大地水准面

EGM96模型给出的全球大地水准面高分布图，红、蓝两色分别表示高于和低于椭球面

大地水准面（德語：Geoid）是指地球重力场中，与处于自由静止状态的海平面相重合或最为接近的重力等位面。大地水准面的概念最早由德国大地测量学家卡尔·弗里德里希·高斯在1828年提出，当时高斯以“地球的数学表面”来指称与重力方向相垂直、且包含了静止的平均海水面的几何表面，并提出将前述的重力等位面作为大地高的基准面。其后，高斯的学生利斯廷于1873年创造出了“Geoid”一词，用以描述高斯所提出的数学表面。

大地水准面在大地测量学中被视为地球的物理形状和数学形状。由于自然的地形表面形态过于复杂，在大地测量学中，通常将重力场中整体形状与自然表面最为接近的等位面作为地球的形状进行研究。处于静力平衡状态下的平均海水面被视作是符合这一标准的重力等位面，该海水面不受潮汐、风浪及大气压变化影响，仅在地球引力和因地球自转产生的离心惯性力的作用下保持平衡。因此，将此平均海水面所处的重力等位面延伸到陆地内部，其形成的闭合曲面即为大地水准面，其所包围的形体又被称为大地体。

1849年，英国物理学家斯托克斯提出了计算大地水准面的斯托克斯方法，即将重力位分为正常重力位与扰动位两部分。斯托克斯将一个理想的、与大地水准面最为密合的旋转椭球面作为正常重力位的等位面，并以大地水准面高描述大地水准面相对于该参考椭球面的起伏，通过扰动位计算出大地水准面高，从而确定大地水准面的形状。传统的测定大地水准面的方式是通过在地面上建立天文大地网的方式进行测量，再以斯托克斯方法进行计算。这种方式受到海洋和境界的分隔，往往只能求得一定区域内的地球形状。随着20世纪中后期卫星重力测量等技术逐渐发展成熟，全球范围的大地水准面形状得以被精确地测定。而在斯托克斯方法的基础上，莫洛坚斯基、布耶哈马等人亦提出了确定大地水准面的新方法。

大地水准面是测量外业所依据的基准面，在测量学中具有重要地位。在各类高程系统中，正高系统是基于大地水准面建立的。如何确定大地水准面的形状，是物理大地测量学所研究的关键问题之一。

起伏

主条目：大地水准面高

大地水准面的起伏又称大地水准面高或大地水准面差距，是指大地水准面上的某一点，与其沿法线投影到参考椭球面上的相应位置之间的距离。

形状

表现大地水准面差距的假彩色图像，差距放大了10,000倍，地形添加了阴影效果

表现大地水准面差距的假彩色图像，差距按比例表示

从数学上看，大地水准面是一个连续但不规则的闭合曲面，它与经过这一曲面的铅垂线处处正交。地球内部质量分布，特别是外层质量分布的不均匀性，使得大地水准面的形状变得特别复杂。在密度突变的区域，大地水准面的曲率会表现出不连续性。因此，大地水准面并非是解析曲面。

大地水准面的形状可以用椭球面近似，该椭球面也被称为参考椭球面。以WGS84坐标系中的椭球为例，其长半轴位于赤道面上，长度约6,378,137米；短半轴指向极点，长度约6,356,752米，比长半轴短约21千米。大地水准面的起伏从最高点到最低点的范围仅不到200米。在这一差距被放大的情况下，大地水准面的形状则与土豆或梨相似。。相对于参考椭球面，大地水准面的最高点出现在冰岛，为+85米；最低点出现在印度南部，为−106米。

从赤道观察大地水准面（红线）相对于参考椭球面（黑线）的形状，两者间的差值为同一纬线上大地水准面差距的平均值

从地极处观察大地水准面（红线）相对于参考椭球面（黑线）的形状，两者间的差值为同一经线上大地水准面差距的平均值

尽管大地水准面是一个不规则的曲面，但它仍比真实的地形表面更加平滑。相对于大地水准面，真实地形表面的最高点在珠穆朗玛峰，高度为+8,848 米；其最低点在马里亚纳海沟，高度为−11,034米。

模型

由于大地水准面是重力等位面，其形状的表达可以隐含在以椭球坐标 $(r,\phi ,\lambda )$ 表达的重力位模型 $W$ 中。这即意味着，在建立出重力位模型 $W(r,\phi ,\lambda )$ 后，只要确定大地水准面处的重力位大小 $W_{0}$，则大地水准面的形状即为方程 $W(r,\phi ,\lambda )=W_{0}$ 的解。其中，$r\$是空间中某点的地心距离， $\phi \$和 $\lambda \$分别是椭球面上点的地心纬度和经度。

在建立重力位模型 $W$ 的过程中，重力位被分成引力位 $V$ 和离心力位 $\Phi$ 两部分（即 $W=V+\Phi$）， 其中离心力位 $\Phi$ 能够根据地球的自转角速度 $\omega$ 和点在空间中的坐标 $(x,y,z)$ 直接计算得到：

$\Phi ={1 \over 2}{\omega }^{2}(x^{2}+y^{2})$

然而，引力位 $V$ 实际上是由边界内部的质量分布所决定的，这在确定大地水准面的过程中始终是未知量。因此，需要通过在大地水准面上的观测值来求得满足一定条件的引力位函数，这样的问题也即大地测量边值问题。通常，这一问题的解法是利用引力位在质体边界面的外部满足拉普拉斯方程的性质，在边界面的外部将其展开成用球谐级数进行逼近。值得注意的是，这一过程是在假设大地水准面的外部没有质量分布的情况下进行的。如何计算大地水准面外部的质量分布对地球重力位的影响并予以去除的过程，是重力归算所研究的问题的一部分。

引力位的球谐表达式

给定一球面半径为 $a$，引力位 $V$ 可以在球面外部（$r>a$）展开成如下形式：

$V={\frac {GM}{r}}{\sum _{n=0}^{n_{\text{max}}}}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}{\sum _{m=0}^{n}}{\overline {P}}_{nm}(\sin \phi )\left[{\overline {C}}_{nm}\cos m\lambda +{\overline {S}}_{nm}\sin m\lambda \right]$

上式中的各个量的含义如下：

• $GM$ 为重力场模型的地心引力常数
• $n_{\text{max}}$为该重力场模型的最大阶数

• $(r,\phi ,\lambda )$ 为前述的椭球坐标
• ${\overline {P}}_{nm}$ 是 $n\$阶 $m\$次的完全正规化缔合勒让德多项式
• ${\overline {C}}_{nm}$ 和 ${\overline {S}}_{nm}$ 是由测量数据所确定的该重力场模型的完全正规化系数

其中，当 $n=0$ 时，${\overline {P}}_{00}(\sin \phi )=1$，${\overline {C}}_{00}=1$，则求和符号右侧所有项的和为 $1$；当 $n=1$ 时，${\overline {C}}_{1,m}={\overline {S}}_{1,m}=0$，则求和符号右侧所有项的和为 $0$. 因此，上式可进一步表达为如下形式：

$V={\frac {GM}{r}}\left(1+{\sum _{n=2}^{n_{\text{max}}}}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}{\sum _{m=0}^{n}}{\overline {P}}_{nm}(\sin \phi )\left[{\overline {C}}_{nm}\cos m\lambda +{\overline {S}}_{nm}\sin m\lambda \right]\right)$

在得到引力位 $V$ 和椭球面坐标为 $(r,\phi ,\lambda )$ 的关系后，再将其与离心力位模型 $\Phi$ 复合，既可得到重力位模型 $W$. 大地水准面的形状既可表达为 $W(r,\phi ,\lambda )=W_{0}$. 此外，由于重力位的梯度即为重力矢量（即 $\nabla W=\mathbf {g}$）， 这一模型同时也定义出了重力加速度的大小。在实际的模型建立的过程中，也常取引力位中的数阶最大项作为正常重力场中的引力位，再将余下的引力位以扰动位的形式进行表达，正常重力场中的等位面即为参考椭球面。在美国国家地理空间情报局（NGA）发布的EGM96模型中，$n_{\text{max}}=360$，即该模型给出了最高完全至360阶次的重力场模型系数，其表达的大地水准面的分辨率可达55千米或110千米（取决于对分辨率定义的不同）。而在2009年，NGA又发布了最大阶数$n_{\text{max}}=2190$，最高完全阶次则为2159次的EGM08模型，其大地水准面的分辨率可达12米，精度在全球范围类则可达±15厘米。

现有的地球重力场模型

21世纪以来，利用CHAMP、GRACE等重力卫星的测量数据，以及海洋测高重力数据和地面重力数据等多种数据源，高精度且高时空分辨率（可达厘米级）的地球重力场模型得以被建立。这些重力场模型由国际地球重力场模型中心（ICGEM）负责收集和存档，并对其进行可视化、建模、计算以及使用DOI进行标记等。截至2020年，ICGEM存储的阶数超过2000阶的超高阶静态全球重力场模型有如下几个：

模型	发布时间	最高阶数	数据来源	参考文献
EGM2008	2009年	2190	A、G、S(Grace)
EIGEN-6C4	2014年	2190	A、G、S(Goce、Grace、Lageos)
GECO	2015年	2190	EGM2008、S(Goce)
SGG-UGM-1	2018年	2159	EGM2008、S(Goce)
XGM2019e_2159	2019年	760/2190/5540	A、G、S(GOCO06s)、T
注：其中A表示测高数据，S表示为卫星测量数据，G表示地表测量数据（包括陆地、船舶和航空测量），T表示测图数据

正高系统

椭球高h、大地水准面高N和正高H的示意图，图中红色实现为大地水准面（Geoid），黑色虚线为椭球面（Ellipsoid），注意其中的N为负值

主条目：正高

在大地测量学中，高程系统是定义某点沿特定的路径到一个参考面上距离的一维坐标系统。在传统的几何水准测量中，两点之间的高差是基于两点所在的水准面相互平行的假设进行的。当水準管居中时，水準儀的竖轴与铅垂线重合，其视线方向相切于其所在的水准面。若水准面相互平行，则在两点间进行对向观测，得到的两点间的高差应当相等；在环线上进行闭合观测，其闭合差应当为零。但事实上，水准面之间是并不相互平行，由此造成的在环线观测中留下的差值被称为水准环闭合差。传统的几何测量手段不能解决水准环闭合差不为零的问题，所以高程系统的建立必须基于重力水准测量的原理。

以大地水准面为参考面建立的高程系统被称为正高系统。在正高系统中，正高被定义为地面上任意一点沿其所在的铅垂线方向到大地水准面的距离。在重力水准测量中，通过观测大地水准面上一点 $A$ 与任意一点 $B$ 之间的重力位差${\begin{smallmatrix}\int \limits _{AB}g\operatorname {d} \!h\end{smallmatrix}}$，再通过点 $B$ 沿铅垂线到大地水准面的路径上的重力平均值 $g_{\text{m}}^{B}$，可以求得点 $B$ 的正高为：

$H^{B}={1 \over g_{\text{m}}^{B}}\int \limits _{AB}g\operatorname {d} \!h$

正高与大地高的关系

在大地测量学以外的领域，正高也被称为海拔高度。而在进行空间位置的计算（如计算GPS等全球卫星导航系统中的卫星位置）时，使用的高度则是相对于参考椭球面的距离，称为大地高或椭球高。两者间的转换需要通过大地水准面高进行：

$h=H+N$

其中，$h$ 表示大地高（椭球高），$H$ 表示正高，$N$ 表示大地水准面高。

正高与正常高的关系

主条目：正常高

正高的计算需要用到重力平均值 $g_{\text{m}}^{B}$，但该值无法在地球内部的质量和重力分布未知的情况下得到，所以正高无法被精确求得。1945年，苏联大地测量学家莫洛坚斯基提出了利用正常高来代替正高的计算方式。在这一高程系统中，由地球表面向下量取正常高而获得的表面被称为似大地水准面，由正常椭球面向上量取正常高而获得的表面则被称为似地形表面，而似大地水准面和正常椭球面之间的差距又被称为高程异常。似大地水准面与水准面不同，它没有具体的物理意义，更不是重力等位面，只是用于计算的辅助面。大地水准面和似大地水准面在山区的差异可达4米，但两者在平均海水面上是重合的。

相关条目

• 布隆斯公式

• 大地测量系统
• 大地测量边值问题
• 地球坐标系统

• 铅垂线

外部链接

• EGM96地球重力场模型（英語）
• EGM08地球重力场模型（英語）
• 国际地球重力场模型中心（ICGEM）（英語）
• 国际大地水准面服务（ISG）（英語）
• 美国国家海洋和大气管理局（NOAA）（英語）
• 椭球面、大地水准面、重力、大地测量学和地球物理学教程（Tutorial Ellipsoid, geoid, gravity, geodesy, and geophysics）（英語）
• GRACE网站上对确定地球重力方法的阐述（英語）