跳转到内容

对偶系统

维基百科,自由的百科全书

数学中,上的对偶系统对偶对是指三元组,包含上的2个向量空间XY,以及非退化双线性映射

对偶理论是对对偶系统的研究,在泛函分析中占有重要地位,并通过希尔伯特空间广泛应用于量子力学中。

定义、记号与惯例

[编辑]

配对

[编辑]

上的配对(pairing或pair)是一个三元组,也可以用表示, 包含上的两个向量空间XY双线性映射,称作与配对关联的双线性映射[1],或配对的映射,或其双线性形式。简单起见,本文只涉及实数复数的例子。

,定义 ,定义 Y上的线性泛函X上的线性泛函。令 其中每个集合构成一个线性泛函的向量空间。

通常记而非,这样配对不必写成,而可以写成。不过,本文将用表示求值映射(定义见下),以避免混淆。

对偶对

[编辑]

双线性形式b是非退化的,则称配对上的对偶系统对偶对[2] ,满足下面两条分离公理:

  1. Y分离(区分)X的点:若使得,则;等价地,对所有非零的,映射不等同于(即使得);
  2. X分离(区分)Y的点:若使得,则;等价地,对所有非零的,映射不等同于(即使得)。

这样b是非退化的,可以说bXY置于(分离)对偶中(places in (separated) duality),b是三元组的对偶配对(duality pairing)。[1][2]

全子集

[编辑]

, 能推出,则称为全集。 X的全子集定义相似(见脚注)。[note 1]因此,当且仅当XX的全子集,X分离Y中所有点,对Y亦然。

正交性

[编辑]

,称向量xy正交,记作。若,称两子集正交,记作;即。子集正交于向量的定义与之类似。

子集正交补零化子. 于是,当且仅当RX的全子集。

极集

[编辑]

给定在上定义了对偶对的三元组,子集绝对极集极集是集合对称地,子集的绝对极集或极集记作,定义为


为了使用有助于跟踪对偶性两侧不对称的标记,子集的绝对极也可以称为B绝对预极(absolute prepolar)或预极(prepolar),可表为[3]

必然是凸集,包含,若B平衡,则也平衡;若BX的向量子空间,则Y的向量子空间。[4]

AX的向量子空间,则,还等于A的实极。若,则A双极(bipolar,记作)是A正交补的极,即集。相似地,若,则B的双极是

对偶的定义与结果

[编辑]

给定对,定义新对,其中[1] 对偶理论有个一贯的主题:任何对都有相应的对偶对

约定与定义:给定配对的任何定义,将其应用于配对,就能得到对偶定义。这约定也适用于定理。

例如,若X分离Y的点(或者说SY的全子集)定义如上,则此约定立即产生了对偶定义:Y分离X的点(或者说SX的全子集)。 下面的写法几乎无处不在,可让我们不用为d指定符号。

约定与记号:若配对的定义及其记号取决于XY的顺序(例如,X上的麦奇拓扑),那么交换XY顺序就意味着定义适用于(接上例,拓扑实际上是拓扑)。

再比如,一旦定义了X上的弱拓扑,则此对偶定义就会自动应用到配对,从而得到Y上弱拓扑的定义——而非

的识别

[编辑]

虽然从技术上将这是不正确的,也是对符号的滥用,但本文将遵守几乎普遍的管理,及将配对互换处理,并用表示

例子

[编辑]

配对的限制

[编辑]

是配对,MX的向量子空间,NY的向量子空间。则,的限制就是配对。若是对偶,则限制就有可能不对偶(如,若)。

本文将使用通常做法,用表示限制

向量空间上的规范对偶

[编辑]

X是向量空间,令表示X代数对偶空间(即,X上所有线性泛函的空间)。则有规范对偶,其中,称之为上的求值映射自然/规范双线性泛函。

注意只是表示的另一种方式,即

N的一个向量子空间,则的限制称作规范配对。若此配对是对偶,则称为规范对偶。显然X总是分离N的点,因此当且仅当N分离X中的点,规范配对是对偶系统。 下列记号现在在对偶理论中几乎无处不在。

求值映射记作(而非c),将改为

假设:按惯例,若X是向量空间,NX上线性泛函的向量空间,则除非另有说明,否则将假定它们同规范配对相关联。

N的向量子空间,则当且仅当N分离X的点(或等价地,N是全的,能推出),X分离N的点(或等价地,是对偶),[1]

拓扑向量空间上的规范对偶

[编辑]

X拓扑向量空间,有连续对偶空间。 则,规范对偶的限制确定了配对,其中X分离的点。 若分离X的点(例如,若X是豪斯多夫局部凸空间,则恒为真),则此配对形成了对偶。[2]

假设:正如通常所作,只要X是拓扑向量空间,则除非另有说明,否则将假定其与规范配对相关联,无需注释。

拓扑向量空间的极与对偶

[编辑]

下列结果表明,拓扑向量空间上的连续线性泛函恰是在原点邻域上有界的线性泛函。

定理[1] — X是拓扑向量空间,有代数对偶 ,并令X在原点邻域的基。 在规范对偶下,X是连续对偶空间是所有的并,因为N的范围是(其中极位于)。

内积空间与复共轭空间

[编辑]

预希尔伯特空间,当且仅当H上的向量空间,或H是0维,是对偶对。这里假定半双线性形式在第二坐标上是共轭齐次的,在第一坐标上是齐次的。

  1. 是实希尔伯特空间,则形成对偶系统。
  2. 是复希尔伯特空间,则当且仅当形成对偶系统。若H非平凡,则甚至不是配对,因为内积是半双线性的,而非双线性的。[1]

是复预希尔伯特空间,标量乘法用并列或表示。 定义映射 其中右式使用了H的标量乘法。令表示H复共轭向量空间,其中表示加群(所以中的向量加法与H中的相同),但中的标量乘法是映射(而非H被赋予的标量乘法)。

映射定义为,在两个坐标中都是线性的[note 2],因此形成对偶对。

其他例子

[编辑]
  1. 是配对,使X区分Y的点,但Y不区分X的点。此外,
  2. (其中q满足),是对偶系统。
  3. XY是同一域上的向量空间,则双线性形式使对偶。[2]
  4. 序列空间X及其Beta-对偶空间,双线性映射定义为形成对偶系统。

弱拓扑

[编辑]

上一对向量空间。若,则X上由S(和b)诱导的弱拓扑X上最弱的拓扑向量空间拓扑,记作,使yS上取值时所有映射连续。[1]S在语境中不明确,则应假定是Y的全部,这时称之为X上(由Y诱导的)的弱拓扑。 或(若无混淆)用于表示赋有弱拓扑X。 重要的是,弱拓扑完全取决于函数b上的通常拓扑与X上的向量空间结构,而与Y的代数结构无关。 同样,若,则Y上由R(和b)诱导的弱拓扑的对偶定义记作(细节见脚注)。[note 3]

定义与符号:若附在一个拓扑定义上(如-收敛、-有界、等等),则就意味着当定义的第一个空间(即X)携带拓扑。若无混淆,可以不提及b甚至XY。例如,若Y中序列-收敛”或“弱收敛”,这意味着它收敛于,而若它是X中的序列,则意味着它收敛于)。

拓扑局部凸的,因为它由定义的半范数族确定,其中yY上取值。[1]X中的,则若中收敛到x-收敛x[1],当且仅当收敛到-收敛到x

是希尔伯特空间中的正交规范向量列,则弱收敛到0,但不会规范收敛(norm-convergence)到0(或任意向量)。[1]

是配对,NY的一个适当的向量子空间,使得是对偶对,则严格[1]

有界子集

[编辑]

子集,当且仅当,其中,称S-有界。

豪斯多夫性

[编辑]

是配对,则下列条件等价:

  1. X分离Y的点;
  2. 映射定义了YX的代数对偶空间的单射[1]
  3. 豪斯多夫空间[1]

弱表示定理

[编辑]

下列定理对对偶理论至关重要,因为它完全表征了的连续对偶空间。

弱表示定理[1] — 是域上的配对,则连续对偶空间另外,

  1. f上的连续线性泛函,则使;若这样的y存在,则当且仅当X分离Y的点时,这样的y是唯一的。
  • 注意,X是否分离Y中的点并不取决于y的特定选择。
  1. 的连续对偶空间可以视作商空间,其中
  • 无论X是否分离Y的点,或Y是否分离X中的点,这都是正确的。

因此,的连续对偶空间是

关于规范配对,若X是拓扑向量空间,其连续对偶空间分离X的点(即使豪斯多夫,这可推出X也必豪斯多夫),则的连续对偶空间等于xX中取值时所有“点x处得值”的映射集合(即将送到的映射)。 通常写成 这一重要事实就是为什么连续对偶空间上极拓扑的成果(如上的强对偶拓扑)能应用到原拓扑向量空间X的。例如,将X视作意味着上的拓扑可被视作X上的拓扑。 此外,若被赋予比更细的拓扑,那么的连续对偶空间必然包含(作为子集)。 例如,被赋予强对偶拓扑(于是记作),则

这允许X被赋予由强对偶拓扑X上诱导的子空间拓扑(此拓扑也称作强双对偶拓扑,见于自反空间理论:豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X,若则称其是半自反空间,若在此之外,其在X上的强双对偶拓扑还等于X的原/初拓扑,则称其是自反空间

正交、商与子空间

[编辑]

是配对,则对X的任意子集S

  1. ,且此集合是-闭的;[1]
  2. [1]
  • 因此,若SX-闭向量子空间,则
  1. X-闭向量子空间族,则

[1]

  1. X的子集族,则

[1]

X是赋范空间,则根据规范对偶性,中对范是封闭的,X中对范是封闭的。[1]

子空间

[编辑]

MX的向量子空间,并令表示的限制。 M上的弱拓扑M继承的子空间拓扑相同。

另外,是配对空间(paired space)(其中),其中定义为

拓扑等于M继承自子空间拓扑[5] 此外,若是对偶系统,则也是。[5]

[编辑]

MX的向量子空间,则是配对空间,其中定义为

拓扑等同于上诱导的一般的商拓扑[5]

极与弱拓扑

[编辑]

X是局部凸空间,且若H是连续对偶空间的子集,则当且仅当对X中某B,有时,H-有界的。[1]

下列结果对定义极拓扑非常重要。 若是配对,[1]

  1. A的极的闭子集。
  1. 下列集合的极相同:(a) A;(b) A的凸壳;(c) A平衡壳;(d) A-闭合;(e) A凸平衡壳-闭合。
  1. 双极定理A的双极等于A的凸平衡壳的-闭合。
  1. 当且仅当吸收Y时,A-有界的。
  2. Y还分离X的点,则当且仅当A-全有界时,A-有界的。

是配对,X上与对偶一致的局部凸拓扑,则当且仅当BY的某-有界子集的时,中的[6]

转置

[编辑]

线性映射关于配对的转置

[编辑]

上的配对,并令是线性映射。

是由定义的映射。 若满足以下条件,就可以说F的转置或伴随是良定的(well-defined):

  1. X分离Y中的点(或等价地,从Y抵达代数对偶的映射单射),且
  2. 其中

这样,存在(由条件2)唯一的(由条件1),使,其中Y的这个元素将表为。这定义了线性映射

称作F的转置或关于的伴随(注意不要与厄米伴随混淆)。不难看出,上述两个条件(即“转置良定义”)也是良定的必要条件。 的定义条件是 即,

根据本文开头提到的约定,这也定义了形式为[note 4] [note 5] [note 6] [note 7]等的线性映射的转置(见脚注)。

转置的性质

[编辑]

上的配对,是线性映射,其转置是良定义的。

  • 当且仅当F的范围在中稠密时,单射(即)。[1]
  • 若除了良定义外,的转置也良定义,则
  • 上的配对,是线性映射,其转置是良定义的,则的转置也是良定义的,且
  • 是向量空间同构,则是双射,的转置是良定义的,且[1]
  • 表示A绝对极,则[1]
    1. ,则
    2. 使得,则
    3. 是弱闭圆盘,则当且仅当时,
将绝对极换成实极,这些结果不变。

XY是规范对偶下的赋范空间、是连续线性映射,则[1]

弱连续性

[编辑]

线性映射,若连续,则称其(关于弱连续

下面的结果表明,转置映射的存在与弱拓扑密切相关。

命题 — X分离Y的点,是线性映射。 则下列条件等价:

  1. F是弱连续的(即连续);
  2. F的转置是良定义的。

F是弱连续的,则

  • 是弱连续的,即连续;
  • 当且仅当Z分离W的点,转置良定义,这时

弱拓扑与规范对偶

[编辑]

X是向量空间,是其代数对偶。则X的所有-有界子集包含于有限维向量子空间,X的所有向量子空间是-闭的。[1]

弱完备性

[编辑]

完备拓扑向量空间,例如X-完备或(若无歧义)弱完备的情形。 存在不弱完备的巴拿赫空间(尽管在其范拓扑中是完备的)。[1]

X是向量空间,则在规范对偶下,是完备的。[1] 相反,若Z是豪斯多夫局部凸拓扑向量空间,且有连续对偶空间,则当且仅当时,是完备的;即,当且仅当将发送到z处求值映射(即)的映射是双射。[1]

特别地,就规范对偶而言,若Y的向量子空间,使Y分离X中的点,则当且仅当是完备的。 换句话说,不存在紧合向量子空间使得是豪斯多夫空间,且Y弱-*拓扑(即逐点收敛的拓扑)中完备。 因此,若豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X的连续对偶空间 被赋以弱*-拓扑,当且仅当(即X上所有线性泛函都连续)时,是完备的。

Y与代数对偶的子空间的等同

[编辑]

X分离Y的点、Z表示单射的范围,则ZX的代数对偶空间的向量子空间,且配对与规范配对(其中是自然求值映射)是规范等同(canonically identify)的。 特别地,这时我们将不失一般性地假设YX代数对偶的向量子空间,而b是求值映射。

约定:通常,只要是单射(尤其当形成对偶对),通常不失一般性地假设YX的代数对偶空间的向量子空间,且b是自然求值映射,Y还可记作

完全类似的是,若Y分离X中的点,则X就有可能等同于Y的代数对偶空间的向量子空间。[2]

代数伴随

[编辑]

在对偶是规范对偶的特例下,线性映射的转置总是良定义的。 此转置称作F代数伴随,记作; 即 这样,[1][7]其中的定义条件是 或等价地

若对整数nX的基,其对偶基是线性算子,F关于的矩阵表示是,则M的转置是关于的矩阵表示。

弱连续性与开性

[编辑]

是对偶系统的规范配对(所以),并令是线性映射。则当且仅当满足下列等价条件之一,F是弱连续的:[1]

  1. 连续;
  2. F的转置相对于是良定义的。

F是弱连续的,则是连续的,于是[7]

拓扑空间之间的映射,若开映射g的范围),则称之是相对开的。[1]

是对偶系统,是弱连续线性映射。则下列条件等价:[1]

  1. 是相对开的;
  2. 的范围在Y-闭;

此外

  • 当且仅当是满射(或双射),是单射(或双射);
  • 当且仅当是相对开单射,是满射。
拓扑向量空间之间映射的转置
[编辑]

当且仅当F是弱连续的,两拓扑向量空间之间映射的转置才被定义。

是两豪斯多夫局部凸拓扑向量空间之间的线性映射,则[1]

  • F连续,则其是弱连续的,且是麦基连续的,也是强连续的;
  • F是弱连续的,则其是麦基连续的,也是强连续的(定义见下)。
  • F是弱连续的,则当且仅当等度连续子集映射到的等度连续子集时,F才是连续的。
  • XY是赋范空间,则当且仅当F是弱连续的(这时),F连续。
  • F连续,则当且仅当是弱相对开的(即是相对开的)、且的等度连续子集都是的某等度连续子集的像时,F是相对开的。
  • F是连续单射,则当且仅当的等度连续子集都是的某等度连续子集的像,是拓扑向量空间嵌入(或等价的拓扑嵌入)。

可度量化性与可分性

[编辑]

X局部凸空间,有连续对偶空间,并令[1]

  1. K等度连续-紧的,且使得X中稠密,则K继承的子空间拓扑等同于K继承的子空间拓扑。
  2. X可分的K是等度连续的,则K被赋予由诱导的子空间拓扑后是可度量化的。
  3. X是可分、可度量化的,则是可分的。
  4. X是赋范空间,则当且仅当给定由诱导的子空间拓扑,X的连续对偶空间的封闭单元(X的连续对偶空间)可度量时,X是可分的。
  5. X是赋范空间,其连续对偶空间可分(给定通常的范拓扑)时,X可分。

极拓扑与同配对相容的拓扑

[编辑]

从弱拓扑开始,极基的使用会产生一系列局部凸拓扑。这样的拓扑称作极拓扑,弱拓扑是其中最弱的。

将是上的配对,将是X-有界子集的非空集合。

极拓扑

[编辑]

给定X子集的集合Y上由(与b)定义的极拓扑(或Y上的-拓扑)是Y上唯一的拓扑向量空间拓扑,其中 形成了原点邻域的子基[1] Y被赋予这-拓扑时,就表示为。极拓扑都需要是局部凸的。[1] 是关于子集包含的有向集合时(即若使得),则此0处的邻域子基实际上形成了0处的邻域基[1]

下面列出了一些较重要的极拓扑。

符号:若表示Y上的极拓扑,则呗赋予此拓扑的Y将记作(如对我们有,这样都表示赋予了Y)。

(“…上一致收敛的拓扑”)
记作 名称(“…的拓扑”) 又称
X的有限子集
(或X有限子集的-闭圆盘化壳

逐点/简单收敛 弱/弱-*拓扑
-紧圆盘 麦基拓扑
-紧凸子集 紧凸收敛
-紧子集
(或平衡-紧子集)
紧收敛
-有界子集
有界收敛 强拓扑
最强的极拓扑

与极拓扑有关的定义

[编辑]

连续性连续,则线性映射是(关于麦基连续的。[1]

是连续的,则线性映射是(关于)强连续的。[1]

有界子集

[编辑]

X的子集,若在(或)中有界,则称X弱有界(或麦基有界强有界)。

同配对相容的拓扑

[编辑]

上的配对,X上的向量拓扑,则是配对的拓扑,且若其局部凸、的连续对偶空间,则称之与配对相容或一致。[note 8]X分离Y的点,则Y可视作X的代数对偶的向量子空间,定义条件变为[1]有人(如[Trèves 2006]、[Schaefer 1999])要求配对的拓扑也要是豪斯多夫的,[2][8]Y分离X的点(这些学者假设),则必须是豪斯多夫的。

弱拓扑同配对相容(如弱表示定理所示),事实上是最弱的拓扑。还有一种与这种配对相容的最强拓扑,即麦基拓扑。 若N是非自反的赋范空间,则其连续对偶空间上通常的范拓扑同对偶不相容。[1]

麦基–阿伦定理

[编辑]

下面是对偶理论中最重要的定理之一。

麦基–阿伦定理 I[1] — 是配对,使X分离Y的点,并令X上的局部凸拓扑(不必豪斯多夫)。 则,当且仅当是由某覆盖了Y[note 9]-紧圆盘集合确定的极拓扑时,称与配对相容。

由此可见,麦基拓扑是由Y中所有-紧圆盘生成的极拓扑,是X上与配对 相容的最强局部凸拓扑。 给定拓扑与麦基拓扑相同的局部凸空间称作麦基空间。 上述麦基-阿伦定理的一下结果也称作麦基-阿伦定理。

麦基–阿伦定理 II[1] — 是配对,使得X分离Y的点,并且X上的局部凸拓扑。则,当且仅当与配对相容。

麦基定理、桶与闭凸集

[编辑]

X是(上的)拓扑向量空间,则半空间(half-space)是形式为的集合。(r是实数,fX上的连续实值线性泛函)

定理 — X是(上的)局部凸空间、CX的非空闭凸子集,则等于包含它的所有闭半空间的交。[9]

上述定理说明,局部凸空间的闭子集和凸子集完全取决于连续对偶空间。于是,在任何与配对相容的拓扑中,闭子集和凸子集都相同;即,若X上的任意局部凸拓扑,且有同样的连续对偶空间,则当且仅当X的凸子集在拓扑中封闭,,此子集也在拓扑中封闭。 这说明,X任意凸子集的-闭等同于其-闭,对X中任意-闭圆盘A[1] 特别地,若BX的一个子集,则当且仅当B中的桶时,B也是中的[1]

下面的定理说明,(即闭吸收圆盘)恰是弱有界子集的极。

定理[1] — 是配对,使得X分离Y的点,并令为配对的某拓扑。 则当且仅当X的子集等于Y的某-有界子集的极时,此子集是X中的桶。

X是拓扑向量空间,则[1][10]

  1. X的闭吸收平衡子集B吸收X的所有凸紧子集(即存在正实数r使得包含此集)。
  2. X是豪斯多夫局部凸的,则X中每个桶都吸收X的每个凸有界完备子集。

所有这些都引出了麦基定理,这是对偶系统理论的核心定理之一。简言之,定理支出,对符合相同对偶性的两豪斯多夫局部凸拓扑,有界子集是相同的。

麦基定理[10][1] — 是豪斯多夫局部凸空间,有连续对偶空间,并考虑规范对偶。 若X上任意与对偶相容的拓扑,则的有界子集与的有界子集相同。

有限序列空间

[编辑]

X表示标量的所有序列的空间,且对所有足够大的i都有。 令,定义双线性映射[1] 此外,当且仅当存在正实数序列,使得、及所有指标i(或还有)时,子集-有界(或-有界)的。[1]

由此可见,X的子集中有弱有界(即-有界)的,但没有强有界(即无-有界)的。

另见

[编辑]

注释

[编辑]
  1. ^ 子集,若推出,则称S为全子集。
  2. ^ b在第一坐标中线性显然。设c是标量,则,说明b在第二坐标中也线性。
  3. ^ Y上的弱拓扑是Y上使所有映射连续的最弱的拓扑向量空间拓扑(xR上取值)。的对偶定义也可用来表示赋有弱拓扑Y。若R在语境中不明确,则应假定是X的全部,这时称之为Y上(由X诱导)的弱拓扑。
  4. ^ 是线性映射,则当且仅当Z分离W的点、时,G的转置是良定的。这时,的定义条件是:
  5. ^ 是线性映射,则当且仅当X分离Y的点、时,H的转置是良定的。这时,的定义条件是:
  6. ^ 是线性映射,则当且仅当W分离Z的点、时,H的转置是良定的。这时的定义条件是:
  7. ^ 是线性映射,则当且仅当Y分离X的点、时,H的转置是良定的。这时,的定义条件是:
  8. ^ 当然,Y上拓扑也有“与配对相容”的类似定义,但本文只讨论X上的拓扑。
  9. ^ 集合S与其子集的集合,若S的点都包含于中的某集合,称覆盖S

参考文献

[编辑]
  1. ^ 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 Narici & Beckenstein 2011,第225-273页.
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Schaefer & Wolff 1999,第122–128页.
  3. ^ Trèves 2006,第195页.
  4. ^ 4.0 4.1 Schaefer & Wolff 1999,第123–128页.
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Narici & Beckenstein 2011,第260-264页.
  6. ^ Narici & Beckenstein 2011,第251-253页.
  7. ^ 7.0 7.1 Schaefer & Wolff 1999,第128–130页.
  8. ^ Trèves 2006,第368–377页.
  9. ^ Narici & Beckenstein 2011,第200页.
  10. ^ 10.0 10.1 Trèves 2006,第371–372页.

书目

[编辑]
  • Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics Second. Boca Raton, FL: CRC Press. 2011. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
  • Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
  • Rudin, Walter. Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics Second. New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277. 
  • Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. Topological Vector Spaces. GTM Second. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. 1999. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
  • Schmitt, Lothar M. An Equivariant Version of the Hahn–Banach Theorem. Houston J. Of Math. 1992, 18: 429–447 [2024-04-03]. (原始内容存档于2022-01-24). 
  • Trèves, François. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. [1967]. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. 

外部链接

[编辑]