邊形面和十角星面的二面角以及十角星面和六邊形面的二面角。^[10]^[5]

其中十邊形面和六邊形面的二面角約為100.812度^[10]^[5]：

\arccos \left(-{\frac {\sqrt {15\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)\approx 1.759506857578\approx 100.812316964^{\circ }

十邊形面和十角星面的二面角為負根號五倒數的反餘弦值^[10]，約為116.565度^[10]^[5]：

\arccos \left(-{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)\approx 2.0344439357957\approx 116.565051177^{\circ }

十角星面和六邊形面的二面角約為142.6226度^[10]^[5]：

\arccos \left(-{\frac {\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)\approx 2.4892345138\approx 142.622631859^{\circ }

頂點座標

二十面截角十二面十二面體的頂點座標為下列座標的偶置換：^[5]

\left(\pm \left(2-{\frac {1}{\tau }}\right),\pm 1,\pm \left(2+\tau \right)\right)

\left(\pm 1,\pm {\frac {1}{\tau ^{2}}},\pm \left(3\tau -1\right)\right)

\left(\pm 2,\pm {\frac {2}{\tau }},\pm 2\tau \right)

\left(\pm 3,\pm {\frac {1}{\tau ^{2}}},\pm \tau ^{2}\right)

\left(\pm \tau ^{2},\pm 1,\pm \left(3\tau -2\right)\right)

其中， $\tau ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ 為黃金比例。

參見

均勻多面體

參考文獻

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閱論編均勻多面體
四面體群對稱	正四面體截角四面體四面半六面體
八面體群對稱	立方體正八面體截角立方體截角八面體截半立方體小斜方截半立方體大斜方截半立方體扭棱立方體八面半八面體立方半八面體小斜方立方體小立方立方八面體非凸大斜方截半立方體星形截角立方體大斜方立方體大立方截半立方體立方截角立方八面體星形截角截半立方體
二十面體群對稱	正十二面體正二十面體小星形十二面體大十二面體大星形十二面體大二十面體截角十二面體截半二十面體截角二十面體小斜方截半二十面體大斜方截半二十面體扭棱十二面體大雙三斜三十二面體小十二面半十二面體大十二面半十二面體小十二面半二十面體大十二面半二十面體小二十面半十二面體大二十面半十二面體小十二面二十面體大十二面二十面體斜方二十面體小斜方十二面體大斜方十二面體小十二面截半二十面體大十二面截半二十面體小雙三角十二面截半二十面體大雙三角十二面截半二十面體小二十面化截半二十面體大二十面化截半二十面體雙三斜十二面體小雙三斜三十二面體大截半二十面體截角大十二面體截半大十二面體小星形截角十二面體大星形截角十二面體截角大二十面體斜方截半大十二面體非凸大斜方截半二十面體二十面截角十二面十二面體二十面化截半大十二面體截角截半大十二面體大截角截半二十面體大二重斜方截半二十面體大二重扭稜二重斜方十二面體完全扭稜二十面體小反屈扭稜二十面截半二十面體大反屈扭稜截半二十面體扭稜小星形十二面體反扭稜小星形十二面體扭稜大星形十二面體反扭稜大星形十二面體大扭稜十二面截半二十面體扭稜二十面化截半大十二面體
其他	柱狀均勻多面體星形均勻多面體