數學 中,域
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的對偶系統 或對偶對 是指三元組
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
,包含
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的2個向量空間 X 、Y ,以及非退化 雙線性映射
b
:
X
×
Y
→
K
{\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }
。
對偶理論 是對對偶系統的研究,在泛函分析 中占有重要地位,並通過希爾伯特空間 廣泛應用於量子力學 中。
域
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的配對 (pairing或pair)是一個三元組
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
,也可以用
b
(
X
,
Y
)
{\displaystyle b(X,Y)}
表示, 包含
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的兩個向量空間X 、Y 及雙線性映射
b
:
X
×
Y
→
K
{\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }
,稱作與配對關聯的雙線性映射,或配對的映射,或其雙線性形式 。簡單起見,本文只涉及
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
是實數
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
或複數
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
的例子。
∀
x
⊆
X
{\displaystyle \forall x\subseteq X}
,定義
b
(
x
,
⋅
)
:
Y
→
K
y
↦
b
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}
∀
y
⊆
Y
{\displaystyle \forall y\subseteq Y}
,定義
b
(
⋅
,
y
)
:
X
→
K
x
↦
b
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}}
∀
b
(
x
,
⋅
)
{\displaystyle \forall b(x,\,\cdot \,)}
是Y 上的線性泛函 ,
∀
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle \forall b(\,\cdot \,,y)}
是X 上的線性泛函。令
b
(
X
,
⋅
)
:=
{
b
(
x
,
⋅
)
:
x
∈
X
}
and
b
(
⋅
,
Y
)
:=
{
b
(
⋅
,
y
)
:
y
∈
Y
}
{\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ and }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}}
其中每個集合構成一個線性泛函的向量空間。
通常記
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle x,y\rangle }
而非
b
(
x
,
y
)
{\displaystyle b(x,y)}
,這樣配對不必寫成
(
X
,
Y
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
,而可以寫成
⟨
X
,
Y
⟩
{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }
。不過,本文將用
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
表示求值映射 (定義見下),以避免混淆。
若雙線性形式 b 是非退化 的,則稱配對
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的對偶系統 或對偶對 ,滿足下面兩條分離公理:
Y 分離(區分)X 的點:若
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
使得
b
(
x
,
⋅
)
=
0
{\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0}
,則
x
=
0
{\displaystyle x=0}
;等價地,對所有非零的
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
,映射
b
(
x
,
⋅
)
:
Y
→
K
{\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }
不等同於
0
{\displaystyle 0}
(即
∃
y
∈
Y
{\displaystyle \exists y\in Y}
使得
∀
x
∈
X
,
b
(
x
,
y
)
≠
0
{\displaystyle \forall x\in X,\ b(x,y)\neq 0}
);
X 分離(區分)Y 的點:若
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
使得
b
(
⋅
,
y
)
=
0
{\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0}
,則
y
=
0
{\displaystyle y=0}
;等價地,對所有非零的
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
,映射
b
(
⋅
,
y
)
:
X
→
K
{\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }
不等同於
0
{\displaystyle 0}
(即
∃
x
∈
X
{\displaystyle \exists x\in X}
使得
∀
y
∈
Y
,
b
(
x
,
y
)
≠
0
{\displaystyle \forall y\in Y,\ b(x,y)\neq 0}
)。
這樣b 是非退化的,可以說b 將X 、Y 置於(分離)對偶中(places in (separated) duality),b 是三元組
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
的對偶配對(duality pairing)。
若
∀
x
∈
X
{\displaystyle \forall x\in X}
,
b
(
x
,
s
)
=
0
∀
s
∈
S
{\displaystyle b(x,s)=0\quad \forall s\in S}
能推出
x
=
0
{\displaystyle x=0}
,則稱
S
∈
Y
{\displaystyle S\in Y}
為全集。
X 的全子集定義相似(見腳註)。[ note 1] 因此,若且唯若X 是X 的全子集,X 分離Y 中所有點,對Y 亦然。
若
b
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle b(x,y)=0}
,稱向量x 、y 正交 ,記作
x
⊥
y
{\displaystyle x\perp y}
。若
b
(
R
,
S
)
=
{
0
}
{\displaystyle b(R,S)=\{0\}}
,稱兩子集
R
⊆
X
{\displaystyle R\subseteq X}
、
S
⊆
Y
{\displaystyle S\subseteq Y}
正交,記作
R
⊥
S
{\displaystyle R\perp S}
;即
∀
r
∈
R
{\displaystyle \forall r\in R}
、
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
,
b
(
r
,
s
)
=
0
{\displaystyle b(r,s)=0}
。子集正交於向量的定義與之類似。
子集
R
⊆
X
{\displaystyle R\subseteq X}
的正交補 或零化子 是
R
⊥
:=
{
y
∈
Y
:
R
⊥
y
}
:=
{
y
∈
Y
:
b
(
R
,
y
)
=
{
0
}
}
{\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}
.
於是,若且唯若
R
⊥
=
{
0
}
{\displaystyle R^{\perp }=\{0\}}
,R 是X 的全子集。
給定在
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上定義了對偶對的三元組
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
,子集
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
的絕對極集 或極集 是集合
A
∘
:=
{
y
∈
Y
:
sup
x
∈
A
|
b
(
x
,
y
)
|
≤
1
}
.
{\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}
對稱地,子集
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
的絕對極集或極集記作
B
∘
{\displaystyle B^{\circ }}
,定義為
B
∘
:=
{
x
∈
X
:
sup
y
∈
B
|
b
(
x
,
y
)
|
≤
1
}
.
{\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}
為了使用有助於跟蹤對偶性兩側不對稱的標記,子集
B
⊆
B
{\displaystyle B\subseteq B}
的絕對極也可以稱為B 的絕對預極 (absolute prepolar)或預極 (prepolar),可表為
∘
B
{\displaystyle {}^{\circ }B}
。
極
B
∘
{\displaystyle B^{\circ }}
必然是凸集,包含
0
∈
Y
{\displaystyle 0\in Y}
,若B 平衡,則
B
∘
{\displaystyle B^{\circ }}
也平衡;若B 是X 的向量子空間,則
B
∘
{\displaystyle B^{\circ }}
是Y 的向量子空間。
若A 是X 的向量子空間,則
A
∘
=
A
⊥
{\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }}
,還等於A 的實極。若
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
,則A 的雙極 (bipolar,記作
A
∘
∘
{\displaystyle A^{\circ \circ }}
)是A 正交補的極,即集
∘
(
A
⊥
)
{\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right)}
。相似地,若
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
,則B 的雙極是
B
∘
∘
:=
(
∘
B
)
∘
{\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }}
。
給定對
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
,定義新對
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
,其中
∀
x
∈
X
,
∀
y
∈
Y
,
d
(
y
,
x
)
:=
b
(
x
,
y
)
{\displaystyle \forall x\in X,\ \forall y\in Y,\ d(y,x):=b(x,y)}
。
對偶理論有個一貫的主題:任何對
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
都有相應的對偶對
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
。
約定與定義 :給定配對
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
的任何定義,將其應用於配對
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
,就能得到對偶定義。這約定也適用於定理。
例如,若X 分離Y 的點(或者說S 是Y 的全子集)定義如上,則此約定立即產生了對偶定義:Y 分離X 的點(或者說S 是X 的全子集)。
下面的寫法幾乎無處不在,可讓我們不用為d 指定符號。
約定與記號 :若配對
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
的定義及其記號取決於X 和Y 的順序(例如,X 上的麥奇拓撲
τ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \tau (X,Y,b)}
),那麼交換X 、Y 順序就意味著定義適用於
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
(接上例,拓撲
τ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \tau (Y,X,b)}
實際上是拓撲
τ
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle \tau (Y,X,d)}
)。
再比如,一旦定義了X 上的弱拓撲
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
,則此對偶定義就會自動應用到配對
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
,從而得到Y 上弱拓撲的定義——
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
而非
σ
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,d)}
。
(
X
,
Y
)
{\displaystyle (X,Y)}
及
(
Y
,
X
)
{\displaystyle (Y,X)}
的識別[ 編輯 ]
雖然從技術上將這是不正確的,也是對符號的濫用,但本文將遵守幾乎普遍的管理,及將配對
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
與
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
互換處理,並用
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle (Y,X,b)}
表示
(
Y
,
X
,
d
)
{\displaystyle (Y,X,d)}
。
設
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配對,M 是X 的向量子空間,N 是Y 的向量子空間。則,
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
對
M
×
N
{\displaystyle M\times N}
的限制就是配對
(
M
,
N
,
b
|
M
×
N
)
{\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}
。若
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是對偶,則限制就有可能不對偶(如,若
Y
≠
{
0
}
{\displaystyle Y\neq \{0\}}
、
N
=
{
0
}
{\displaystyle N=\{0\}}
)。
本文將使用通常做法,用
(
M
,
N
,
b
)
{\displaystyle (M,N,b)}
表示限制
(
M
,
N
,
b
|
M
×
N
)
{\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}
。
設X 是向量空間,令
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
表示X 的代數對偶空間 (即,X 上所有線性泛函的空間)。則有規範對偶
(
X
,
X
#
,
c
)
{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}
,其中
c
(
x
,
x
′
)
=
⟨
x
,
x
′
⟩
=
x
′
(
x
)
{\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}
,稱之為
X
×
X
#
{\displaystyle X\times X^{\#}}
上的求值映射 或自然/規範 雙線性泛函。
注意
∀
x
′
∈
X
#
{\displaystyle \forall x^{\prime }\in X^{\#}}
,
c
(
⋅
,
x
′
)
{\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)}
只是表示
x
′
{\displaystyle x^{\prime }}
的另一種方式,即
c
(
⋅
,
x
′
)
=
x
′
(
⋅
)
=
x
′
.
{\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.}
若N 是
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
的一個向量子空間,則
(
X
,
X
#
,
c
)
{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}
對
X
×
N
{\displaystyle X\times N}
的限制稱作規範配對 。若此配對是對偶,則稱為規範對偶 。顯然X 總是分離N 的點,因此若且唯若N 分離X 中的點,規範配對是對偶系統。
下列記號現在在對偶理論中幾乎無處不在。
求值映射記作
⟨
x
,
x
′
⟩
=
x
′
(
x
)
{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}
(而非c ),將
(
X
,
N
,
c
)
{\displaystyle (X,N,c)}
改為
⟨
X
,
N
⟩
{\displaystyle \langle X,N\rangle }
。
假設 :按慣例,若X 是向量空間,N 是X 上線性泛函的向量空間,則除非另有說明,否則將假定它們同規範配對
⟨
X
,
N
⟩
{\displaystyle \langle X,N\rangle }
相關聯。
若N 是
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
的向量子空間,則若且唯若N 分離X 的點(或等價地,N 是全的,
∀
n
∈
N
,
n
(
x
)
=
0
{\displaystyle \forall n\in N,\ n(x)=0}
能推出
x
=
0
{\displaystyle x=0}
),X 分離N 的點(或等價地,
(
X
,
N
,
c
)
{\displaystyle (X,N,c)}
是對偶),
設X 是拓撲向量空間 ,有連續對偶空間
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
。
則,規範對偶
(
X
,
X
#
,
c
)
{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}
對
X
×
X
′
{\displaystyle X\times X^{\prime }}
的限制確定了配對
(
X
,
X
′
,
c
|
X
×
X
′
)
{\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)}
,其中X 分離
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
的點。
若
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
分離X 的點(例如,若X 是豪斯多夫局部凸空間,則恆為真),則此配對形成了對偶。
假設 :正如通常所作,只要X 是拓撲向量空間,則除非另有說明,否則將假定其與規範配對
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
相關聯,無需注釋。
下列結果表明,拓撲向量空間上的連續線性泛函恰是在原點鄰域上有界的線性泛函。
預希爾伯特空間
(
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
,若且唯若H 是
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
上的向量空間,或H 是0維,
(
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
是對偶對。這裡假定半雙線性形式
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
在第二坐標上是共軛齊次的,在第一坐標上是齊次的。
若
(
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
是實希爾伯特空間 ,則
(
H
,
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
形成對偶系統。
若
(
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
是復希爾伯特空間 ,則若且唯若
dim
H
=
0
{\displaystyle \operatorname {dim} H=0}
,
(
H
,
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
形成對偶系統。若H 非平凡,則
(
H
,
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
甚至不是配對,因為內積是半雙線性的,而非雙線性的。
設
(
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
是復預希爾伯特空間,純量乘法用並列或
⋅
{\displaystyle \cdot }
表示。
定義映射
⋅
⊥
⋅
:
C
×
H
→
H
by
c
⊥
x
:=
c
¯
x
,
{\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}
其中右式使用了H 的純量乘法。令
H
¯
{\displaystyle {\overline {H}}}
表示H 的復共軛向量空間 ,其中
H
¯
{\displaystyle {\overline {H}}}
表示加群
(
H
,
+
)
{\displaystyle (H,+)}
(所以
H
¯
{\displaystyle {\overline {H}}}
中的向量加法與H 中的相同),但
H
¯
{\displaystyle {\overline {H}}}
中的純量乘法是映射
⋅
⊥
⋅
{\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}
(而非H 被賦予的純量乘法)。
映射
b
:
H
×
H
¯
→
C
{\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }
定義為
b
(
x
,
y
)
:=
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }
,在兩個坐標中都是線性的[ note 2] ,因此
(
H
,
H
¯
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}
形成對偶對。
設
X
=
R
2
,
Y
=
R
3
,
∀
(
x
1
,
y
1
)
∈
X
and
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
∈
Y
,
{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},\ Y=\mathbb {R} ^{3},\ \forall \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,}
令
b
(
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
)
:=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
.
{\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.}
則
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配對,使X 區分Y 的點,但Y 不區分X 的點。此外,
X
⊥
:=
{
y
∈
Y
:
X
⊥
y
}
=
{
(
0
,
0
,
z
)
:
z
∈
R
}
.
{\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.}
令
0
<
p
<
∞
,
X
:=
L
p
(
μ
)
,
Y
:=
L
q
(
μ
)
{\displaystyle 0<p<\infty ,\ X:=L^{p}(\mu ),\ Y:=L^{q}(\mu )}
(其中q 滿足
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}
),
b
(
f
,
g
)
:=
∫
f
g
d
μ
.
{\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .}
則
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是對偶系統。
令X 、Y 是同一域
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的向量空間,則雙線性形式
b
(
x
⊗
y
,
x
∗
⊗
y
∗
)
=
⟨
x
′
,
x
⟩
⟨
y
′
,
y
⟩
{\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }
使
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
與
X
#
×
Y
#
{\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}
對偶。
序列空間 X 及其Beta-對偶空間
Y
:=
X
β
{\displaystyle Y:=X^{\beta }}
,雙線性映射定義為
∀
x
∈
X
,
y
∈
X
β
,
⟨
x
,
y
⟩
:=
∑
i
=
1
∞
x
i
y
i
{\displaystyle \forall x\in X,\ y\in X^{\beta },\ \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}
形成對偶系統。
設
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上一對向量空間。若
S
⊆
Y
{\displaystyle S\subseteq Y}
,則X 上由S (和b )誘導的弱拓撲 是X 上最弱的拓撲向量空間拓撲,記作
σ
(
X
,
S
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,S,b)}
或
σ
(
X
,
S
)
{\displaystyle \sigma (X,S)}
,使y 在S 上取值時所有映射
b
(
⋅
,
y
)
:
X
→
K
{\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }
連續。若S 在語境中不明確,則應假定是Y 的全部,這時稱之為X 上(由Y 誘導的)的弱拓撲。
X
σ
(
X
,
S
,
b
)
,
X
σ
(
X
,
S
)
,
{\displaystyle X_{\sigma (X,S,b)},\ X_{\sigma (X,S)},}
或(若無混淆)
X
σ
{\displaystyle X_{\sigma }}
用於表示賦有弱拓撲
σ
(
X
,
S
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,S,b)}
的X 。
重要的是,弱拓撲完全取決於函數b 、
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
上的通常拓撲與X 上的向量空間結構,而與Y 的代數結構無關。
同樣,若
R
⊆
X
{\displaystyle R\subseteq X}
,則Y 上由R (和b )誘導的弱拓撲 的對偶定義記作
σ
(
Y
,
R
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,R,b)}
或
σ
(
Y
,
R
)
{\displaystyle \sigma (Y,R)}
(細節見腳註)。[ note 3]
定義與符號 :若
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
附在一個拓撲定義上(如
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-收斂、
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-有界、
cl
σ
(
X
,
Y
,
b
)
(
S
)
{\displaystyle \operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}(S)}
等等),則就意味著當定義的第一個空間(即X )攜帶
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
拓撲。若無混淆,可以不提及b 甚至X 、Y 。例如,若Y 中序列
(
a
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
「
σ
{\displaystyle \sigma }
-收斂」或「弱收斂」,這意味著它收斂於
(
Y
,
σ
(
Y
,
X
,
b
)
)
{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}
,而若它是X 中的序列,則意味著它收斂於
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
)。
拓撲
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
是局部凸 的,因為它由
p
y
(
x
)
:=
|
b
(
x
,
y
)
|
{\displaystyle p_{y}(x):=|b(x,y)|}
定義的半範數族
p
y
:
X
→
R
{\displaystyle p_{y}:X\to \mathbb {R} }
確定,其中y 在Y 上取值。
若
x
∈
X
,
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle x\in X,\ \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
是X 中的網 ,則若
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
在
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
中收斂到x ,
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-收斂 於x 。網
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
,若且唯若
∀
y
∈
Y
,
b
(
x
i
,
y
)
{\displaystyle \forall y\in Y,\ b\left(x_{i},y\right)}
收斂到
b
(
x
,
y
)
{\displaystyle b(x,y)}
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-收斂到x 。
若
(
x
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
是希爾伯特空間中的正交規範 向量列,則
(
x
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
弱收斂到0,但不會規範收斂(norm-convergence)到0(或任意向量)。
若
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配對,N 是Y 的一個適當的向量子空間,使得
(
X
,
N
,
b
)
{\displaystyle (X,N,b)}
是對偶對,則
σ
(
X
,
N
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,N,b)}
比
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
嚴格粗 。
子集
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
,若且唯若
sup
|
b
(
S
,
y
)
|
<
∞
for all
y
∈
Y
,
{\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}
,其中
|
b
(
S
,
y
)
|
:=
{
b
(
s
,
y
)
:
s
∈
S
}
{\displaystyle |b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}}
,稱S
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-有界。
若
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配對,則下列條件等價:
X 分離Y 的點;
映射
y
↦
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
定義了Y 到X 的代數對偶空間的單射 ;
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
是豪斯多夫空間 。
下列定理對對偶理論至關重要,因為它完全表徵了
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
的連續對偶空間。
弱表示定理 — 令
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是域
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的配對,則
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
的連續對偶空間 是
b
(
⋅
,
Y
)
:=
{
b
(
⋅
,
y
)
:
y
∈
Y
}
.
{\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}
另外,
若f 是
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
上的連續線性泛函,則
∃
y
∈
Y
{\displaystyle \exists y\in Y}
使
f
=
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle f=b(\,\cdot \,,y)}
;若這樣的y 存在,則若且唯若X 分離Y 的點時,這樣的y 是唯一的。
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
的連續對偶空間可以視作商空間
Y
/
X
⊥
{\displaystyle Y/X^{\perp }}
,其中
X
⊥
:=
{
y
∈
Y
:
b
(
x
,
y
)
=
0
∀
x
∈
X
}
{\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:b(x,y)=0\ \ \forall x\in X\}}
。
無論X 是否分離Y 的點,或Y 是否分離X 中的點,這都是正確的。
因此,
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
的連續對偶空間是
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
′
=
b
(
⋅
,
Y
)
:=
{
b
(
⋅
,
y
)
:
y
∈
Y
}
.
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}
關於規範配對,若X 是拓撲向量空間,其連續對偶空間
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
分離X 的點(即使
(
X
,
σ
(
X
,
X
′
)
)
{\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)}
豪斯多夫,這可推出X 也必豪斯多夫),則
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
的連續對偶空間等於x 在X 中取值時所有「點x 處得值」的映射集合(即將
x
′
∈
X
′
{\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}
送到
x
′
(
x
)
{\displaystyle x^{\prime }(x)}
的映射)。
通常寫成
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
′
=
X
or
(
X
σ
′
)
′
=
X
.
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}
這一重要事實就是為什麼連續對偶空間上極拓撲的成果(如
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
上的強對偶拓撲
β
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}
)能應用到原拓撲向量空間X 的。例如,將X 視作
(
X
σ
′
)
′
{\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}
意味著
(
X
σ
′
)
′
{\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}
上的拓撲
β
(
(
X
σ
′
)
′
,
X
σ
′
)
{\displaystyle \beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)}
可被視作X 上的拓撲。
此外,若
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
被賦予比
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
更細的拓撲,那麼
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
的連續對偶空間必然包含
(
X
σ
′
)
′
{\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}
(作為子集)。
例如,
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
被賦予強對偶拓撲(於是記作
X
β
′
{\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}
),則
(
X
β
′
)
′
⊇
(
X
σ
′
)
′
=
X
{\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}
這允許X 被賦予由強對偶拓撲
β
(
(
X
β
′
)
′
,
X
β
′
)
{\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}
在X 上誘導的子空間拓撲(此拓撲也稱作強雙對偶拓撲,見於自反空間 理論:豪斯多夫局部凸拓撲向量空間X ,若
(
X
β
′
)
′
=
X
{\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X}
則稱其是半自反空間 ,若在此之外,其在X 上的強雙對偶拓撲
β
(
(
X
β
′
)
′
,
X
β
′
)
{\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}
還等於X 的原/初拓撲,則稱其是自反空間 。
若
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配對,則對X 的任意子集S :
S
⊥
=
(
span
S
)
⊥
=
(
cl
σ
(
Y
,
X
,
b
)
span
S
)
⊥
=
S
⊥⊥⊥
{\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }}
,且此集合是
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
-閉的;
S
⊆
S
⊥⊥
=
(
cl
σ
(
X
,
Y
,
b
)
span
S
)
{\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)}
;
因此,若S 是X 的
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-閉向量子空間,則
S
⊆
S
⊥⊥
.
{\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.}
若
(
S
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}
是X 的
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-閉向量子空間族,則
(
⋂
i
∈
I
S
i
)
⊥
=
cl
σ
(
Y
,
X
,
b
)
(
span
(
⋃
i
∈
I
S
i
⊥
)
)
.
{\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).}
若
(
S
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}
是X 的子集族,則
(
⋃
i
∈
I
S
i
)
⊥
=
⋂
i
∈
I
S
i
⊥
.
{\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.}
若X 是賦范空間,則根據規範對偶性,
S
⊥
{\displaystyle S^{\perp }}
在
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
中對范是封閉的,
S
⊥⊥
{\displaystyle S^{\perp \perp }}
在X 中對范是封閉的。
設M 是X 的向量子空間,並令
(
M
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (M,Y,b)}
表示
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
對
M
×
Y
{\displaystyle M\times Y}
的限制。
M 上的弱拓撲
σ
(
M
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (M,Y,b)}
與M 從
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
繼承的子空間拓撲 相同。
另外,
(
M
,
Y
/
M
⊥
,
b
|
M
)
{\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}
是配對空間(paired space)(其中
Y
/
M
⊥
{\displaystyle Y/M^{\perp }}
是
Y
/
(
M
⊥
)
{\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}
),其中
b
|
M
:
M
×
Y
/
M
⊥
→
K
{\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }
定義為
(
m
,
y
+
M
⊥
)
↦
b
(
m
,
y
)
.
{\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}
拓撲
σ
(
M
,
Y
/
M
⊥
,
b
|
M
)
{\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}
等於M 繼承自
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
的子空間拓撲 。
此外,若
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
是對偶系統,則
(
M
,
Y
/
M
⊥
,
b
|
M
)
{\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}
也是。
設M 是X 的向量子空間,則
(
X
/
M
,
M
⊥
,
b
/
M
)
{\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}
是配對空間,其中
b
/
M
:
X
/
M
×
M
⊥
→
K
{\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }
定義為
(
x
+
M
,
y
)
↦
b
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}
拓撲
σ
(
X
/
M
,
M
⊥
)
{\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)}
等同於
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
在
X
/
M
{\displaystyle X/M}
上誘導的一般的商拓撲 。
弱X 是局部凸空間,且若H 是連續對偶空間
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
的子集,則若且唯若對X 中某桶 B ,有
H
⊆
B
∘
{\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}
時,H 是
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
-有界的。
下列結果對定義極拓撲非常重要。
若
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配對,
A
⊆
X
,
{\displaystyle A\subseteq X,}
則
A 的極
A
∘
{\displaystyle A^{\circ }}
是
(
Y
,
σ
(
Y
,
X
,
b
)
)
{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}
的閉子集。
下列集合的極相同:(a) A ;(b) A 的凸殼;(c) A 的平衡殼 ;(d) A 的
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-閉合;(e) A 的凸平衡殼 的
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-閉合。
雙極定理 :A 的雙極
A
∘
∘
{\displaystyle A^{\circ \circ }}
等於A 的凸平衡殼的
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-閉合。
若且唯若
A
∘
{\displaystyle A^{\circ }}
吸收 於Y 時,A 是
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-有界的。
若Y 還分離X 的點,則若且唯若A 是
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-全有界 時,A 是
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-有界 的。
若
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配對,
τ
{\displaystyle \tau }
是X 上與對偶一致的局部凸拓撲,則若且唯若B 是Y 的某
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
-有界子集的極 時,
B
⊆
X
{\displaystyle B\subseteq X}
是
(
X
,
τ
)
{\displaystyle (X,\tau )}
中的桶 。
令
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
和
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
是
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的配對,並令
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是線性映射。
∀
z
∈
Z
,
{\displaystyle \forall z\in Z,}
令
c
(
F
(
⋅
)
,
z
)
:
X
→
K
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z):X\to \mathbb {K} }
是由
x
↦
c
(
F
(
x
)
,
z
)
{\displaystyle x\mapsto c(F(x),z)}
定義的映射。
若滿足以下條件,就可以說F 的轉置或伴隨是良定的(well-defined):
X 分離Y 中的點(或等價地,從Y 抵達代數對偶
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
的映射
y
↦
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
是單射 ),且
c
(
F
(
⋅
)
,
Z
)
⊆
b
(
⋅
,
Y
)
,
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y),}
其中
c
(
F
(
⋅
)
,
Z
)
:=
{
c
(
F
(
⋅
)
,
z
)
:
z
∈
Z
}
,
b
(
⋅
,
Y
)
:=
{
b
(
⋅
,
y
)
:
y
∈
Y
}
.
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z):=\{c(F(\,\cdot \,),z):z\in Z\},\ b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}
這樣,
∀
z
∈
Z
{\displaystyle \forall z\in Z}
存在(由條件2)唯一的(由條件1)
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
,使
c
(
F
(
⋅
)
,
z
)
=
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b(\,\cdot \,,y)}
,其中Y 的這個元素將表為
t
F
(
z
)
{\displaystyle {}^{t}F(z)}
。這定義了線性映射
t
F
:
Z
→
Y
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
稱作F 的轉置或關於
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
和
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
的伴隨(注意不要與厄米伴隨 混淆)。不難看出,上述兩個條件(即「轉置良定義」)也是
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
良定的必要條件。
∀
z
∈
Z
{\displaystyle \forall z\in Z}
,
t
F
(
z
)
{\displaystyle {}^{t}F(z)}
的定義條件是
c
(
F
(
⋅
)
,
z
)
=
b
(
⋅
,
t
F
(
z
)
)
,
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right),}
即,
∀
x
∈
X
,
c
(
F
(
x
)
,
z
)
=
b
(
x
,
t
F
(
z
)
)
.
{\displaystyle \forall x\in X,\ c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right).}
根據本文開頭提到的約定,這也定義了形式為
Z
→
Y
,
{\displaystyle Z\to Y,}
[ note 4]
X
→
Z
,
{\displaystyle X\to Z,}
[ note 5]
W
→
Y
,
{\displaystyle W\to Y,}
[ note 6]
Y
→
W
,
{\displaystyle Y\to W,}
[ note 7] 等的線性映射的轉置(見腳註)。
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
和
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
是
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的配對,
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是線性映射,其轉置
t
F
:
Z
→
Y
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
是良定義的。
若且唯若F 的範圍在
(
W
,
σ
(
W
,
Z
,
c
)
)
{\displaystyle \left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right)}
中稠密時,
t
F
:
Z
→
Y
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
是單射 (即
ker
t
F
=
{
0
}
{\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}}
)。
若除了
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
良定義外,
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
的轉置也良定義,則
t
t
F
=
F
{\displaystyle {}^{tt}F=F}
。
設
(
U
,
V
,
a
)
{\displaystyle (U,V,a)}
是
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的配對,
E
:
U
→
X
{\displaystyle E:U\to X}
是線性映射,其轉置
t
E
:
Y
→
V
{\displaystyle {}^{t}E:Y\to V}
是良定義的,則
F
∘
E
:
U
→
W
{\displaystyle F\circ E:U\to W}
的轉置
t
(
F
∘
E
)
:
Z
→
V
{\displaystyle {}^{t}(F\circ E):Z\to V}
也是良定義的,且
t
(
F
∘
E
)
=
t
E
∘
t
F
.
{\displaystyle {}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.}
若
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是向量空間同構,則
t
F
:
Z
→
Y
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
是雙射,
F
−
1
:
W
→
X
{\displaystyle F^{-1}:W\to X}
的轉置
t
(
F
−
1
)
:
Y
→
Z
{\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z}
是良定義的,且
t
(
F
−
1
)
=
(
t
F
)
−
1
{\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}}
令
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
,
S
∘
{\displaystyle S^{\circ }}
表示A 的絕對極 ,則
[
F
(
S
)
]
∘
=
(
t
F
)
−
1
(
S
∘
)
{\displaystyle [F(S)]^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)}
;
若
∀
T
⊆
W
,
F
(
S
)
⊆
T
{\displaystyle \forall T\subseteq W,\ F(S)\subseteq T}
,則
t
F
(
T
∘
)
⊆
S
∘
{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}
;
若
T
⊆
W
{\displaystyle T\subseteq W}
使得
t
F
(
T
∘
)
⊆
S
∘
{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}
,則
F
(
S
)
⊆
T
∘
∘
{\displaystyle F(S)\subseteq T^{\circ \circ }}
;
若
T
⊆
W
{\displaystyle T\subseteq W}
,
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
是弱閉圓盤,則若且唯若
F
(
S
)
⊆
T
{\displaystyle F(S)\subseteq T}
時,
t
F
(
T
∘
)
⊆
S
∘
{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}
;
ker
t
F
=
[
F
(
X
)
]
⊥
.
{\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp }.}
將絕對極換成實極,這些結果不變。
若X 、Y 是規範對偶下的賦范空間、
F
:
X
→
Y
{\displaystyle F:X\to Y}
是連續線性映射,則
‖
F
‖
=
‖
t
F
‖
{\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|}
。
線性映射
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
,若
F
:
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
→
(
W
,
(
W
,
Z
,
c
)
)
{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}
連續,則稱其(關於
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
和
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
)弱連續 。
下面的結果表明,轉置映射的存在與弱拓撲密切相關。
命題 — 設X 分離Y 的點,
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是線性映射。
則下列條件等價:
F 是弱連續的(即
F
:
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
→
(
W
,
(
W
,
Z
,
c
)
)
{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}
連續);
c
(
F
(
⋅
)
,
Z
)
⊆
b
(
⋅
,
Y
)
{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y)}
;
F 的轉置是良定義的。
若F 是弱連續的,則
t
F
:
Z
→
Y
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
是弱連續的,即
t
F
:
(
Z
,
σ
(
Z
,
W
,
c
)
)
→
(
Y
,
(
Y
,
X
,
b
)
)
{\displaystyle {}^{t}F:(Z,\sigma (Z,W,c))\to (Y,(Y,X,b))}
連續;
若且唯若Z 分離W 的點,轉置
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
良定義,這時
t
t
F
=
F
{\displaystyle {}^{tt}F=F}
。
設X 是向量空間,
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
是其代數對偶。則X 的所有
σ
(
X
,
X
#
)
{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}
-有界子集包含於有限維向量子空間,X 的所有向量子空間是
σ
(
X
,
X
#
)
{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}
-閉的。
若
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
是完備拓撲向量空間 ,例如X 是
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-完備或(若無歧義)弱完備的情形。
存在不弱完備的巴拿赫空間 (儘管在其范拓撲中是完備的)。
若X 是向量空間,則在規範對偶下,
(
X
#
,
σ
(
X
#
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
是完備的。
相反,若Z 是豪斯多夫局部凸 拓撲向量空間,且有連續對偶空間
Z
′
{\displaystyle Z^{\prime }}
,則若且唯若
Z
=
(
Z
′
)
#
{\displaystyle Z=\left(Z^{\prime }\right)^{\#}}
時,
(
Z
,
σ
(
Z
,
Z
′
)
)
{\displaystyle \left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)}
是完備的;即,若且唯若將
z
∈
Z
{\displaystyle z\in Z}
發送到z 處求值映射(即
z
′
↦
z
′
(
z
)
{\displaystyle z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)}
)的映射
Z
→
(
Z
′
)
#
{\displaystyle Z\to \left(Z^{\prime }\right)^{\#}}
是雙射。
特別地,就規範對偶而言,若Y 是
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
的向量子空間,使Y 分離X 中的點,則若且唯若
Y
=
X
#
{\displaystyle Y=X^{\#}}
,
(
Y
,
σ
(
Y
,
X
)
)
{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X))}
是完備的。
換句話說,
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
不存在緊合向量子空間
Y
≠
X
#
{\displaystyle Y\neq X^{\#}}
使得
(
X
,
σ
(
X
,
Y
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y))}
是豪斯多夫空間,且Y 在弱-*拓撲 (即逐點收斂的拓撲)中完備。
因此,若豪斯多夫 局部凸拓撲向量空間 X 的連續對偶空間
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
被賦以弱*-拓撲 ,若且唯若
X
′
=
X
#
{\displaystyle X^{\prime }=X^{\#}}
(即X 上所有線性泛函都連續)時,
X
σ
′
{\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}
是完備的。
若X 分離Y 的點、Z 表示單射
y
↦
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
的範圍,則Z 是X 的代數對偶空間的向量子空間,且配對
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
與規範配對
⟨
X
,
Z
⟩
{\displaystyle \langle X,Z\rangle }
(其中
⟨
x
,
x
′
⟩
:=
x
′
(
x
)
{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}
是自然求值映射)是規範等同(canonically identify)的。
特別地,這時我們將不失一般性 地假設Y 是X 代數對偶的向量子空間,而b 是求值映射。
約定 :通常,只要
y
↦
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
是單射(尤其當
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
形成對偶對),通常不失一般性 地假設Y 是X 的代數對偶空間的向量子空間,且b 是自然求值映射,Y 還可記作
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
。
完全類似的是,若Y 分離X 中的點,則X 就有可能等同於Y 的代數對偶空間的向量子空間。
在對偶是規範對偶
⟨
X
,
X
#
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }
和
⟨
W
,
W
#
⟩
{\displaystyle \left\langle W,W^{\#}\right\rangle }
的特例下,線性映射
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
的轉置總是良定義的。
此轉置稱作F 的代數伴隨 ,記作
F
#
{\displaystyle F^{\#}}
;
即
F
#
=
t
F
:
W
#
→
X
#
.
{\displaystyle F^{\#}={}^{t}F:W^{\#}\to X^{\#}.}
這樣,
∀
w
′
∈
W
#
,
F
#
(
w
′
)
=
w
′
∘
F
{\displaystyle \forall w^{\prime }\in W^{\#},\ F^{\#}\left(w^{\prime }\right)=w^{\prime }\circ F}
其中
F
#
(
w
′
)
{\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)}
的定義條件是
⟨
x
,
F
#
(
w
′
)
⟩
=
⟨
F
(
x
)
,
w
′
⟩
∀
>
x
∈
X
,
{\displaystyle \left\langle x,F^{\#}\left(w^{\prime }\right)\right\rangle =\left\langle F(x),w^{\prime }\right\rangle \quad \forall >x\in X,}
或等價地
F
#
(
w
′
)
(
x
)
=
w
′
(
F
(
x
)
)
∀
x
∈
X
.
{\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)(x)=w^{\prime }(F(x))\quad \forall x\in X.}
若對整數n ,
X
=
Y
=
K
n
{\displaystyle X=Y=\mathbb {K} ^{n}}
,
E
=
{
e
1
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}}
是X 的基,其對偶基
E
′
=
{
e
1
′
,
…
,
e
n
′
}
,
F
:
K
n
→
K
n
{\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }=\left\{e_{1}^{\prime },\ldots ,e_{n}^{\prime }\right\},\ F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}
是線性算子,F 關於
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
的矩陣表示是
M
:=
(
f
i
,
j
)
{\displaystyle M:=\left(f_{i,j}\right)}
,則M 的轉置是
F
#
{\displaystyle F^{\#}}
關於
E
′
{\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }}
的矩陣表示。
設
⟨
X
,
Y
⟩
{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }
,
⟨
W
,
Z
⟩
{\displaystyle \langle W,Z\rangle }
是對偶系統的規範配對(所以
Y
⊆
X
#
,
Z
⊆
W
#
{\displaystyle Y\subseteq X^{\#},\ Z\subseteq W^{\#}}
),並令
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是線性映射。則若且唯若
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
滿足下列等價條件之一,F 是弱連續的:
F
:
(
X
,
σ
(
X
,
Y
)
)
→
(
W
,
σ
(
W
,
Z
)
)
{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}
連續;
F
#
(
Z
)
⊆
Y
{\displaystyle F^{\#}(Z)\subseteq Y}
F 的轉置
t
F
:
Z
→
Y
{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
相對於
⟨
X
,
Y
⟩
{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }
和
⟨
W
,
Z
⟩
{\displaystyle \langle W,Z\rangle }
是良定義的。
若F 是弱連續的,則
t
F
::
(
Z
,
σ
(
Z
,
W
)
)
→
(
Y
,
σ
(
Y
,
X
)
)
{\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}
是連續的,於是
t
t
F
=
F
{\displaystyle {}^{tt}F=F}
拓撲空間之間的映射
g
:
A
→
B
{\displaystyle g:A\to B}
,若
g
:
A
→
Im
g
{\displaystyle g:A\to \operatorname {Im} g}
是開映射 (
Im
g
{\displaystyle \operatorname {Im} g}
是g 的範圍),則稱之是相對開 的。
設
⟨
X
,
Y
⟩
,
⟨
W
,
Z
⟩
{\displaystyle \langle X,Y\rangle ,\ \langle W,Z\rangle }
是對偶系統,
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是弱連續線性映射。則下列條件等價:
F
:
(
X
,
σ
(
X
,
Y
)
)
→
(
W
,
σ
(
W
,
Z
)
)
{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}
是相對開的;
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
的範圍在Y 中
σ
(
Y
,
X
)
{\displaystyle \sigma (Y,X)}
-閉;
Im
t
F
=
(
ker
F
)
⊥
{\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F=(\operatorname {ker} F)^{\perp }}
此外
若且唯若
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
是滿射(或雙射),
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是單射(或雙射);
若且唯若
t
F
::
(
Z
,
σ
(
Z
,
W
)
)
→
(
Y
,
σ
(
Y
,
X
)
)
{\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}
是相對開單射,
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是滿射。
若且唯若F 是弱連續的,兩拓撲向量空間之間映射的轉置才被定義。
設
F
:
X
→
Y
{\displaystyle F:X\to Y}
是兩豪斯多夫局部凸拓撲向量空間之間的線性映射,則
若F 連續,則其是弱連續的,且
t
F
{\displaystyle {}^{t}F}
是麥基連續的,也是強連續的;
若F 是弱連續的,則其是麥基連續的,也是強連續的(定義見下)。
若F 是弱連續的,則若且唯若
t
F
:
′
→
X
′
{\displaystyle {}^{t}F:^{\prime }\to X^{\prime }}
將
Y
′
{\displaystyle Y^{\prime }}
的等度連續 子集映射到
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
的等度連續子集時,F 才是連續的。
若X 和Y 是賦范空間,則若且唯若F 是弱連續的(這時
‖
F
‖
=
‖
t
F
‖
{\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|}
),F 連續。
若F 連續,則若且唯若
F
:
X
→
Y
{\displaystyle F:X\to Y}
是弱相對開的(即
F
:
(
X
,
σ
(
X
,
X
′
)
)
→
(
Y
,
σ
(
Y
,
Y
′
)
)
{\displaystyle F:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)}
是相對開的)、且
Im
t
F
=
t
F
(
Y
′
)
{\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F={}^{t}F\left(Y^{\prime }\right)}
的等度連續子集都是
Y
′
{\displaystyle Y^{\prime }}
的某等度連續子集的像時,F 是相對開的。
若F 是連續單射,則若且唯若
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
的等度連續子集都是
Y
′
{\displaystyle Y^{\prime }}
的某等度連續子集的像,
F
:
X
→
Y
{\displaystyle F:X\to Y}
是拓撲向量空間嵌入(或等價的拓撲嵌入 )。
令X 是局部凸 空間,有連續對偶空間
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
,並令
K
⊆
X
′
{\displaystyle K\subseteq X^{\prime }}
。
若K 是等度連續 或
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
-緊的,且
D
⊆
X
′
{\displaystyle D\subseteq X^{\prime }}
使得
span
D
{\displaystyle \operatorname {span} D}
在X 中稠密,則K 從
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
D
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },D\right)\right)}
繼承的子空間拓撲等同於K 從
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
繼承的子空間拓撲。
若X 是可分的 、K 是等度連續的,則K 被賦予由
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
誘導的子空間拓撲後是可度量化 的。
若X 是可分、可度量化的,則
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
是可分的。
若X 是賦范空間,則若且唯若給定由
(
X
′
,
σ
(
X
′
,
X
)
)
{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
誘導的子空間拓撲,X 的連續對偶空間的封閉單元(X 的連續對偶空間)可度量時,X 是可分的。
若X 是賦范空間,其連續對偶空間可分(給定通常的范拓撲)時,X 可分。
從弱拓撲開始,極基 的使用會產生一系列局部凸拓撲。這樣的拓撲稱作極拓撲 ,弱拓撲是其中最弱的。
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
將是
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的配對,
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
將是X 的
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-有界子集的非空集合。
給定X 子集的集合
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
,Y 上由
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
(與b )定義的極拓撲 (或Y 上的
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
-拓撲)是Y 上唯一的拓撲向量空間 拓撲,其中
{
r
G
∘
:
G
∈
G
,
r
>
0
}
{\displaystyle \left\{rG^{\circ }:G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}
形成了原點鄰域的子基 。
Y 被賦予這
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
-拓撲時,就表示為
Y
G
{\displaystyle Y_{\mathcal {G}}}
。極拓撲都需要是局部凸的。
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
是關於子集包含的有向集合 時(即若
∀
G
,
K
∈
G
{\displaystyle \forall G,K\in {\mathcal {G}}}
,
∃
K
∈
G
{\displaystyle \exists K\in {\mathcal {G}}}
使得
G
∪
H
⊆
K
{\displaystyle G\cup H\subseteq K}
),則此0處的鄰域子基實際上形成了0處的鄰域基 。
下面列出了一些較重要的極拓撲。
符號 :若
Δ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \Delta (X,Y,b)}
表示Y 上的極拓撲,則唄賦予此拓撲的Y 將記作
Y
Δ
(
Y
,
X
,
b
)
,
Y
Δ
(
Y
,
X
)
{\displaystyle Y_{\Delta (Y,X,b)},\ Y_{\Delta (Y,X)}}
或
Y
Δ
{\displaystyle Y_{\Delta }}
(如對
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
我們有
Δ
=
σ
{\displaystyle \Delta =\sigma }
,這樣
Y
σ
(
Y
,
X
,
b
)
,
Y
σ
(
Y
,
X
)
{\displaystyle Y_{\sigma (Y,X,b)},\ Y_{\sigma (Y,X)}}
和
Y
σ
{\displaystyle Y_{\sigma }}
都表示賦予了
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
的Y )。
G
⊆
P
X
{\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {P}}X}
(「…上一致收斂的拓撲」)
記作
名稱(「…的拓撲」)
又稱
X 的有限子集 (或X 有限子集的
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-閉圓盤化殼 )
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
s
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle s(X,Y,b)}
逐點/簡單收斂
弱/弱-*拓撲
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-緊圓盤
τ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \tau (X,Y,b)}
麥基拓撲
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-緊凸子集
γ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \gamma (X,Y,b)}
緊凸收斂
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-緊子集 (或平衡
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-緊子集)
c
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle c(X,Y,b)}
緊收斂
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-有界子集
b
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle b(X,Y,b)}
β
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \beta (X,Y,b)}
有界收斂
強拓撲 最強的極拓撲
連續性
若
F
:
(
X
,
τ
(
X
,
Y
,
b
)
)
→
(
W
,
τ
(
W
,
Z
,
c
)
)
{\displaystyle F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))}
連續,則線性映射
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是(關於
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
和
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
)麥基連續 的。
若
F
:
(
X
,
β
(
X
,
Y
,
b
)
)
→
(
W
,
β
(
W
,
Z
,
c
)
)
{\displaystyle F:(X,\beta (X,Y,b))\to (W,\beta (W,Z,c))}
是連續的,則線性映射
F
:
X
→
W
{\displaystyle F:X\to W}
是(關於
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
和
(
W
,
Z
,
c
)
{\displaystyle (W,Z,c)}
)強連續的。
X 的子集,若在
(
X
,
σ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
(或
(
X
,
τ
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\tau (X,Y,b))}
、
(
X
,
β
(
X
,
Y
,
b
)
)
{\displaystyle (X,\beta (X,Y,b))}
)中有界,則稱X 是弱有界 (或麥基有界 、強有界 )。
弱
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
上的配對,
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
是X 上的向量拓撲,則
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
是配對的拓撲,且若其局部凸、
(
X
,
T
)
{\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)}
的連續對偶空間
=
b
(
⋅
,
Y
)
{\displaystyle =b(\,\cdot \,,Y)}
,則稱之與配對
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
相容或一致。[ note 8]
若X 分離Y 的點,則Y 可視作X 的代數對偶的向量子空間,定義條件變為
(
X
,
T
)
′
=
Y
.
{\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)^{\prime }=Y.}
有人(如[Trèves 2006]、[Schaefer 1999])要求配對的拓撲也要是豪斯多夫的,若Y 分離X 的點(這些學者假設),則必須是豪斯多夫的。
弱拓撲
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
同配對
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
相容(如弱表示定理所示),事實上是最弱的拓撲。還有一種與這種配對相容的最強拓撲,即麥基拓撲 。
若N 是非自反 的賦范空間,則其連續對偶空間上通常的范拓撲同對偶
(
N
′
,
N
)
{\displaystyle \left(N^{\prime },N\right)}
不相容。
下面是對偶理論中最重要的定理之一。
麥基–阿倫定理 I — 令
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配對,使X 分離Y 的點,並令
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
是X 上的局部凸拓撲(不必豪斯多夫)。
則,若且唯若
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
是由某覆蓋了Y 的[ note 9]
σ
(
Y
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
-緊圓盤 集合
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
確定的極拓撲時,稱
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
與配對
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
相容。
由此可見,麥基拓撲
τ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \tau (X,Y,b)}
是由Y 中所有
σ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
-緊圓盤生成的極拓撲,是X 上與配對
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
相容的最強局部凸拓撲。
給定拓撲與麥基拓撲相同的局部凸空間稱作麥基空間 。
上述麥基-阿倫定理的一下結果也稱作麥基-阿倫定理。
麥基–阿倫定理 II — 令
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle (X,Y,b)}
是配對,使得X 分離Y 的點,並且
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
是X 上的局部凸拓撲。則,若且唯若
σ
(
X
,
Y
,
b
)
⊆
T
⊆
τ
(
X
,
Y
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,Y,b)\subseteq {\mathcal {T}}\subseteq \tau (X,Y,b)}
,
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
與配對相容。
若X 是(
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
或
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
上的)拓撲向量空間,則半空間 (half-space)是形式為
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
≤
r
}
{\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}
的集合。(r 是實數,f 是X 上的連續實值線性泛函)
上述定理說明,局部凸空間的閉子集和凸子集完全取決於連續對偶空間。於是,在任何與配對相容的拓撲中,閉子集和凸子集都相同;即,若
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
、
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
是X 上的任意局部凸拓撲,且有同樣的連續對偶空間,則若且唯若X 的凸子集在
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
拓撲中封閉,,此子集也在
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
拓撲中封閉。
這說明,X 任意凸子集的
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
-閉等同於其
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
-閉,對X 中任意
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
-閉圓盤A ,
A
=
A
∘
∘
{\displaystyle A=A^{\circ \circ }}
。
特別地,若B 是X 的一個子集,則若且唯若B 是
(
X
,
L
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
中的桶時,B 也是
(
X
,
L
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
中的桶 。
下面的定理說明,桶 (即閉吸收 圓盤)恰是弱有界子集的極。
若X 是拓撲向量空間,則
X 的閉吸收 平衡 子集B 吸收X 的所有凸緊子集(即存在正實數r 使得
r
B
{\displaystyle rB}
包含此集)。
若X 是豪斯多夫局部凸的,則X 中每個桶都吸收X 的每個凸有界完備子集。
所有這些都引出了麥基定理,這是對偶系統理論的核心定理之一。簡言之,定理支出,對符合相同對偶性的兩豪斯多夫局部凸拓撲,有界子集是相同的。
麥基定理 — 設
(
X
,
L
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
是豪斯多夫局部凸空間,有連續對偶空間
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
,並考慮規範對偶
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
。
若
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
是X 上任意與對偶
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
相容的拓撲,則
(
X
,
L
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
的有界子集與
(
X
,
L
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
的有界子集相同。
令X 表示純量
r
∙
=
(
r
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
的所有序列的空間,且對所有足夠大的i 都有
r
i
=
0
{\displaystyle r_{i}=0}
。
令
Y
=
X
{\displaystyle Y=X}
,定義雙線性映射
b
:
X
×
X
→
K
{\displaystyle b:X\times X\to \mathbb {K} }
為
b
(
r
∙
,
s
∙
)
:=
∑
i
=
1
∞
r
i
s
i
.
{\displaystyle b\left(r_{\bullet },s_{\bullet }\right):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}.}
則
σ
(
X
,
X
,
b
)
=
τ
(
X
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,X,b)=\tau (X,X,b)}
。
此外,若且唯若存在正實數序列
m
∙
=
(
m
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
,使得
|
t
i
|
≤
m
i
,
∀
t
∙
=
(
t
i
)
i
=
1
∞
∈
T
{\displaystyle \left|t_{i}\right|\leq m_{i},\ \forall t_{\bullet }=\left(t_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in T}
、及所有指標i (或還有
m
∙
∈
X
{\displaystyle m_{\bullet }\in X}
)時,子集
T
⊆
X
{\displaystyle T\subseteq X}
是
σ
(
X
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,X,b)}
-有界(或
β
(
X
,
X
,
b
)
{\displaystyle \beta (X,X,b)}
-有界)的。
由此可見,X 的子集中有弱有界(即
σ
(
X
,
X
,
b
)
{\displaystyle \sigma (X,X,b)}
-有界)的,但沒有強有界(即無
β
(
X
,
X
,
b
)
{\displaystyle \beta (X,X,b)}
-有界)的。
^ 子集
S
∈
X
{\displaystyle S\in X}
,若
∀
y
∈
Y
{\displaystyle \forall y\in Y}
,
b
(
s
,
y
)
=
0
∀
s
∈
S
{\displaystyle b(s,y)=0\quad \forall s\in S}
推出
y
=
0
{\displaystyle y=0}
,則稱S 為全子集。
^ b 在第一坐標中線性顯然。設c 是純量,則
b
(
x
,
c
⊥
y
)
=
b
(
x
,
c
¯
y
)
=
⟨
x
,
c
¯
y
⟩
=
c
⟨
x
,
y
⟩
=
c
b
(
x
,
y
)
{\displaystyle b(x,c\perp y)=b\left(x,{\overline {c}}y\right)=\langle x,{\overline {c}}y\rangle =c\langle x,y\rangle =cb(x,y)}
,說明b 在第二坐標中也線性。
^ Y 上的弱拓撲是Y 上使所有映射
b
(
x
,
⋅
)
:
Y
→
K
{\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }
連續的最弱的拓撲向量空間拓撲(x 在R 上取值)。
(
Y
,
σ
(
Y
,
R
,
b
)
)
,
(
Y
,
σ
(
Y
,
R
)
)
,
{\displaystyle (Y,\sigma (Y,R,b)),\ (Y,\sigma (Y,R)),}
或
(
Y
,
σ
)
{\displaystyle (Y,\sigma )}
的對偶定義也可用來表示賦有弱拓撲
σ
(
Y
,
R
,
b
)
{\displaystyle \sigma (Y,R,b)}
的Y 。若R 在語境中不明確,則應假定是X 的全部,這時稱之為Y 上(由X 誘導)的弱拓撲。
^ 若
G
:
Z
→
Y
{\displaystyle G:Z\to Y}
是線性映射,則若且唯若Z 分離W 的點、
b
(
X
,
G
(
⋅
)
)
⊆
c
(
W
,
⋅
)
{\displaystyle b(X,G(\,\cdot \,))\subseteq c(W,\,\cdot \,)}
時,G 的轉置
t
G
:
X
→
W
{\displaystyle {}^{t}G:X\to W}
是良定的。這時,
∀
x
∈
X
{\displaystyle \forall x\in X}
,
t
G
(
x
)
{\displaystyle {}^{t}G(x)}
的定義條件是:
c
(
x
,
G
(
⋅
)
)
=
c
(
t
G
(
x
)
,
⋅
)
.
{\displaystyle c(x,G(\,\cdot \,))=c\left({}^{t}G(x),\,\cdot \,\right).}
^ 若
H
:
X
→
Z
{\displaystyle H:X\to Z}
是線性映射,則若且唯若X 分離Y 的點、
c
(
W
,
H
(
⋅
)
)
⊆
b
(
⋅
,
Y
)
{\displaystyle c(W,H(\,\cdot \,))\subseteq b(\,\cdot \,,Y)}
時,H 的轉置
t
H
:
W
→
Y
,
{\displaystyle {}^{t}H:W\to Y,}
是良定的。這時,
∀
w
∈
W
{\displaystyle \forall w\in W}
,
t
H
(
w
)
{\displaystyle {}^{t}H(w)}
的定義條件是:
c
(
w
,
H
(
⋅
)
)
=
b
(
⋅
,
t
H
(
w
)
)
.
{\displaystyle c(w,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(w)\right).}
^ 若
H
:
W
→
Y
{\displaystyle H:W\to Y}
是線性映射,則若且唯若W 分離Z 的點、
b
(
X
,
H
(
⋅
)
)
⊆
c
(
⋅
,
Z
)
{\displaystyle b(X,H(\,\cdot \,))\subseteq c(\,\cdot \,,Z)}
時,H 的轉置
t
H
:
X
→
Q
,
{\displaystyle {}^{t}H:X\to Q,}
是良定的。這時
∀
x
∈
X
{\displaystyle \forall x\in X}
,
t
H
(
x
)
{\displaystyle {}^{t}H(x)}
的定義條件是:
c
(
x
,
H
(
⋅
)
)
=
b
(
⋅
,
t
H
(
x
)
)
.
{\displaystyle c(x,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(x)\right).}
^ 若
H
:
Y
→
W
{\displaystyle H:Y\to W}
是線性映射,則若且唯若Y 分離X 的點、
c
(
H
(
⋅
)
,
Z
)
⊆
b
(
X
,
⋅
)
{\displaystyle c(H(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(X,\,\cdot \,)}
時,H 的轉置
t
H
:
Z
→
X
,
{\displaystyle {}^{t}H:Z\to X,}
是良定的。這時,
∀
z
∈
Z
{\displaystyle \forall z\in Z}
,
t
H
(
z
)
{\displaystyle {}^{t}H(z)}
的定義條件是:
c
(
H
(
⋅
)
,
z
)
=
b
(
t
H
(
z
)
,
⋅
)
{\displaystyle c(H(\,\cdot \,),z)=b\left({}^{t}H(z),\,\cdot \,\right)}
^ 當然,Y 上拓撲也有「與配對相容」的類似定義,但本文只討論X 上的拓撲。
^ 集合S 與其子集的集合
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
,若S 的點都包含於
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
中的某集合,稱
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
覆蓋 了S 。
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基礎概念 研究主題 映射 集合 主要成果 級數 對偶性 應用與相關