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限制 (数学)

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数学中,映射限制 是一个新的映射,记作 或者 ,它是通过为原来的映射 选择一个更小的定义域 来得到的。反过来,也称映射 是映射 扩张

正式定义

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是一个集合 到集合 的映射。如果 子集,那么称满足的映射[1] 是映射 上的限制。不正式地说, 是和 相同的映射,但只定义在 上。

如果将映射 看作一种在笛卡尔积 上的关系 ,然后 上的限制可以用它的图像来表示:

其中 表示图像 中的有序对

扩张

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映射 称为另一映射的 扩张,当且仅当 。也就是说同时满足下面两个条件:

  1. 属于 之定义域的 必然也在 的定义域中,即
  2. 在它们共同的定义域上的行为相同,即

具有特定性质的扩张

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数学上经常需要将一个具有指定性质的映射的定义域扩大,并要求扩张后的结果仍具有该性质,但扩张后。如寻找一个线性映射 的扩张映射 ,且 仍是线性的,这时说 的一个线性扩张,或者说;寻找一个连续映射 的扩张映射 ,且 仍连续,则称为进行了连续扩张;诸如此类。

具有特定性质的扩张可能是唯一的,这时则不必给出扩张映射 的详细定义,如稠密子集豪斯多夫空间的映射的连续扩张

例子

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  1. 非单射函数 在域 上的限制是 ,而这是一个单射。
  2. Γ函数限制在正整数集上,并将变量平移 ,就得到阶乘函数:

限制的性质

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  • 映射 在其整个定义域 上的限制即是原函数,即
  • 对一个映射在限制两次与限制一次效果相同,只要最终的定义域一样。也就是说,若 ,则
  • 集合 上的恒等映射在集合 上的限制即是 包含映射[2]
  • 连续函数的限制是连续的。[3] [4]

应用

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反函数

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定义域为 的函数 没有反函数。若考虑 到非负实数的限制,则它有一个反函数,称为平方根

若某函数存在反函数,其映射必为单射。若映射 非单射,可以限制其定义域以定义其一部分的反函数。如:

  

因为 ,故非单射。但若将定义域限制到 时该映射为单射,此时有反函数

  

(若限制定义域至 ,输出 的负平方根的函数为反函数。)另外,若允许反函数为多值函数,则无需限制原函数的定义域。

粘接引理

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点集拓扑学中的粘接引理联系了函数的连续性与限制函数的连续性。

设拓扑空间 的子集 同时为开或闭,且满足 ,设 为拓扑空间。若映射 的限制都连续,则 也是连续的。

基于此结论,粘接在拓扑空间中的开或闭集合上定义的两个连续函数,可以得到一个新的连续函数。

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将函数的限制推广到其他物件的限制。

层论中,拓扑空间的每个开集,有另一个范畴中的物件与之对应,其中要求满足某些性质。最重要的性质是,若一个开集包含另一个开集,则对应的两个物件之间有限制态射,即若,则有态射,且该些态射应仿照函数的限制,满足下列条件:

  1. 的每个开集,限制态射上的恒等态射。
  2. 若有三个开集,则复合
  3. (局部性)若为某个开集开覆盖,且满足:对所有,则
  4. (黏合) 若为某个开集的开覆盖,且对每个,给定截面,使得对任意两个,都有在定义域重叠部分重合(即),则存在截面使得对所有

所谓拓扑空间上的,就是该些物件和态射组成的整体。若仅满足前两项条件,则称为预层

引注

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  1. ^ Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories 2nd. San Francisco: W. H. Freeman and Company. 1974: [36]. ISBN 0-7167-0457-9. 
  2. ^ Halmos, Paul. Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. 1960.  Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
  3. ^ Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River: Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2. 
  4. ^ Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David. Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. 2008. ISBN 978-0-13-184869-6.