極限點(英語:Limit point)在數學中是指可以被集合S中的點[註 1]隨意逼近的點。[註 2]
這個概念有益的推廣了極限的概念,並且是諸如閉集和拓撲閉包等概念的基礎。實際上,一個集合是閉合的當且僅當他包含所有它的極限點,而拓撲閉包運算可以被認為是通過增加它的極限點來擴充一個集合。[註 3]
為拓撲空間 ( 其拓撲為 ) 的子集且 ,若所有 的開集也包含至少一個 內的非x的點,即
稱 為 的極限點(注意到 不一定屬於 )。由 內所有極限點所組成的集合稱為 的導集,標記為。
在T1空間裡,上述定義和要求 的每個鄰域皆包含無限多個 的點是等價的。[註 4]
另外,若X為序列空間,則可稱x ∈ X為S的極限點,若且唯若存在一個由S \ {x}的點組成的ω序列,其極限為x;這也是「極限點」此一名稱的由來。
特殊類型的極限點[編輯]
如果包含x的所有開集都包含無限多個S的點,則x是特殊類型極限點,稱為S的ω‐會聚點(ω‐accumulation point)。
如果包含的所有開集都包含不可數多個的點,則是特殊類型的極限點,稱為的縮合點(condensation point)。
ω‐會聚點[編輯]
在度量空間中,ω‐會聚點與普通的極限點定義等價。在拓撲空間中,兩者概念不再等價。對於非強拓撲空間,一個所有ω‐會聚點都屬於本身的集合不一定是閉集,但一個所有極限點都屬於本身(導集包含於自身)的集合必爲閉集。
度量空間的聚集點[編輯]
在帶有度量函數 的度量空間 且有 和 ,若對所有 ,存在 值使得 ,也就是
這樣稱 是 的聚集點(cluster point)或會聚點(accumulation point)。直觀上意為, 可以被 裡的點(以度量 的意義上)無限制地逼近。
應用上, 為定義域的聚集點也是函數極限能在 上有定義的前提條件。
- 關於極限點的性質:是的極限點,當且僅當它屬於 \ {}的閉包。
- 證明:根據閉包定義,某點屬於某集合的閉包,當且僅當該點的所有鄰域都和該集合相交。則有:x是的極限點,當且僅當所有的鄰域都包含一個非的點屬於S,當且僅當所有的鄰域含有一個點屬於\ {x},當且僅當屬於的閉包。
- 的閉包具有下列性質:的閉包等於和其導集的併集。
- 證明:(從左到右)設屬於的閉包。若屬於S,命題成立。若,則所有的鄰域都含有一個非的點屬於;也就是說,x是的極限點,。(從右到左)設屬於S,則明顯地所有的鄰域和相交,所以屬於的閉包。若屬於L(S),則所有的鄰域都含有一個非的點屬於S,所以也屬於的閉包。得證。
- 上述結論的推論給出了閉集的性質:集合是閉集,當且僅當它含有所有它的極限點。
- 證明1:S是閉集,當且僅當等於其閉包,當且僅當=∪ L(S),當且僅當L(S)包含於S。
- 證明2:設是閉集,是的極限點。則必須屬於S,否則的補集為的開鄰域,和不相交。相反,設包含所有它的極限點,需要證明的補集是開集。設屬於的補集。根據假設,x不是極限點,則存在的開鄰域U和不相交,則U在的補集中,則的補集是開集。
- 孤點不是任何集合的極限點。
- 證明:若是孤點,則{x}是只含有的的鄰域。
- 空間是離散空間,當且僅當的子集都沒有極限點。
- 證明:若是離散空間,則所有點都是孤點,不能是任何集合的極限點。相反,若不是離散空間,則單元素集合{x}不是開集。那麼,所有{x}的鄰域都含有點y ≠ x,則是的極限點。
- 若空間有密着拓撲,且是的多於一個元素的子集,則的所有元素都是的極限點。若是單元素集合,則所有\的點仍然是的極限點。
- 說明:只要\ {x}非空,它的閉包就是X;只有當是空集或是的唯一元素時,它的閉包才是空集。