正三角形鑲嵌
外觀
類別 | 正鑲嵌 | ||
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對偶多面體 | 正六邊形鑲嵌 | ||
識別 | |||
鮑爾斯縮寫 | trat | ||
數學表示法 | |||
考克斯特符號 | = | ||
施萊夫利符號 | {3,6} {3[3]} | ||
威佐夫符號 | 6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3 | ||
康威表示法 | dH | ||
特殊面或截面 | |||
梵奧斯截面 | 無限邊形[2] | ||
組成與佈局 | |||
頂點圖 | 3.3.3.3.3.3(或36) | ||
頂點佈局 | 36 | ||
對稱性 | |||
對稱群 | p6m, [6,3], (*632) p3m1, [3[3]], (*333) p3, [3[3]]+, (333) | ||
旋轉對稱群 | p6, [6,3]+, (632) p3, [3[3]]+, (333) | ||
圖像 | |||
| |||
在幾何學中,正三角形鑲嵌、又稱為正三角方格[3]是一種正多邊形在平面上的密鋪,又稱正鑲嵌圖。
命名
[編輯]康威稱正三角形鑲嵌為deltille。deltille一詞來自於外形為三角形的希臘字母 Delta (Δ),有時也稱作六角化正六邊形鑲嵌。
性質
[編輯]由於正三角形鑲嵌是由正三角形組成,又因正三角形內角為60度,因此每個頂點周圍都有6個三角形,且剛好占滿360度。
正三角形鑲嵌在施萊夫利符號中,用{3,6}表示。
正三角形鑲嵌是三個的平面正鑲嵌圖之一。另外兩個是正方形鑲嵌和正六邊形鑲嵌。
一般將畫在紙上的正三角方格稱作正三角格紙[3],正三角格紙是用來畫三維立體圖或三維透視圖用的。使用正三角格紙作圖會比較容易做出三維立體圖或三維透視圖,而且圖形看起來比較接近三維[3]。
上色的正三角形鑲嵌
[編輯]正三角形鑲嵌有九種不同的上色方式,他們依頂點周為顏色數來命名: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314。
上色 索引 |
111111 | 121212 | 121314 | 121213 |
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圖示 | ||||
上色 | ||||
對稱群 | *632 (p6m) [6,3] |
*333 (p3m1) [3[3]] = [1+,6,3] |
333 (p3) [3[3]]+ |
3*3 (p31m) [6,3+] |
Wythoff符號 | 6 | 3 2 | 3 | 3 3 | | 3 3 3 | |
考克斯特符號 | = |
A2晶格和圓堆砌
[編輯]正三角形鑲嵌的頂點排布被稱作A2晶格[4]。正三角形鑲嵌是單純形堆砌家族的二維成員。
A2*晶格(又稱A23),可由所有3種A2晶格組合得來,就等價於A2晶格。
- + + = 的對偶 =
以正三角形鑲嵌的頂點為圓心,我們可以得到二維的最密圓堆砌,每個圓都與6個相鄰圓接觸(接觸數),堆砌密度為或90.69%。由於3個A2晶格組合還是A2晶格,這種圓堆砌種的圓可被塗成三種顏色。
A2晶格的沃羅諾伊圖是正六邊形鑲嵌,它也是正三角形鑲嵌的對偶。因此,正六邊形鑲嵌也與最密圓堆砌有直接的對應關係。
A2晶格圓堆砌 | A* 2晶格圓堆砌 |
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正六邊形鑲嵌 | |
相關半正鑲嵌
[編輯]對稱性: [6,3], (*632) | [6,3]+, (632) | [1+,6,3], (*333) | [6,3+], (3*3) | |||||||
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{6,3} | t0,1{6,3} | t1{6,3} | t1,2{6,3} | t2{6,3} | t0,2{6,3} | t0,1,2{6,3} | s{6,3} | h{6,3} | h1,2{6,3} | |
半正對偶 | ||||||||||
V6.6.6 | V3.12.12 | V3.6.3.6 | V6.6.6 | V3.3.3.3.3.3 | V3.4.12.4 | V.4.6.12 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.3.3 |
從六邊形鑲嵌可利用「交錯」操作將六邊形鑲嵌變成三角形鑲嵌。
球面鑲嵌 | 多面體 | 歐式鑲嵌 | 緊湊雙曲鑲嵌 | 仿緊空間 | 非緊空間 | ||||
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n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ∞ | ||
2n邊形鑲嵌 | {2,3} | {4,3} | {6,3} | {8,3} | {10,3} | {12,3} | {∞,3} | {iπ/λ,3} | |
交錯2n邊形鑲嵌 | h{2,3} |
h{4,3} |
h{6,3} |
h{8,3} |
h{10,3} |
h{12,3} |
... | h{∞,3} |
h{iπ/λ,3} |
相關
[編輯]參考文獻
[編輯]- ^ Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2
- ^ Coxeter, Complex Regular polytopes,[1] p.141
- ^ 3.0 3.1 3.2 《圖解數學辭典》天下遠見出版 P.50 ISBN 986-417-614-5
- ^ 存档副本. [2014-01-26]. (原始內容存檔於2021-02-25).
閱讀
[編輯]- Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
- Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
- 埃里克·韋斯坦因. Triangular Grid. MathWorld.
- Klitzing, Richard. 2D Euclidean tilings x3o6o - trat - O2. bendwavy.org.
- Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. p35
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
- Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481