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泛代数

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泛代数，也称普适代数学（英语：Universal algebra），研究通用于所有代数结构的理论，而不是代数结构的模型。举个例子，并不是将特殊的个别的群作为个体分别来学习，而是将整个群论的理论作为学习的主题。

基本思想

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主条目：代数结构

从泛代数角度来看，代数是拥有一组算子的集合A。在A上的n元运算是以n个A的元素为输入并返回一个A的元素的函数。这样，0元运算（空运算）可简单表示为A的一个元素或常数，通常用a表示。一元运算是简单的从A到A的函数，常用置于参数前的符号表示，如~x。二元运算通常用置于参数间的符号表示，如x*y。元数更高或不确定的运算通常用函数符号表示，参数放在括号中，例如f(x, y, z)或f(x1,...,xn)。那么，讨论代数的一种方式就是将其称为某类代数，其中是自然数的有序数列，表示代数运算的元数。不过也有研究者允许无穷元运算，如，其中J是无穷指标集，是完全格代数理论中的一种运算。

等式

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定义了运算后，代数的性质由公理进一步定义，在泛代数中通常用恒等式或等式法则的形式。例如二元运算的结合律，可由等式x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z给出。

簇

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主条目：簇 (泛代数)

由等式定义的代数结构集合称作簇或等价类。

将研究范围限制在簇，就排除了

等式类研究可看作是模型论的一支，通常处理只有运算的结构（类型中可以有函数的符号，但不能有等式以外的关系的符号）。谈论这种结构的语言只使用等式。

其不包含所有广义代数结构。例如，有序交换群涉及序关系，因此不属于这个范畴。

域类也不属于等式类，因为没有类型能把所有域法则写成等式（域中元素的逆适于所有非零元素，因此不能把逆加入类型中）。

这样限制的一个好处是，泛代数研究的结构可定义在任何具有有限积的范畴中。例如，拓扑群只是拓扑空间范畴中的一个群。

例子

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大多数泛代数系统都是簇的例子，但不总是很明显，因为通常的定义往往涉及量化或不等式。

群

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以群的定义为例。通常，一个群的定义由二元运算*完成，并遵循以下公理：

  • 结合律： x ∗ (y ∗ z)  =  (x ∗ y) ∗ z; &nbsp；形式化：∀x,y,z. x∗(y∗z)=(x∗y)∗z.
  • 单位元：存在一个元素e，使得对每个x。都有e ∗ x  =  x  =  x ∗ e; &nbsp；形式化：∃e ∀x. e∗x=x=x∗e.
  • 逆元素：很容易看出单位元是唯一的，一般记作e。那么对每个x，都有元素i使x ∗ i  =  e  =  i ∗ x; &nbsp；形式化：∀x ∃i. x∗i=e=i∗x.

（有人也使用“封闭”公理，即只要x ∗ y都属于A，则x*y也属于，但这里称*为二元运算已经暗示了这一点。）

群的这一定义并不直接符合泛代数，因为单位元和逆元素并非纯粹从“对所有”元素普遍成立的等式规律表述，而还涉及存在量词“存在……”。除了二元运算∗，还可指定空运算e和一元运算~，~x通常写作x−1。这样，公理变为：

  • 结合律：x ∗ (y ∗ z)  =  (x ∗ y) ∗ z.
  • 单位元：e ∗ x  =  x  =  x ∗ e；形式化：∀x. e∗x=x=x∗e.
  • 逆元素：x ∗ (~x)  =  e  =  (~x) ∗ x &nbsp；形式化：∀x. x∗~x=e=~x∗x.

总结来说，通常的定义有

  • 单一二元运算
  • 1个等式法则（结合律）
  • 2个量化法则（单位元与逆元）

而按泛代数，则有

  • 3种运算：1种二元运算，1种一元运算，1种零运算
  • 3个等式法则（结合律、单位元、逆元）
  • 没有量化法则（最外层的全称量词除外，这在簇中是允许的）

关键点是，额外的运算没有增加信息，而是唯一地遵循了群的通常定义，虽然没有唯一指定单位元e，但很简单就能证明它是唯一的，每个逆元素也唯一。

泛代数观点非常适合范畴论。例如，在范畴论中定义群对象时，若对象可能不是集合，就必须用到等式法则（在一般范畴中是有意义的），而非量化法则（指单个元素）。此外，逆元和单位元在范畴中被指定为态射。例如，拓扑群中的逆不仅必须逐元素存在，还要给出连续映射（态射）。有人还要求恒等映射也要闭包（上纤维化）。

其他例子

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大部分代数结构都可作为泛代数的例子。

关系代数的例子有半格、格与布尔代数。

基本构造

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假设类固定。泛代数中有三种基本构造：同态像、子代数与积。

两个代数A、B之间的同态是函数h: A → B，使得对A中的每个n元运算fA和对应的B中n元运算fB，都有h(fA(x1,...,xn)) = fB(h(x1),...,h(xn))（若可以看出函数来自哪个代数，则f的上下标就可去掉）。例如，若e是常数（空运算），那么 h(eA) = eB。若~是一元运算，那么h(~x) = ~h(x)。若∗是二元运算，那么h(x ∗ y) = h(x) ∗ h(y)，以此类推。我们可以取代数的同态像h(A)。

A 的子代数是A的子集，对A的所有运算都封闭。某个代数结构集合的积，指的是集合在坐标上定义的运算的笛卡尔积。

部分基本定理

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  • 同构基本定理，包括群、环、模等的同构定理。
  • 伯克霍夫HSP定理，其指出，一类代数当且仅当在同态像、子代数与任意直积下封闭时，可以构成簇。

动机与应用

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除了统一方法之外，泛代数还给出了深奥的定理以及重要的示例和反例，为新代数研究提供了有用的框架。它可以将为某些代数发明的方法转移到其他类的代数，方法是用泛代数（如果可能的话）重新诠释之，然后将其解释为适用于其他类别的方法。它还澄清了概念；正如J.D.H. Smith所说：“在特定框架中看起来杂乱而复杂的东西，在适当的一般框架中可能会变得简单而明显”。

特别是，泛代数可用于幺半群、环和格的研究。在泛代数之前，许多定理（最知名的是同构基本定理）是在所有类别中分别证明的，但有了泛代数，就可以对每种代数系统进行一次性证明。

下面提到的Higgins 1956年的论文为一系列特定代数系统提供了框架而受到广泛关注，而他1963年的论文则对具有仅部分定义运算的代数的讨论而备受瞩目，典型的例子就是范畴和广群。这引出了高维代数的话题，可定义为研究具有部分运算的代数理论，其域是在几何条件下定义的。著名的例子是各种形式的高维范畴和广群。

约束满足问题

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主条目：约束满足问题

泛代数为约束满足问题（CSP）提供了一种自然的语言。CSP是一类重要的计算问题：给定关系代数A和其上的句子，如何确定能否在A中得到满足。代数A通常是确定的，因此CSPA指实例仅为存在语句的问题。

可以证明，对某个代数A，每个计算问题都可表为CSPA。[1]

例如，n色问题可表述为代数的CSP，即具有个元素和一个关系式（不等式）的代数。

二分猜想（2017年4月证明）指出，若A是有限代数，则CSPA要么是P问题，要么是NP完全问题。[2]

推广

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更多信息：范畴论、偏代数和模型论

还可用范畴论手段研究泛代数：可用特殊的范畴描述代数结构，称为劳维尔理论或更广义的代数论。相对地，也可用单子描述代数结构。这两种方法密切相关，各有优势。[3] 特别地，每个劳维尔理论都在集合范畴上给出了单子，而集合范畴的任何“有限”单子都产生于某个劳维尔理论。单子描述的是特定范畴（如集合范畴）中的代数结构，而代数论描述的是一大类范畴（即有有限积的范畴）中任何范畴的结构。

范畴论的最新发展是算元论——算元是一系列运算，类似于泛代数，但只允许在带变量的表达式间建立等式，不允许重复或省略变量。因此，环可悲描述为某些算元的所谓“代数”，但不能描述为群，因为在左侧重复了变量g，在右侧省略了变量g。起初这似乎是个麻烦的限制，但其结果是，算元有某些优势：例如，可以统一环和向量空间，得到结合代数，但无法统一环和向量空间。

另一处发展是偏代数，其中的运算可以是偏函数。某些偏函数也可通过所谓“本质代数论”的劳维尔理论推广来处理。[4]

泛代数的另一种推广是模型论，有时被描述为“泛代数+逻辑”。[5]

相关条目

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脚注

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  1. ^ Bodirsky, Manuel; Grohe, Martin, Non-dichotomies in constraint satisfaction complexity (PDF), 2008 [2023-10-01], （原始内容存档 (PDF)于2023-12-23） 
  2. ^ Zhuk, Dmitriy. The Proof of CSP Dichotomy Conjecture. 2017. arXiv:1704.01914 可免费查阅 [cs.cc]. 
  3. ^ Hyland, Martin; Power, John, The Category Theoretic Understanding of Universal Algebra: Lawvere Theories and Monads (PDF), 2007 [2023-10-01], （原始内容存档 (PDF)于2023-11-29） 
  4. ^ nLab的Essentially algebraic theory条目
  5. ^ C.C. Chang and H. Jerome Keisler. Model Theory. Studies in Logic and the Foundation of Mathematics 73 3rd. North Holland. 1990: 1. ISBN 0444880542. 

参考文献

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  • Bergman, George M., 1998. An Invitation to General Algebra and Universal Constructions （页面存档备份，存于互联网档案馆） (pub. Henry Helson, 15 the Crescent, Berkeley CA, 94708) 398 pp. ISBN 0-9655211-4-1.
  • Birkhoff, Garrett, 1946. Universal algebra. Comptes Rendus du Premier Congrès Canadien de Mathématiques, University of Toronto Press, Toronto, pp. 310–326.
  • Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, 1981. A Course in Universal Algebra （页面存档备份，存于互联网档案馆） Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 Free online edition.
  • Cohn, Paul Moritz, 1981. Universal Algebra. Dordrecht, Netherlands: D.Reidel Publishing. ISBN 90-277-1213-1 (First published in 1965 by Harper & Row)
  • Freese, Ralph, and Ralph McKenzie, 1987. Commutator Theory for Congruence Modular Varieties （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 1st ed. London Mathematical Society Lecture Note Series, 125. Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-34832-3. Free online second edition.
  • Grätzer, George, 1968. Universal Algebra D. Van Nostrand Company, Inc.
  • Higgins, P. J. Groups with multiple operators （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Proc. London Math. Soc. (3) 6 (1956), 366–416.
  • Higgins, P.J., Algebras with a scheme of operators. Mathematische Nachrichten (27) (1963) 115–132.
  • Hobby, David, and Ralph McKenzie, 1988. The Structure of Finite Algebras （页面存档备份，存于互联网档案馆） American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3400-2. Free online edition.
  • Jipsen, Peter, and Henry Rose, 1992. Varieties of Lattices （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. ISBN 0-387-56314-8. Free online edition.
  • Pigozzi, Don. General Theory of Algebras （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Free online edition.
  • Smith, J.D.H., 1976. Mal'cev Varieties, Springer-Verlag.
  • Whitehead, Alfred North, 1898. A Treatise on Universal Algebra, Cambridge. (Mainly of historical interest.)

外部链接

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