数学 中,域
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的对偶系统 或对偶对 是指三元组
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
,包含
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的2个向量空间 X 、Y ,以及非退化 双线性映射
b
:
X
×
Y
→
K
{\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }
。
对偶理论 是对对偶系统的研究,在泛函分析 中占有重要地位,并通过希尔伯特空间 广泛应用于量子力学 中。
域
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的配对 (pairing或pair)是一个三元组
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
,也可以用
b
(
X
,
Y
)
{\displaystyle b(X,Y)}
表示, 包含
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的两个向量空间X 、Y 及双线性映射
b
:
X
×
Y
→
K
{\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }
,称作与配对关联的双线性映射,或配对的映射,或其双线性形式 。简单起见,本文只涉及
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
是实数
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
或复数
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
的例子。
∀
x
⊆
X
{\displaystyle \forall x\subseteq X}
,定义
b
(
x
,
⋅
)
:
Y
→
K
y
↦
b
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}
∀
y
⊆
Y
{\displaystyle \forall y\subseteq Y}
,定义
b
(
⋅
,
y
)
:
X
→
K
x
↦
b
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}}
∀
b
(
x
,
⋅
)
{\displaystyle \forall b(x,\,\cdot \,)}
是Y 上的线性泛函 ,
∀
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle \forall b(\,\cdot \,,y)}
是X 上的线性泛函。令
b
(
X
,
⋅
)
:=
{
b
(
x
,
⋅
)
:
x
∈
X
}
and
b
(
⋅
,
Y
)
:=
{
b
(
⋅
,
y
)
:
y
∈
Y
}
{\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ and }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}}
其中每个集合构成一个线性泛函的向量空间。
通常记
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle x,y\rangle }
而非
b
(
x
,
y
)
{\displaystyle b(x,y)}
,这样配对不必写成
(
X
,
Y
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
,而可以写成
⟨
X
,
Y
⟩
{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }
。不过,本文将用
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
表示求值映射 (定义见下),以避免混淆。
若双线性形式 b 是非退化 的,则称配对
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的对偶系统 或对偶对 ,满足下面两条分离公理:
Y 分离(区分)X 的点:若
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
使得
b
(
x
,
⋅
)
=
0
{\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0}
,则
x
=
0
{\displaystyle x=0}
;等价地,对所有非零的
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
,映射
b
(
x
,
⋅
)
:
Y
→
K
{\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }
不等同于
0
{\displaystyle 0}
(即
∃
y
∈
Y
{\displaystyle \exists y\in Y}
使得
∀
x
∈
X
,
b
(
x
,
y
)
≠
0
{\displaystyle \forall x\in X,\ b(x,y)\neq 0}
);
X 分离(区分)Y 的点:若
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
使得
b
(
⋅
,
y
)
=
0
{\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0}
,则
y
=
0
{\displaystyle y=0}
;等价地,对所有非零的
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
,映射
b
(
⋅
,
y
)
:
X
→
K
{\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }
不等同于
0
{\displaystyle 0}
(即
∃
x
∈
X
{\displaystyle \exists x\in X}
使得
∀
y
∈
Y
,
b
(
x
,
y
)
≠
0
{\displaystyle \forall y\in Y,\ b(x,y)\neq 0}
)。
这样b 是非退化的,可以说b 将X 、Y 置于(分离)对偶中(places in (separated) duality),b 是三元组
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
的对偶配对(duality pairing)。
若
∀
x
∈
X
{\displaystyle \forall x\in X}
,
b
(
x
,
s
)
=
0
∀
s
∈
S
{\displaystyle b(x,s)=0\quad \forall s\in S}
能推出
x
=
0
{\displaystyle x=0}
,则称
S
∈
Y
{\displaystyle S\in Y}
为全集。
X 的全子集定义相似(见脚注)。[ note 1] 因此,当且仅当X 是X 的全子集,X 分离Y 中所有点,对Y 亦然。
若
b
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle b(x,y)=0}
,称向量x 、y 正交 ,记作
x
⊥
y
{\displaystyle x\perp y}
。若
b
(
R
,
S
)
=
{
0
}
{\displaystyle b(R,S)=\{0\}}
,称两子集
R
⊆
X
{\displaystyle R\subseteq X}
、
S
⊆
Y
{\displaystyle S\subseteq Y}
正交,记作
R
⊥
S
{\displaystyle R\perp S}
;即
∀
r
∈
R
{\displaystyle \forall r\in R}
、
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
,
b
(
r
,
s
)
=
0
{\displaystyle b(r,s)=0}
。子集正交于向量的定义与之类似。
子集
R
⊆
X
{\displaystyle R\subseteq X}
的正交补 或零化子 是
R
⊥
:=
{
y
∈
Y
:
R
⊥
y
}
:=
{
y
∈
Y
:
b
(
R
,
y
)
=
{
0
}
}
{\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}
.
于是,当且仅当
R
⊥
=
{
0
}
{\displaystyle R^{\perp }=\{0\}}
,R 是X 的全子集。
给定在
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上定义了对偶对的三元组
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
,子集
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
的绝对极集 或极集 是集合
A
∘
:=
{
y
∈
Y
:
sup
x
∈
A
|
b
(
x
,
y
)
|
≤
1
}
.
{\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}
对称地,子集
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
的绝对极集或极集记作
B
∘
{\displaystyle B^{\circ }}
,定义为
B
∘
:=
{
x
∈
X
:
sup
y
∈
B
|
b
(
x
,
y
)
|
≤
1
}
.
{\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}
为了使用有助于跟踪对偶性两侧不对称的标记,子集
B
⊆
B
{\displaystyle B\subseteq B}
的绝对极也可以称为B 的绝对预极 (absolute prepolar)或预极 (prepolar),可表为
∘
B
{\displaystyle {}^{\circ }B}
。
极
B
∘
{\displaystyle B^{\circ }}
必然是凸集,包含
0
∈
Y
{\displaystyle 0\in Y}
,若B 平衡,则
B
∘
{\displaystyle B^{\circ }}
也平衡;若B 是X 的向量子空间,则
B
∘
{\displaystyle B^{\circ }}
是Y 的向量子空间。
若A 是X 的向量子空间,则
A
∘
=
A
⊥
{\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }}
,还等于A 的实极。若
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
,则A 的双极 (bipolar,记作
A
∘
∘
{\displaystyle A^{\circ \circ }}
)是A 正交补的极,即集
∘
(
A
⊥
)
{\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right)}
。相似地,若
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
,则B 的双极是
B
∘
∘
:=
(
∘
B
)
∘
{\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }}
。
给定对
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
,定义新对
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
,其中
∀
x
∈
X
,
∀
y
∈
Y
,
d
(
y
,
x
)
:=
b
(
x
,
y
)
{\displaystyle \forall x\in X,\ \forall y\in Y,\ d(y,x):=b(x,y)}
。
对偶理论有个一贯的主题:任何对
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
都有相应的对偶对
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
。
约定与定义 :给定配对
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
的任何定义,将其应用于配对
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
,就能得到对偶定义。这约定也适用于定理。
例如,若X 分离Y 的点(或者说S 是Y 的全子集)定义如上,则此约定立即产生了对偶定义:Y 分离X 的点(或者说S 是X 的全子集)。
下面的写法几乎无处不在,可让我们不用为d 指定符号。
约定与记号 :若配对
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
的定义及其记号取决于X 和Y 的顺序(例如,X 上的麦奇拓扑
τ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \tau (X,Y,b)}
),那么交换X 、Y 顺序就意味着定义适用于
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
(接上例,拓扑
τ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \tau (Y,X,b)}
实际上是拓扑
τ
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle \tau (Y,X,d)}
)。
再比如,一旦定义了X 上的弱拓扑
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
,则此对偶定义就会自动应用到配对
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
,从而得到Y 上弱拓扑的定义——
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
而非
σ
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,d)}
。
(
X
,
Y
)
{\displaystyle (X,Y)}
及
(
Y
,
X
)
{\displaystyle (Y,X)}
的识别[ 编辑 ]
虽然从技术上将这是不正确的,也是对符号的滥用,但本文将遵守几乎普遍的管理,及将配对
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
与
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
互换处理,并用
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle (Y,X,b)}
表示
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
。
设
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配对,M 是X 的向量子空间,N 是Y 的向量子空间。则,
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
对
M
×
N
{\displaystyle M\times N}
的限制就是配对
(
M
,
N
,
b
|
M
×
N
)
{\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}
。若
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是对偶,则限制就有可能不对偶(如,若
Y
≠
{
0
}
{\displaystyle Y\neq \{0\}}
、
N
=
{
0
}
{\displaystyle N=\{0\}}
)。
本文将使用通常做法,用
(
M
,
N
,
b
)
{\displaystyle (M,N,b)}
表示限制
(
M
,
N
,
b
|
M
×
N
)
{\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}
。
设X 是向量空间,令
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
表示X 的代数对偶空间 (即,X 上所有线性泛函的空间)。则有规范对偶
(
X
,
X
#
,
c
)
{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}
,其中
c
(
x
,
x
′
)
=
⟨
x
,
x
′
⟩
=
x
′
(
x
)
{\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}
,称之为
X
×
X
#
{\displaystyle X\times X^{\#}}
上的求值映射 或自然/规范 双线性泛函。
注意
∀
x
′
∈
X
#
{\displaystyle \forall x^{\prime }\in X^{\#}}
,
c
(
⋅
,
x
′
)
{\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)}
只是表示
x
′
{\displaystyle x^{\prime }}
的另一种方式,即
c
(
⋅
,
x
′
)
=
x
′
(
⋅
)
=
x
′
.
{\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.}
若N 是
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
的一个向量子空间,则
(
X
,
X
#
,
c
)
{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}
对
X
×
N
{\displaystyle X\times N}
的限制称作规范配对 。若此配对是对偶,则称为规范对偶 。显然X 总是分离N 的点,因此当且仅当N 分离X 中的点,规范配对是对偶系统。
下列记号现在在对偶理论中几乎无处不在。
求值映射记作
⟨
x
,
x
′
⟩
=
x
′
(
x
)
{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}
(而非c ),将
(
X
,
N
,
c
)
{\displaystyle (X,N,c)}
改为
⟨
X
,
N
⟩
{\displaystyle \langle X,N\rangle }
。
假设 :按惯例,若X 是向量空间,N 是X 上线性泛函的向量空间,则除非另有说明,否则将假定它们同规范配对
⟨
X
,
N
⟩
{\displaystyle \langle X,N\rangle }
相关联。
若N 是
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
的向量子空间,则当且仅当N 分离X 的点(或等价地,N 是全的,
∀
n
∈
N
,
n
(
x
)
=
0
{\displaystyle \forall n\in N,\ n(x)=0}
能推出
x
=
0
{\displaystyle x=0}
),X 分离N 的点(或等价地,
(
X
,
N
,
c
)
{\displaystyle (X,N,c)}
是对偶),
设X 是拓扑向量空间 ,有连续对偶空间
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
。
则,规范对偶
(
X
,
X
#
,
c
)
{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}
对
X
×
X
′
{\displaystyle X\times X^{\prime }}
的限制确定了配对
(
X
,
X
′
,
c
|
X
×
X
′
)
{\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)}
,其中X 分离
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
的点。
若
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
分离X 的点(例如,若X 是豪斯多夫局部凸空间,则恒为真),则此配对形成了对偶。
假设 :正如通常所作,只要X 是拓扑向量空间,则除非另有说明,否则将假定其与规范配对
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
相关联,无需注释。
下列结果表明,拓扑向量空间上的连续线性泛函恰是在原点邻域上有界的线性泛函。
预希尔伯特空间
(
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
,当且仅当H 是
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
上的向量空间,或H 是0维,
(
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
是对偶对。这里假定半双线性形式
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
在第二坐标上是共轭齐次的,在第一坐标上是齐次的。
若
(
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
是实希尔伯特空间 ,则
(
H
,
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
形成对偶系统。
若
(
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
是复希尔伯特空间 ,则当且仅当
dim
H
=
0
{\displaystyle \operatorname {dim} H=0}
,
(
H
,
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
形成对偶系统。若H 非平凡,则
(
H
,
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
甚至不是配对,因为内积是半双线性的,而非双线性的。
设
(
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
是复预希尔伯特空间,标量乘法用并列或
⋅
{\displaystyle \cdot }
表示。
定义映射
⋅
⊥
⋅
:
C
×
H
→
H
by
c
⊥
x
:=
c
¯
x
,
{\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}
其中右式使用了H 的标量乘法。令
H
¯
{\displaystyle {\overline {H}}}
表示H 的复共轭向量空间 ,其中
H
¯
{\displaystyle {\overline {H}}}
表示加群
(
H
,
+
)
{\displaystyle (H,+)}
(所以
H
¯
{\displaystyle {\overline {H}}}
中的向量加法与H 中的相同),但
H
¯
{\displaystyle {\overline {H}}}
中的标量乘法是映射
⋅
⊥
⋅
{\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}
(而非H 被赋予的标量乘法)。
映射
b
:
H
×
H
¯
→
C
{\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }
定义为
b
(
x
,
y
)
:=
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }
,在两个坐标中都是线性的[ note 2] ,因此
(
H
,
H
¯
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}
形成对偶对。
设
X
=
R
2
,
Y
=
R
3
,
∀
(
x
1
,
y
1
)
∈
X
and
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
∈
Y
,
{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},\ Y=\mathbb {R} ^{3},\ \forall \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,}
令
b
(
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
)
:=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
.
{\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.}
则
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配对,使X 区分Y 的点,但Y 不区分X 的点。此外,
X
⊥
:=
{
y
∈
Y
:
X
⊥
y
}
=
{
(
0
,
0
,
z
)
:
z
∈
R
}
.
{\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.}
令
0
<
p
<
∞
,
X
:=
L
p
(
μ
)
,
Y
:=
L
q
(
μ
)
{\displaystyle 0<p<\infty ,\ X:=L^{p}(\mu ),\ Y:=L^{q}(\mu )}
(其中q 满足
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}
),
b
(
f
,
g
)
:=
∫
f
g
d
μ
.
{\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .}
则
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是对偶系统。
令X 、Y 是同一域
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的向量空间,则双线性形式
b
(
x
⊗
y
,
x
∗
⊗
y
∗
)
=
⟨
x
′
,
x
⟩
⟨
y
′
,
y
⟩
{\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }
使
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
与
X
#
×
Y
#
{\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}
对偶。
序列空间 X 及其Beta-对偶空间
Y
:=
X
β
{\displaystyle Y:=X^{\beta }}
,双线性映射定义为
∀
x
∈
X
,
y
∈
X
β
,
⟨
x
,
y
⟩
:=
∑
i
=
1
∞
x
i
y
i
{\displaystyle \forall x\in X,\ y\in X^{\beta },\ \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}
形成对偶系统。
设
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上一对向量空间。若
S
⊆
Y
{\displaystyle S\subseteq Y}
,则X 上由S (和b )诱导的弱拓扑 是X 上最弱的拓扑向量空间拓扑,记作
σ
(
X
,
S
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,S,b)}
或
σ
(
X
,
S
)
{\displaystyle \sigma (X,S)}
,使y 在S 上取值时所有映射
b
(
⋅
,
y
)
:
X
→
K
{\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }
连续。若S 在语境中不明确,则应假定是Y 的全部,这时称之为X 上(由Y 诱导的)的弱拓扑。
X
σ
(
X
,
S
,
b
)
,
X
σ
(
X
,
S
)
,
{\displaystyle X_{\sigma (X,S,b)},\ X_{\sigma (X,S)},}
或(若无混淆)
X
σ
{\displaystyle X_{\sigma }}
用于表示赋有弱拓扑
σ
(
X
,
S
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,S,b)}
的X 。
重要的是,弱拓扑完全取决于函数b 、
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
上的通常拓扑与X 上的向量空间结构,而与Y 的代数结构无关。
同样,若
R
⊆
X
{\displaystyle R\subseteq X}
,则Y 上由R (和b )诱导的弱拓扑 的对偶定义记作
σ
(
Y
,
R
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,R,b)}
或
σ
(
Y
,
R
)
{\displaystyle \sigma (Y,R)}
(细节见脚注)。[ note 3]
定义与符号 :若
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
附在一个拓扑定义上(如
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-收敛、
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-有界、
cl
σ
(
X
,
Y
,
b
)
(
S
)
{\displaystyle \operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}(S)}
等等),则就意味着当定义的第一个空间(即X )携带
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
拓扑。若无混淆,可以不提及b 甚至X 、Y 。例如,若Y 中序列
(
a
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
“
σ
{\displaystyle \sigma }
-收敛”或“弱收敛”,这意味着它收敛于
(
Y
,
σ
(
Y
,
X
,
b
)
)
{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}
,而若它是X 中的序列,则意味着它收敛于
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
)。
拓扑
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
是局部凸 的,因为它由
p
y
(
x
)
:=
|
b
(
x
,
y
)
|
{\displaystyle p_{y}(x):=|b(x,y)|}
定义的半范数族
p
y
:
X
→
R
{\displaystyle p_{y}:X\to \mathbb {R} }
确定,其中y 在Y 上取值。
若
x
∈
X
,
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle x\in X,\ \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
是X 中的网 ,则若
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
在
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
中收敛到x ,
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-收敛 于x 。网
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
,当且仅当
∀
y
∈
Y
,
b
(
x
i
,
y
)
{\displaystyle \forall y\in Y,\ b\left(x_{i},y\right)}
收敛到
b
(
x
,
y
)
{\displaystyle b(x,y)}
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-收敛到x 。
若
(
x
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
是希尔伯特空间中的正交规范 向量列,则
(
x
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
弱收敛到0,但不会规范收敛(norm-convergence)到0(或任意向量)。
若
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配对,N 是Y 的一个适当的向量子空间,使得
(
X
,
N
,
b
)
{\displaystyle (X,N,b)}
是对偶对,则
σ
(
X
,
N
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,N,b)}
比
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
严格粗 。
子集
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
,当且仅当
sup
|
b
(
S
,
y
)
|
<
∞
for all
y
∈
Y
,
{\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}
,其中
|
b
(
S
,
y
)
|
:=
{
b
(
s
,
y
)
:
s
∈
S
}
{\displaystyle |b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}}
,称S
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-有界。
若
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配对,则下列条件等价:
X 分离Y 的点;
映射
y
↦
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
定义了Y 到X 的代数对偶空间的单射 ;
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
是豪斯多夫空间 。
下列定理对对偶理论至关重要,因为它完全表征了
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
的连续对偶空间。
弱表示定理 — 令
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是域
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的配对,则
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
的连续对偶空间 是
b
(
⋅
,
Y
)
:=
{
b
(
⋅
,
y
)
:
y
∈
Y
}
.
{\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}
另外,
若f 是
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
上的连续线性泛函,则
∃
y
∈
Y
{\displaystyle \exists y\in Y}
使
f
=
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle f=b(\,\cdot \,,y)}
;若这样的y 存在,则当且仅当X 分离Y 的点时,这样的y 是唯一的。
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
的连续对偶空间可以视作商空间
Y
/
X
⊥
{\displaystyle Y/X^{\perp }}
,其中
X
⊥
:=
{
y
∈
Y
:
b
(
x
,
y
)
=
0
∀
x
∈
X
}
{\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:b(x,y)=0\ \ \forall x\in X\}}
。
无论X 是否分离Y 的点,或Y 是否分离X 中的点,这都是正确的。
因此,
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
的连续对偶空间是
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
′
=
b
(
⋅
,
Y
)
:=
{
b
(
⋅
,
y
)
:
y
∈
Y
}
.
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}
关于规范配对,若X 是拓扑向量空间,其连续对偶空间
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
分离X 的点(即使
(
X
,
σ
(
X
,
X
′
)
)
{\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)}
豪斯多夫,这可推出X 也必豪斯多夫),则
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
的连续对偶空间等于x 在X 中取值时所有“点x 处得值”的映射集合(即将
x
′
∈
X
′
{\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}
送到
x
′
(
x
)
{\displaystyle x^{\prime }(x)}
的映射)。
通常写成
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
′
=
X
or
(
X
σ
′
)
′
=
X
.
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}
这一重要事实就是为什么连续对偶空间上极拓扑的成果(如
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
上的强对偶拓扑
β
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}
)能应用到原拓扑向量空间X 的。例如,将X 视作
(
X
σ
′
)
′
{\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}
意味着
(
X
σ
′
)
′
{\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}
上的拓扑
β
(
(
X
σ
′
)
′
,
X
σ
′
)
{\displaystyle \beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)}
可被视作X 上的拓扑。
此外,若
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
被赋予比
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
更细的拓扑,那么
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
的连续对偶空间必然包含
(
X
σ
′
)
′
{\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}
(作为子集)。
例如,
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
被赋予强对偶拓扑(于是记作
X
β
′
{\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}
),则
(
X
β
′
)
′
⊇
(
X
σ
′
)
′
=
X
{\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}
这允许X 被赋予由强对偶拓扑
β
(
(
X
β
′
)
′
,
X
β
′
)
{\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}
在X 上诱导的子空间拓扑(此拓扑也称作强双对偶拓扑,见于自反空间 理论:豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X ,若
(
X
β
′
)
′
=
X
{\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X}
则称其是半自反空间 ,若在此之外,其在X 上的强双对偶拓扑
β
(
(
X
β
′
)
′
,
X
β
′
)
{\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}
还等于X 的原/初拓扑,则称其是自反空间 。
若
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配对,则对X 的任意子集S :
S
⊥
=
(
span
S
)
⊥
=
(
cl
σ
(
Y
,
X
,
b
)
span
S
)
⊥
=
S
⊥⊥⊥
{\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }}
,且此集合是
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
-闭的;
S
⊆
S
⊥⊥
=
(
cl
σ
(
X
,
Y
,
b
)
span
S
)
{\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)}
;
因此,若S 是X 的
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-闭向量子空间,则
S
⊆
S
⊥⊥
.
{\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.}
若
(
S
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}
是X 的
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-闭向量子空间族,则
(
⋂
i
∈
I
S
i
)
⊥
=
cl
σ
(
Y
,
X
,
b
)
(
span
(
⋃
i
∈
I
S
i
⊥
)
)
.
{\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).}
若
(
S
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}
是X 的子集族,则
(
⋃
i
∈
I
S
i
)
⊥
=
⋂
i
∈
I
S
i
⊥
.
{\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.}
若X 是赋范空间,则根据规范对偶性,
S
⊥
{\displaystyle S^{\perp }}
在
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
中对范是封闭的,
S
⊥⊥
{\displaystyle S^{\perp \perp }}
在X 中对范是封闭的。
设M 是X 的向量子空间,并令
(
M
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (M,Y,b)}
表示
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
对
M
×
Y
{\displaystyle M\times Y}
的限制。
M 上的弱拓扑
σ
(
M
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (M,Y,b)}
与M 从
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
继承的子空间拓扑 相同。
另外,
(
M
,
Y
/
M
⊥
,
b
|
M
)
{\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}
是配对空间(paired space)(其中
Y
/
M
⊥
{\displaystyle Y/M^{\perp }}
是
Y
/
(
M
⊥
)
{\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}
),其中
b
|
M
:
M
×
Y
/
M
⊥
→
K
{\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }
定义为
(
m
,
y
+
M
⊥
)
↦
b
(
m
,
y
)
.
{\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}
拓扑
σ
(
M
,
Y
/
M
⊥
,
b
|
M
)
{\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}
等于M 继承自
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
的子空间拓扑 。
此外,若
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
是对偶系统,则
(
M
,
Y
/
M
⊥
,
b
|
M
)
{\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}
也是。
设M 是X 的向量子空间,则
(
X
/
M
,
M
⊥
,
b
/
M
)
{\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}
是配对空间,其中
b
/
M
:
X
/
M
×
M
⊥
→
K
{\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }
定义为
(
x
+
M
,
y
)
↦
b
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}
拓扑
σ
(
X
/
M
,
M
⊥
)
{\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)}
等同于
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
在
X
/
M
{\displaystyle X/M}
上诱导的一般的商拓扑 。
弱X 是局部凸空间,且若H 是连续对偶空间
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
的子集,则当且仅当对X 中某桶 B ,有
H
⊆
B
∘
{\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}
时,H 是
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
-有界的。
下列结果对定义极拓扑非常重要。
若
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配对,
A
⊆
X
,
{\displaystyle A\subseteq X,}
则
A 的极
A
∘
{\displaystyle A^{\circ }}
是
(
Y
,
σ
(
Y
,
X
,
b
)
)
{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}
的闭子集。
下列集合的极相同:(a) A ;(b) A 的凸壳;(c) A 的平衡壳 ;(d) A 的
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-闭合;(e) A 的凸平衡壳 的
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-闭合。
双极定理 :A 的双极
A
∘
∘
{\displaystyle A^{\circ \circ }}
等于A 的凸平衡壳的
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-闭合。
当且仅当
A
∘
{\displaystyle A^{\circ }}
吸收 于Y 时,A 是
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-有界的。
若Y 还分离X 的点,则当且仅当A 是
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-全有界 时,A 是
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-有界 的。
若
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配对,
τ
{\displaystyle \tau }
是X 上与对偶一致的局部凸拓扑,则当且仅当B 是Y 的某
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
-有界子集的极 时,
B
⊆
X
{\displaystyle B\subseteq X}
是
(
X
,
τ
)
{\displaystyle (X,\tau )}
中的桶 。
令
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
和
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
是
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的配对,并令
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是线性映射。
∀
z
∈
Z
,
{\displaystyle \forall z\in Z,}
令
c
(
F
(
⋅
)
,
z
)
:
X
→
K
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z):X\to \mathbb {K} }
是由
x
↦
c
(
F
(
x
)
,
z
)
{\displaystyle x\mapsto c(F(x),z)}
定义的映射。
若满足以下条件,就可以说F 的转置或伴随是良定的(well-defined):
X 分离Y 中的点(或等价地,从Y 抵达代数对偶
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
的映射
y
↦
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
是单射 ),且
c
(
F
(
⋅
)
,
Z
)
⊆
b
(
⋅
,
Y
)
,
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y),}
其中
c
(
F
(
⋅
)
,
Z
)
:=
{
c
(
F
(
⋅
)
,
z
)
:
z
∈
Z
}
,
b
(
⋅
,
Y
)
:=
{
b
(
⋅
,
y
)
:
y
∈
Y
}
.
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z):=\{c(F(\,\cdot \,),z):z\in Z\},\ b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}
这样,
∀
z
∈
Z
{\displaystyle \forall z\in Z}
存在(由条件2)唯一的(由条件1)
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
,使
c
(
F
(
⋅
)
,
z
)
=
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b(\,\cdot \,,y)}
,其中Y 的这个元素将表为
t
F
(
z
)
{\displaystyle {}^{t}F(z)}
。这定义了线性映射
t
F
:
Z
→
Y
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
称作F 的转置或关于
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
和
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
的伴随(注意不要与厄米伴随 混淆)。不难看出,上述两个条件(即“转置良定义”)也是
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
良定的必要条件。
∀
z
∈
Z
{\displaystyle \forall z\in Z}
,
t
F
(
z
)
{\displaystyle {}^{t}F(z)}
的定义条件是
c
(
F
(
⋅
)
,
z
)
=
b
(
⋅
,
t
F
(
z
)
)
,
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right),}
即,
∀
x
∈
X
,
c
(
F
(
x
)
,
z
)
=
b
(
x
,
t
F
(
z
)
)
.
{\displaystyle \forall x\in X,\ c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right).}
根据本文开头提到的约定,这也定义了形式为
Z
→
Y
,
{\displaystyle Z\to Y,}
[ note 4]
X
→
Z
,
{\displaystyle X\to Z,}
[ note 5]
W
→
Y
,
{\displaystyle W\to Y,}
[ note 6]
Y
→
W
,
{\displaystyle Y\to W,}
[ note 7] 等的线性映射的转置(见脚注)。
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
和
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
是
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的配对,
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是线性映射,其转置
t
F
:
Z
→
Y
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
是良定义的。
当且仅当F 的范围在
(
W
,
σ
(
W
,
Z
,
c
)
)
{\displaystyle \left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right)}
中稠密时,
t
F
:
Z
→
Y
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
是单射 (即
ker
t
F
=
{
0
}
{\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}}
)。
若除了
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
良定义外,
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
的转置也良定义,则
t
t
F
=
F
{\displaystyle {}^{tt}F=F}
。
设
(
U
,
V
,
a
)
{\displaystyle (U,V,a)}
是
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的配对,
E
:
U
→
X
{\displaystyle E:U\to X}
是线性映射,其转置
t
E
:
Y
→
V
{\displaystyle {}^{t}E:Y\to V}
是良定义的,则
F
∘
E
:
U
→
W
{\displaystyle F\circ E:U\to W}
的转置
t
(
F
∘
E
)
:
Z
→
V
{\displaystyle {}^{t}(F\circ E):Z\to V}
也是良定义的,且
t
(
F
∘
E
)
=
t
E
∘
t
F
.
{\displaystyle {}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.}
若
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是向量空间同构,则
t
F
:
Z
→
Y
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
是双射,
F
−
1
:
W
→
X
{\displaystyle F^{-1}:W\to X}
的转置
t
(
F
−
1
)
:
Y
→
Z
{\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z}
是良定义的,且
t
(
F
−
1
)
=
(
t
F
)
−
1
{\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}}
令
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
,
S
∘
{\displaystyle S^{\circ }}
表示A 的绝对极 ,则
[
F
(
S
)
]
∘
=
(
t
F
)
−
1
(
S
∘
)
{\displaystyle [F(S)]^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)}
;
若
∀
T
⊆
W
,
F
(
S
)
⊆
T
{\displaystyle \forall T\subseteq W,\ F(S)\subseteq T}
,则
t
F
(
T
∘
)
⊆
S
∘
{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}
;
若
T
⊆
W
{\displaystyle T\subseteq W}
使得
t
F
(
T
∘
)
⊆
S
∘
{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}
,则
F
(
S
)
⊆
T
∘
∘
{\displaystyle F(S)\subseteq T^{\circ \circ }}
;
若
T
⊆
W
{\displaystyle T\subseteq W}
,
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
是弱闭圆盘,则当且仅当
F
(
S
)
⊆
T
{\displaystyle F(S)\subseteq T}
时,
t
F
(
T
∘
)
⊆
S
∘
{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}
;
ker
t
F
=
[
F
(
X
)
]
⊥
.
{\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp }.}
将绝对极换成实极,这些结果不变。
若X 、Y 是规范对偶下的赋范空间、
F
:
X
→
Y
{\displaystyle F:X\to Y}
是连续线性映射,则
‖
F
‖
=
‖
t
F
‖
{\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|}
。
线性映射
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
,若
F
:
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
→
(
W
,
(
W
,
Z
,
c
)
)
{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}
连续,则称其(关于
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
和
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
)弱连续 。
下面的结果表明,转置映射的存在与弱拓扑密切相关。
命题 — 设X 分离Y 的点,
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是线性映射。
则下列条件等价:
F 是弱连续的(即
F
:
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
→
(
W
,
(
W
,
Z
,
c
)
)
{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}
连续);
c
(
F
(
⋅
)
,
Z
)
⊆
b
(
⋅
,
Y
)
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y)}
;
F 的转置是良定义的。
若F 是弱连续的,则
t
F
:
Z
→
Y
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
是弱连续的,即
t
F
:
(
Z
,
σ
(
Z
,
W
,
c
)
)
→
(
Y
,
(
Y
,
X
,
b
)
)
{\displaystyle {}^{t}F:(Z,\sigma (Z,W,c))\to (Y,(Y,X,b))}
连续;
当且仅当Z 分离W 的点,转置
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
良定义,这时
t
t
F
=
F
{\displaystyle {}^{tt}F=F}
。
设X 是向量空间,
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
是其代数对偶。则X 的所有
σ
(
X
,
X
#
)
{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}
-有界子集包含于有限维向量子空间,X 的所有向量子空间是
σ
(
X
,
X
#
)
{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}
-闭的。
若
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
是完备拓扑向量空间 ,例如X 是
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-完备或(若无歧义)弱完备的情形。
存在不弱完备的巴拿赫空间 (尽管在其范拓扑中是完备的)。
若X 是向量空间,则在规范对偶下,
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
是完备的。
相反,若Z 是豪斯多夫局部凸 拓扑向量空间,且有连续对偶空间
Z
′
{\displaystyle Z^{\prime }}
,则当且仅当
Z
=
(
Z
′
)
#
{\displaystyle Z=\left(Z^{\prime }\right)^{\#}}
时,
(
Z
,
σ
(
Z
,
Z
′
)
)
{\displaystyle \left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)}
是完备的;即,当且仅当将
z
∈
Z
{\displaystyle z\in Z}
发送到z 处求值映射(即
z
′
↦
z
′
(
z
)
{\displaystyle z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)}
)的映射
Z
→
(
Z
′
)
#
{\displaystyle Z\to \left(Z^{\prime }\right)^{\#}}
是双射。
特别地,就规范对偶而言,若Y 是
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
的向量子空间,使Y 分离X 中的点,则当且仅当
Y
=
X
#
{\displaystyle Y=X^{\#}}
,
(
Y
,
σ
(
Y
,
X
)
)
{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X))}
是完备的。
换句话说,
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
不存在紧合向量子空间
Y
≠
X
#
{\displaystyle Y\neq X^{\#}}
使得
(
X
,
σ
(
X
,
Y
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y))}
是豪斯多夫空间,且Y 在弱-*拓扑 (即逐点收敛的拓扑)中完备。
因此,若豪斯多夫 局部凸拓扑向量空间 X 的连续对偶空间
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
被赋以弱*-拓扑 ,当且仅当
X
′
=
X
#
{\displaystyle X^{\prime }=X^{\#}}
(即X 上所有线性泛函都连续)时,
X
σ
′
{\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}
是完备的。
若X 分离Y 的点、Z 表示单射
y
↦
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
的范围,则Z 是X 的代数对偶空间的向量子空间,且配对
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
与规范配对
⟨
X
,
Z
⟩
{\displaystyle \langle X,Z\rangle }
(其中
⟨
x
,
x
′
⟩
:=
x
′
(
x
)
{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}
是自然求值映射)是规范等同(canonically identify)的。
特别地,这时我们将不失一般性 地假设Y 是X 代数对偶的向量子空间,而b 是求值映射。
约定 :通常,只要
y
↦
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
是单射(尤其当
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
形成对偶对),通常不失一般性 地假设Y 是X 的代数对偶空间的向量子空间,且b 是自然求值映射,Y 还可记作
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
。
完全类似的是,若Y 分离X 中的点,则X 就有可能等同于Y 的代数对偶空间的向量子空间。
在对偶是规范对偶
⟨
X
,
X
#
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }
和
⟨
W
,
W
#
⟩
{\displaystyle \left\langle W,W^{\#}\right\rangle }
的特例下,线性映射
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
的转置总是良定义的。
此转置称作F 的代数伴随 ,记作
F
#
{\displaystyle F^{\#}}
;
即
F
#
=
t
F
:
W
#
→
X
#
.
{\displaystyle F^{\#}={}^{t}F:W^{\#}\to X^{\#}.}
这样,
∀
w
′
∈
W
#
,
F
#
(
w
′
)
=
w
′
∘
F
{\displaystyle \forall w^{\prime }\in W^{\#},\ F^{\#}\left(w^{\prime }\right)=w^{\prime }\circ F}
其中
F
#
(
w
′
)
{\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)}
的定义条件是
⟨
x
,
F
#
(
w
′
)
⟩
=
⟨
F
(
x
)
,
w
′
⟩
∀
>
x
∈
X
,
{\displaystyle \left\langle x,F^{\#}\left(w^{\prime }\right)\right\rangle =\left\langle F(x),w^{\prime }\right\rangle \quad \forall >x\in X,}
或等价地
F
#
(
w
′
)
(
x
)
=
w
′
(
F
(
x
)
)
∀
x
∈
X
.
{\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)(x)=w^{\prime }(F(x))\quad \forall x\in X.}
若对整数n ,
X
=
Y
=
K
n
{\displaystyle X=Y=\mathbb {K} ^{n}}
,
E
=
{
e
1
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}}
是X 的基,其对偶基
E
′
=
{
e
1
′
,
…
,
e
n
′
}
,
F
:
K
n
→
K
n
{\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }=\left\{e_{1}^{\prime },\ldots ,e_{n}^{\prime }\right\},\ F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}
是线性算子,F 关于
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
的矩阵表示是
M
:=
(
f
i
,
j
)
{\displaystyle M:=\left(f_{i,j}\right)}
,则M 的转置是
F
#
{\displaystyle F^{\#}}
关于
E
′
{\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }}
的矩阵表示。
设
⟨
X
,
Y
⟩
{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }
,
⟨
W
,
Z
⟩
{\displaystyle \langle W,Z\rangle }
是对偶系统的规范配对(所以
Y
⊆
X
#
,
Z
⊆
W
#
{\displaystyle Y\subseteq X^{\#},\ Z\subseteq W^{\#}}
),并令
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是线性映射。则当且仅当
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
满足下列等价条件之一,F 是弱连续的:
F
:
(
X
,
σ
(
X
,
Y
)
)
→
(
W
,
σ
(
W
,
Z
)
)
{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}
连续;
F
#
(
Z
)
⊆
Y
{\displaystyle F^{\#}(Z)\subseteq Y}
F 的转置
t
F
:
Z
→
Y
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
相对于
⟨
X
,
Y
⟩
{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }
和
⟨
W
,
Z
⟩
{\displaystyle \langle W,Z\rangle }
是良定义的。
若F 是弱连续的,则
t
F
::
(
Z
,
σ
(
Z
,
W
)
)
→
(
Y
,
σ
(
Y
,
X
)
)
{\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}
是连续的,于是
t
t
F
=
F
{\displaystyle {}^{tt}F=F}
拓扑空间之间的映射
g
:
A
→
B
{\displaystyle g:A\to B}
,若
g
:
A
→
Im
g
{\displaystyle g:A\to \operatorname {Im} g}
是开映射 (
Im
g
{\displaystyle \operatorname {Im} g}
是g 的范围),则称之是相对开 的。
设
⟨
X
,
Y
⟩
,
⟨
W
,
Z
⟩
{\displaystyle \langle X,Y\rangle ,\ \langle W,Z\rangle }
是对偶系统,
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是弱连续线性映射。则下列条件等价:
F
:
(
X
,
σ
(
X
,
Y
)
)
→
(
W
,
σ
(
W
,
Z
)
)
{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}
是相对开的;
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
的范围在Y 中
σ
(
Y
,
X
)
{\displaystyle \sigma (Y,X)}
-闭;
Im
t
F
=
(
ker
F
)
⊥
{\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F=(\operatorname {ker} F)^{\perp }}
此外
当且仅当
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
是满射(或双射),
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是单射(或双射);
当且仅当
t
F
::
(
Z
,
σ
(
Z
,
W
)
)
→
(
Y
,
σ
(
Y
,
X
)
)
{\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}
是相对开单射,
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是满射。
当且仅当F 是弱连续的,两拓扑向量空间之间映射的转置才被定义。
设
F
:
X
→
Y
{\displaystyle F:X\to Y}
是两豪斯多夫局部凸拓扑向量空间之间的线性映射,则
若F 连续,则其是弱连续的,且
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
是麦基连续的,也是强连续的;
若F 是弱连续的,则其是麦基连续的,也是强连续的(定义见下)。
若F 是弱连续的,则当且仅当
t
F
:
′
→
X
′
{\displaystyle {}^{t}F:^{\prime }\to X^{\prime }}
将
Y
′
{\displaystyle Y^{\prime }}
的等度连续 子集映射到
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
的等度连续子集时,F 才是连续的。
若X 和Y 是赋范空间,则当且仅当F 是弱连续的(这时
‖
F
‖
=
‖
t
F
‖
{\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|}
),F 连续。
若F 连续,则当且仅当
F
:
X
→
Y
{\displaystyle F:X\to Y}
是弱相对开的(即
F
:
(
X
,
σ
(
X
,
X
′
)
)
→
(
Y
,
σ
(
Y
,
Y
′
)
)
{\displaystyle F:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)}
是相对开的)、且
Im
t
F
=
t
F
(
Y
′
)
{\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F={}^{t}F\left(Y^{\prime }\right)}
的等度连续子集都是
Y
′
{\displaystyle Y^{\prime }}
的某等度连续子集的像时,F 是相对开的。
若F 是连续单射,则当且仅当
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
的等度连续子集都是
Y
′
{\displaystyle Y^{\prime }}
的某等度连续子集的像,
F
:
X
→
Y
{\displaystyle F:X\to Y}
是拓扑向量空间嵌入(或等价的拓扑嵌入 )。
令X 是局部凸 空间,有连续对偶空间
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
,并令
K
⊆
X
′
{\displaystyle K\subseteq X^{\prime }}
。
若K 是等度连续 或
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
-紧的,且
D
⊆
X
′
{\displaystyle D\subseteq X^{\prime }}
使得
span
D
{\displaystyle \operatorname {span} D}
在X 中稠密,则K 从
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
D
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },D\right)\right)}
继承的子空间拓扑等同于K 从
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
继承的子空间拓扑。
若X 是可分的 、K 是等度连续的,则K 被赋予由
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
诱导的子空间拓扑后是可度量化 的。
若X 是可分、可度量化的,则
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
是可分的。
若X 是赋范空间,则当且仅当给定由
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
诱导的子空间拓扑,X 的连续对偶空间的封闭单元(X 的连续对偶空间)可度量时,X 是可分的。
若X 是赋范空间,其连续对偶空间可分(给定通常的范拓扑)时,X 可分。
从弱拓扑开始,极基 的使用会产生一系列局部凸拓扑。这样的拓扑称作极拓扑 ,弱拓扑是其中最弱的。
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
将是
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的配对,
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
将是X 的
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-有界子集的非空集合。
给定X 子集的集合
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
,Y 上由
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
(与b )定义的极拓扑 (或Y 上的
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
-拓扑)是Y 上唯一的拓扑向量空间 拓扑,其中
{
r
G
∘
:
G
∈
G
,
r
>
0
}
{\displaystyle \left\{rG^{\circ }:G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}
形成了原点邻域的子基 。
Y 被赋予这
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
-拓扑时,就表示为
Y
G
{\displaystyle Y_{\mathcal {G}}}
。极拓扑都需要是局部凸的。
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
是关于子集包含的有向集合 时(即若
∀
G
,
K
∈
G
{\displaystyle \forall G,K\in {\mathcal {G}}}
,
∃
K
∈
G
{\displaystyle \exists K\in {\mathcal {G}}}
使得
G
∪
H
⊆
K
{\displaystyle G\cup H\subseteq K}
),则此0处的邻域子基实际上形成了0处的邻域基 。
下面列出了一些较重要的极拓扑。
符号 :若
Δ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \Delta (X,Y,b)}
表示Y 上的极拓扑,则呗赋予此拓扑的Y 将记作
Y
Δ
(
Y
,
X
,
b
)
,
Y
Δ
(
Y
,
X
)
{\displaystyle Y_{\Delta (Y,X,b)},\ Y_{\Delta (Y,X)}}
或
Y
Δ
{\displaystyle Y_{\Delta }}
(如对
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
我们有
Δ
=
σ
{\displaystyle \Delta =\sigma }
,这样
Y
σ
(
Y
,
X
,
b
)
,
Y
σ
(
Y
,
X
)
{\displaystyle Y_{\sigma (Y,X,b)},\ Y_{\sigma (Y,X)}}
和
Y
σ
{\displaystyle Y_{\sigma }}
都表示赋予了
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
的Y )。
G
⊆
P
X
{\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {P}}X}
(“…上一致收敛的拓扑”)
记作
名称(“…的拓扑”)
又称
X 的有限子集 (或X 有限子集的
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-闭圆盘化壳 )
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
s
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle s(X,Y,b)}
逐点/简单收敛
弱/弱-*拓扑
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-紧圆盘
τ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \tau (X,Y,b)}
麦基拓扑
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-紧凸子集
γ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \gamma (X,Y,b)}
紧凸收敛
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-紧子集 (或平衡
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-紧子集)
c
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle c(X,Y,b)}
紧收敛
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-有界子集
b
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle b(X,Y,b)}
β
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \beta (X,Y,b)}
有界收敛
强拓扑 最强的极拓扑
连续性
若
F
:
(
X
,
τ
(
X
,
Y
,
b
)
)
→
(
W
,
τ
(
W
,
Z
,
c
)
)
{\displaystyle F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))}
连续,则线性映射
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是(关于
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
和
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
)麦基连续 的。
若
F
:
(
X
,
β
(
X
,
Y
,
b
)
)
→
(
W
,
β
(
W
,
Z
,
c
)
)
{\displaystyle F:(X,\beta (X,Y,b))\to (W,\beta (W,Z,c))}
是连续的,则线性映射
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是(关于
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
和
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
)强连续的。
X 的子集,若在
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
(或
(
X
,
τ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\tau (X,Y,b))}
、
(
X
,
β
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\beta (X,Y,b))}
)中有界,则称X 是弱有界 (或麦基有界 、强有界 )。
弱
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的配对,
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
是X 上的向量拓扑,则
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
是配对的拓扑,且若其局部凸、
(
X
,
T
)
{\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)}
的连续对偶空间
=
b
(
⋅
,
Y
)
{\displaystyle =b(\,\cdot \,,Y)}
,则称之与配对
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
相容或一致。[ note 8]
若X 分离Y 的点,则Y 可视作X 的代数对偶的向量子空间,定义条件变为
(
X
,
T
)
′
=
Y
.
{\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)^{\prime }=Y.}
有人(如[Trèves 2006]、[Schaefer 1999])要求配对的拓扑也要是豪斯多夫的,若Y 分离X 的点(这些学者假设),则必须是豪斯多夫的。
弱拓扑
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
同配对
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
相容(如弱表示定理所示),事实上是最弱的拓扑。还有一种与这种配对相容的最强拓扑,即麦基拓扑 。
若N 是非自反 的赋范空间,则其连续对偶空间上通常的范拓扑同对偶
(
N
′
,
N
)
{\displaystyle \left(N^{\prime },N\right)}
不相容。
下面是对偶理论中最重要的定理之一。
麦基–阿伦定理 I — 令
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配对,使X 分离Y 的点,并令
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
是X 上的局部凸拓扑(不必豪斯多夫)。
则,当且仅当
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
是由某覆盖了Y 的[ note 9]
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
-紧圆盘 集合
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
确定的极拓扑时,称
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
与配对
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
相容。
由此可见,麦基拓扑
τ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \tau (X,Y,b)}
是由Y 中所有
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-紧圆盘生成的极拓扑,是X 上与配对
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
相容的最强局部凸拓扑。
给定拓扑与麦基拓扑相同的局部凸空间称作麦基空间 。
上述麦基-阿伦定理的一下结果也称作麦基-阿伦定理。
麦基–阿伦定理 II — 令
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配对,使得X 分离Y 的点,并且
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
是X 上的局部凸拓扑。则,当且仅当
σ
(
X
,
Y
,
b
)
⊆
T
⊆
τ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)\subseteq {\mathcal {T}}\subseteq \tau (X,Y,b)}
,
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
与配对相容。
若X 是(
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
或
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
上的)拓扑向量空间,则半空间 (half-space)是形式为
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
≤
r
}
{\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}
的集合。(r 是实数,f 是X 上的连续实值线性泛函)
上述定理说明,局部凸空间的闭子集和凸子集完全取决于连续对偶空间。于是,在任何与配对相容的拓扑中,闭子集和凸子集都相同;即,若
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
、
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
是X 上的任意局部凸拓扑,且有同样的连续对偶空间,则当且仅当X 的凸子集在
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
拓扑中封闭,,此子集也在
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
拓扑中封闭。
这说明,X 任意凸子集的
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
-闭等同于其
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
-闭,对X 中任意
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
-闭圆盘A ,
A
=
A
∘
∘
{\displaystyle A=A^{\circ \circ }}
。
特别地,若B 是X 的一个子集,则当且仅当B 是
(
X
,
L
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
中的桶时,B 也是
(
X
,
L
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
中的桶 。
下面的定理说明,桶 (即闭吸收 圆盘)恰是弱有界子集的极。
若X 是拓扑向量空间,则
X 的闭吸收 平衡 子集B 吸收X 的所有凸紧子集(即存在正实数r 使得
r
B
{\displaystyle rB}
包含此集)。
若X 是豪斯多夫局部凸的,则X 中每个桶都吸收X 的每个凸有界完备子集。
所有这些都引出了麦基定理,这是对偶系统理论的核心定理之一。简言之,定理支出,对符合相同对偶性的两豪斯多夫局部凸拓扑,有界子集是相同的。
麦基定理 — 设
(
X
,
L
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
是豪斯多夫局部凸空间,有连续对偶空间
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
,并考虑规范对偶
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
。
若
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
是X 上任意与对偶
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
相容的拓扑,则
(
X
,
L
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
的有界子集与
(
X
,
L
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
的有界子集相同。
令X 表示标量
r
∙
=
(
r
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
的所有序列的空间,且对所有足够大的i 都有
r
i
=
0
{\displaystyle r_{i}=0}
。
令
Y
=
X
{\displaystyle Y=X}
,定义双线性映射
b
:
X
×
X
→
K
{\displaystyle b:X\times X\to \mathbb {K} }
为
b
(
r
∙
,
s
∙
)
:=
∑
i
=
1
∞
r
i
s
i
.
{\displaystyle b\left(r_{\bullet },s_{\bullet }\right):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}.}
则
σ
(
X
,
X
,
b
)
=
τ
(
X
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,X,b)=\tau (X,X,b)}
。
此外,当且仅当存在正实数序列
m
∙
=
(
m
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
,使得
|
t
i
|
≤
m
i
,
∀
t
∙
=
(
t
i
)
i
=
1
∞
∈
T
{\displaystyle \left|t_{i}\right|\leq m_{i},\ \forall t_{\bullet }=\left(t_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in T}
、及所有指标i (或还有
m
∙
∈
X
{\displaystyle m_{\bullet }\in X}
)时,子集
T
⊆
X
{\displaystyle T\subseteq X}
是
σ
(
X
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,X,b)}
-有界(或
β
(
X
,
X
,
b
)
{\displaystyle \beta (X,X,b)}
-有界)的。
由此可见,X 的子集中有弱有界(即
σ
(
X
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,X,b)}
-有界)的,但没有强有界(即无
β
(
X
,
X
,
b
)
{\displaystyle \beta (X,X,b)}
-有界)的。
^ 子集
S
∈
X
{\displaystyle S\in X}
,若
∀
y
∈
Y
{\displaystyle \forall y\in Y}
,
b
(
s
,
y
)
=
0
∀
s
∈
S
{\displaystyle b(s,y)=0\quad \forall s\in S}
推出
y
=
0
{\displaystyle y=0}
,则称S 为全子集。
^ b 在第一坐标中线性显然。设c 是标量,则
b
(
x
,
c
⊥
y
)
=
b
(
x
,
c
¯
y
)
=
⟨
x
,
c
¯
y
⟩
=
c
⟨
x
,
y
⟩
=
c
b
(
x
,
y
)
{\displaystyle b(x,c\perp y)=b\left(x,{\overline {c}}y\right)=\langle x,{\overline {c}}y\rangle =c\langle x,y\rangle =cb(x,y)}
,说明b 在第二坐标中也线性。
^ Y 上的弱拓扑是Y 上使所有映射
b
(
x
,
⋅
)
:
Y
→
K
{\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }
连续的最弱的拓扑向量空间拓扑(x 在R 上取值)。
(
Y
,
σ
(
Y
,
R
,
b
)
)
,
(
Y
,
σ
(
Y
,
R
)
)
,
{\displaystyle (Y,\sigma (Y,R,b)),\ (Y,\sigma (Y,R)),}
或
(
Y
,
σ
)
{\displaystyle (Y,\sigma )}
的对偶定义也可用来表示赋有弱拓扑
σ
(
Y
,
R
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,R,b)}
的Y 。若R 在语境中不明确,则应假定是X 的全部,这时称之为Y 上(由X 诱导)的弱拓扑。
^ 若
G
:
Z
→
Y
{\displaystyle G:Z\to Y}
是线性映射,则当且仅当Z 分离W 的点、
b
(
X
,
G
(
⋅
)
)
⊆
c
(
W
,
⋅
)
{\displaystyle b(X,G(\,\cdot \,))\subseteq c(W,\,\cdot \,)}
时,G 的转置
t
G
:
X
→
W
{\displaystyle {}^{t}G:X\to W}
是良定的。这时,
∀
x
∈
X
{\displaystyle \forall x\in X}
,
t
G
(
x
)
{\displaystyle {}^{t}G(x)}
的定义条件是:
c
(
x
,
G
(
⋅
)
)
=
c
(
t
G
(
x
)
,
⋅
)
.
{\displaystyle c(x,G(\,\cdot \,))=c\left({}^{t}G(x),\,\cdot \,\right).}
^ 若
H
:
X
→
Z
{\displaystyle H:X\to Z}
是线性映射,则当且仅当X 分离Y 的点、
c
(
W
,
H
(
⋅
)
)
⊆
b
(
⋅
,
Y
)
{\displaystyle c(W,H(\,\cdot \,))\subseteq b(\,\cdot \,,Y)}
时,H 的转置
t
H
:
W
→
Y
,
{\displaystyle {}^{t}H:W\to Y,}
是良定的。这时,
∀
w
∈
W
{\displaystyle \forall w\in W}
,
t
H
(
w
)
{\displaystyle {}^{t}H(w)}
的定义条件是:
c
(
w
,
H
(
⋅
)
)
=
b
(
⋅
,
t
H
(
w
)
)
.
{\displaystyle c(w,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(w)\right).}
^ 若
H
:
W
→
Y
{\displaystyle H:W\to Y}
是线性映射,则当且仅当W 分离Z 的点、
b
(
X
,
H
(
⋅
)
)
⊆
c
(
⋅
,
Z
)
{\displaystyle b(X,H(\,\cdot \,))\subseteq c(\,\cdot \,,Z)}
时,H 的转置
t
H
:
X
→
Q
,
{\displaystyle {}^{t}H:X\to Q,}
是良定的。这时
∀
x
∈
X
{\displaystyle \forall x\in X}
,
t
H
(
x
)
{\displaystyle {}^{t}H(x)}
的定义条件是:
c
(
x
,
H
(
⋅
)
)
=
b
(
⋅
,
t
H
(
x
)
)
.
{\displaystyle c(x,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(x)\right).}
^ 若
H
:
Y
→
W
{\displaystyle H:Y\to W}
是线性映射,则当且仅当Y 分离X 的点、
c
(
H
(
⋅
)
,
Z
)
⊆
b
(
X
,
⋅
)
{\displaystyle c(H(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(X,\,\cdot \,)}
时,H 的转置
t
H
:
Z
→
X
,
{\displaystyle {}^{t}H:Z\to X,}
是良定的。这时,
∀
z
∈
Z
{\displaystyle \forall z\in Z}
,
t
H
(
z
)
{\displaystyle {}^{t}H(z)}
的定义条件是:
c
(
H
(
⋅
)
,
z
)
=
b
(
t
H
(
z
)
,
⋅
)
{\displaystyle c(H(\,\cdot \,),z)=b\left({}^{t}H(z),\,\cdot \,\right)}
^ 当然,Y 上拓扑也有“与配对相容”的类似定义,但本文只讨论X 上的拓扑。
^ 集合S 与其子集的集合
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
,若S 的点都包含于
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
中的某集合,称
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
覆盖 了S 。
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics Second. Boca Raton, FL: CRC Press. 2011. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6 .
Rudin, Walter . Functional Analysis . International Series in Pure and Applied Mathematics Second. New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. Topological Vector Spaces. GTM Second. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. 1999. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Schmitt, Lothar M. An Equivariant Version of the Hahn–Banach Theorem . Houston J. Of Math. 1992, 18 : 429–447 [2024-04-03 ] . (原始内容存档 于2022-01-24).
Trèves, François . Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. [1967]. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
基础概念 研究主题 映射 集合 主要成果 级数 对偶性 应用与相关