閉集

滿足$x^{2}+y^{2}=r^{2}$的點$(x,y)$著藍色。滿足$x^{2}+y^{2}<r^{2}$的點$(x,y)$著紅色。紅色的點形成了開集。紅色和藍色的點的併集是閉集。

在拓撲空間中，閉集是指其補集為開集的集合。在一個拓撲空間內，閉集可以定義為一個包含所有其極限點的集合。在完備度量空間中，一個閉集的極限運算是閉合的。不要混淆於閉流形。

閉集等價的定義

在一個任意的拓撲空間$(X,{\mathcal {T}})$內，一個集合$C$是閉集若且唯若它與它的閉包${\bar {C}}$相同。等價地，一個集合$C$是閉集若且唯若所有的極限點都是這個集合中的點；也就是，$C'\subseteq C$。

性質

閉集包含其自身的邊界。換句話說，這個概念基於「外部」的概念，如果你在一個閉集的外部，你稍微「抖動」一下仍在這個集合的外部。注意，這個概念在邊界為空的時候還是真的，比如在有理數的度量空間中，對於平方小於2的數的集合。

任意多個閉集的交集是閉集；有限多個閉集的併集是閉集。特別的，空集和全空間是閉集。

交集的性質也被用來定義空間$X$上的集合$A$的閉包，即$X$的閉合子集中最小的$A$的父集。特別的，$A$的閉包可以通過所有的其閉合父集的交集來構造。

例子

• 區間$[a,b]$在實數上是閉集。（方括號、圓括號的集合符號，參見區間文中的解釋。）
• 單位區間$[0,1]$在實數$\mathbb {R}$的度量空間中是閉集。而集合$[0,1]\cap \mathbb {Q}$在有理數$\mathbb {Q}$上是閉集，但在實數$\mathbb {R}$上並不是閉集。
• 有些集合既不是開集也不是閉集，如實數$\mathbb {R}$上的半開區間$[0,1)$。
• 有些集合既是開集也是閉集叫做閉開集，最簡單的例子就是空集合以及拓樸空間本身。
• 半區間$[1,\infty )$在實數$\mathbb {R}$上是閉集。
• 康托爾集是一個獨特的閉集，它包含所有邊界點，並且沒有一處是稠密的。
• 僅包含一個點的集合（顯然它是有限集）在豪斯多夫空間內是閉集。
• 如果$X$和$Y$是拓撲空間，而$f$是一個從$X$到$Y$的連續函數當且僅當$Y$中任意的閉集$C$的原像$f^{-1}(C)$在$X$中也是閉集。

細說

上述閉集的定義是根據開集而來得，這一概念在拓撲空間上是有意義的，同時也適用於含有拓撲結構的其他空間，如度量空間、可微流形、一致空間和規格空間。

另一種對閉集的定義是通過序列。拓撲空間$X$上的子集$A$是閉合的，若且唯若$A$的元素組成的任意序列的任意極限仍然屬於$A$。這一表述的價值在於，它可以用在收斂空間的定義中，而收斂空間比拓撲空間更普通。注意，這一表述仍然依賴背景空間$X$，因為序列是否在$X$中收斂依賴於$X$中的點。

集合是否是閉合的通常取決於它所在的空間。然而在某種意義上，緊緻的豪斯多夫空間是「絕對閉合的」。精確地說，將緊緻的豪斯多夫空間$K$放在任意豪斯多夫空間$X$中，$K$總是$X$的一個閉合子集；這和「背景空間」沒有關係。實際上，這個性質刻畫了緊緻的豪斯多夫空間。

參見

• 開集
• 閉開集
• 閉包