數學 上，數域 F 上的n 階正交群 ，記作O(n ,F )，是F 上的n ×n 正交矩陣 在矩陣乘法 下構成的群 。它是一般線性群 GL(n ,F )的子群，由
O
(
n
,
F
)
=
{
Q
∈
G
L
(
n
,
F
)
∣
Q
T
Q
=
Q
Q
T
=
I
}
{\displaystyle \mathrm {O} (n,F)=\{Q\in \mathrm {GL} (n,F)\mid Q^{T}Q=QQ^{T}=I\}\;}
這裡QT 是Q 的轉置 。實數域上的經典正交群通常就記為O(n )。
更一般地，F 上一個非奇異二次型 的正交群是保持二次型不變的矩陣構成的群。嘉當-迪奧多內定理 描述了這個正交群的結構。
每個正交矩陣的行列式為1或−1。行列式為1的n ×n 正交矩陣組成一個O(n ,F )的正規子群 ，稱為特殊正交群 SO(n ,F )。如果F 的特徵 為2，那麼1 = −1，從而O(n ,F )和SO(n ,F )相等；其他情形SO(n ,F )在O(n ,F )中的指數 是2。特徵2且偶數維時，很多作者用另一種定義，定義SO(n ,F )為迪克森不變量的核 ，這樣它在O(n ,F )中總有指數2。
O(n ,F )和SO(n ,F )都是代數群 ，因為如果一個矩陣是正交的條件，即轉置等於逆矩陣 ，能夠定義成一些關於矩陣分量的多項式方程。
實數域R 上的正交群O(n ,R )和特殊正交群SO(n ,R )在不會引起誤會時經常記為O(n )和SO(n )。他們是n (n -1)/2 維 實緊 李群 。O(n ,R )有兩個連通 分支，SO(n ,R )是單位分支 ，即包含單位矩陣 的連通分支。
實正交群和特殊正交群有如下的解釋：
O(n ,R )是歐幾里得群 E (n )的子群，E (n )是R n 等距 群；O(n ,R )由其中保持原點 不動等距組成。它是以原點為中心的球面 (n = 3)、超球面 和所有球面對稱的對象的對稱群 。
SO(n ,R )是E + (n )的子群，E + (n )是「直接」等距，即保持定向 的等距；SO(n ,R )由其中保持原點不動的等距組成。它是以原點為中心的球面和所有球面對稱對象的旋轉群。
{ I , −I }是O(n ,R )的正規子群 並是特徵子群 ；如果n 是偶數，對SO(n ,R )也對。如果n 是奇數，O(n ,R )是SO(n ,R )和{ I , −I }的直積 。k 重旋轉 循環群 Ck 對任何正整數k 都是O(2,R )和SO(2,R )的正規子群。
取合適的正交基 ，等距是
[
R
1
⋱
R
k
0
0
±
1
⋱
±
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}}}
的形式。這裡矩陣R 1 ,...,R k
圓 的對稱群 是O(2,R )，也稱為Dih (S1 )，這裡S1 是模長1複數的乘法群。
SO(2,R ) (作為李群)同構於圓S1 （圓群 ）。這個同構將複數exp(φi ) = cos(φ) + i sin(φ)映到正交矩陣
[
cos
(
ϕ
)
−
sin
(
ϕ
)
sin
(
ϕ
)
cos
(
ϕ
)
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\phi )&-\sin(\phi )\\\sin(\phi )&\cos(\phi )\end{bmatrix}}}
群SO(3,R )，視為3維空間的旋轉，是科學和工程中最重要的群。參見旋轉群 和3×3旋轉矩陣利用軸和角的一般公式
在代數拓撲 方面，對n > 2，SO(n ,R )的基本群 是2階循環 ，而自旋群 Spin(n )是其萬有覆疊 。對n = 2基本群是無限循環 而萬有覆疊對應於實數軸 （旋量群Spin(2)是惟一的2重覆疊）
李群O(n ,R )和SO(n ,R 的李代數 由斜對稱 實n ×n 矩陣組成，李括號 由交換子 給出。這個李代數經常記為 o(n ,R )或so(n ,R )。
保持R 3 3 ,R )，能分成如下幾類：
SO(3 ,R ):
恆同
繞一個過原點的軸轉動不等於180°
繞一個過原點的軸轉動180°
以上與關於原點的點反演 （x 映到−x ）複合，分別為：
關於原點的點反演
繞一軸旋轉一個不等於180°的角度，與關於過垂直於軸且過原點的平面的反射的複合
關於一個過原點的平面的反射 特別地指出4階和5階正交群，在更寬泛的意義下6階也是，稱為反射旋轉 。類似的參見歐幾里得群 。
作為保持距離的同構，正交變換也保角，從而是共形變換 ，但是不是所有的共形變換都是正交變換。R n n )，由正交群和收縮 的乘積給出。如果n 是奇數，兩個子群不相交，他們是直積：
CO
(
2
n
+
1
)
=
O
(
2
n
+
1
)
×
R
{\displaystyle \operatorname {CO} (2n+1)=\operatorname {O} (2n+1)\times \mathbf {R} }
n 是偶數，兩個子群的交是
±
1
{\displaystyle \pm 1}
CO
(
2
n
)
=
O
(
2
n
)
×
R
+
{\displaystyle \operatorname {CO} (2n)=\operatorname {O} (2n)\times \mathbf {R} ^{+}\;}
我們可以類似地定義CSO(n )，這時總有
CSO
(
n
)
:=
CO
(
n
)
∩
GL
+
(
n
)
=
SO
(
n
)
×
R
+
{\displaystyle \operatorname {CSO} (n):=\operatorname {CO} (n)\cap \operatorname {GL} _{+}(n)=\operatorname {SO} (n)\times \mathbf {R} ^{+}\;}
複數域C 上，O(n ,C )和SO(n ,C )是C 上n (n -1)/2維的李群，這意味着實維數是n (n -1)。O(n ,C )有兩個連通分支，SO(n ,C )是包含恆同矩陣的分支。當n ≥ 2時，這些群非緊。
和實情形一樣，SO(n ,C )不是單連通的，對n > 2 SO(n ,C )的基本群 是2階循環群 ，而SO(2,C )的基本群是無窮循環群。
O(n ,C )和SO(n ,C )的複李代數 由斜對稱 複n ×n 矩陣組成，李括號 由交換子 給出。
低維實正交群是熟悉的空間：
O
(
1
)
=
{
±
1
}
=
S
0
S
O
(
1
)
=
{
1
}
=
∗
S
O
(
2
)
=
S
1
S
O
(
3
)
=
R
P
3
{\displaystyle {\begin{aligned}O(1)&=\left\{\pm 1\right\}=S^{0}\\SO(1)&=\left\{1\right\}=*\\SO(2)&=S^{1}\\SO(3)&=\mathbf {RP} ^{3}\end{aligned}}}
由於三維旋轉在工程中有重要應用，產生了很多SO(3)上的卡 。
正交群的同倫群和球面的同倫群 密切相關，從而一般是很難計算的。
但是我們可以計算出穩定正交群的同倫群（也稱為有限正交群），定義為包含序列
O
(
0
)
⊂
O
(
1
)
⊂
O
(
2
)
⊂
⋯
⊂
O
=
⋃
k
=
0
∞
O
(
k
)
{\displaystyle O(0)\subset O(1)\subset O(2)\subset \cdots \subset O=\bigcup _{k=0}^{\infty }O(k)}
的正向極限 （因為包含都是閉包含，從而是上纖維化 ，也能理解成並 ）。
S
n
{\displaystyle S^{n}}
O
(
n
+
1
)
{\displaystyle O(n+1)}
齊性空間 ，從而有如下纖維叢 ：
O
(
n
)
→
O
(
n
+
1
)
→
S
n
,
{\displaystyle O(n)\to O(n+1)\to S^{n},}
可以理解為：正交群
O
(
n
+
1
)
{\displaystyle O(n+1)}
傳遞地作用 於單位球面
S
n
{\displaystyle S^{n}}
穩定子群 是其正交補的正交群，這是第一維的正交群。映射
O
(
n
)
→
O
(
n
+
1
)
{\displaystyle O(n)\to O(n+1)}
從而包含
O
(
n
)
→
O
(
n
+
1
)
{\displaystyle O(n)\to O(n+1)}
(n-1) -連通
n
>
k
+
1
{\displaystyle n>k+1}
π
k
(
O
)
=
π
k
(
O
(
n
)
)
{\displaystyle \pi _{k}(O)=\pi _{k}(O(n))}
通過博特周期性 定理，
Ω
8
O
≃
O
{\displaystyle \Omega ^{8}O\simeq O}
O 的同倫群以8為周期，即
π
k
+
8
O
=
π
k
O
{\displaystyle \pi _{k+8}O=\pi _{k}O}
π
0
O
=
Z
/
2
π
1
O
=
Z
/
2
π
2
O
=
0
π
3
O
=
Z
π
4
O
=
0
π
5
O
=
0
π
6
O
=
0
π
7
O
=
Z
{\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{1}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}O&=0\\\pi _{3}O&=\mathbf {Z} \\\pi _{4}O&=0\\\pi _{5}O&=0\\\pi _{6}O&=0\\\pi _{7}O&=\mathbf {Z} \\\end{aligned}}}
通過cluching construction，穩定空間O 的同倫群和穩定球面上的向量叢等價（同構的意義下），提高一個維數：
π
k
O
=
π
k
+
1
B
O
{\displaystyle \pi _{k}O=\pi _{k+1}BO}
設
K
O
=
B
O
×
Z
=
Ω
−
1
O
×
Z
{\displaystyle KO=BO\times \mathbf {Z} =\Omega ^{-1}O\times \mathbf {Z} }
π
0
{\displaystyle \pi _{0}}
π
0
K
O
=
Z
π
1
K
O
=
Z
/
2
π
2
K
O
=
Z
/
2
π
3
K
O
=
0
π
4
K
O
=
Z
π
5
K
O
=
0
π
6
K
O
=
0
π
7
K
O
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{1}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{3}KO&=0\\\pi _{4}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{5}KO&=0\\\pi _{6}KO&=0\\\pi _{7}KO&=0\\\end{aligned}}}
最初的幾個同論群可以用低維群的同論群具體的描述。
π
0
(
O
)
=
π
0
(
O
(
1
)
)
=
Z
/
2
{\displaystyle \pi _{0}(O)=\pi _{0}(O(1))=\mathbf {Z} /2}
定向 （這個類存留到
O
(
2
)
{\displaystyle O(2)}
S
O
(
3
)
=
R
P
3
=
S
3
/
(
Z
/
2
)
{\displaystyle SO(3)=\mathbf {RP} ^{3}=S^{3}/(\mathbf {Z} /2)}
π
1
(
O
)
=
π
1
(
S
O
(
3
)
)
=
Z
/
2
{\displaystyle \pi _{1}(O)=\pi _{1}(SO(3))=\mathbf {Z} /2}
自旋群
π
2
(
O
)
=
π
2
(
S
O
(
3
)
)
=
0
{\displaystyle \pi _{2}(O)=\pi _{2}(SO(3))=0}
π
2
(
S
O
(
4
)
)
{\displaystyle \pi _{2}(SO(4))}
由李群 一般性事實，
π
2
G
{\displaystyle \pi _{2}G}
π
3
G
{\displaystyle \pi _{3}G}
自由 阿貝爾群 。
從向量叢的觀點來看，
π
0
(
K
O
)
{\displaystyle \pi _{0}(KO)}
S
0
{\displaystyle S^{0}}
π
0
(
K
O
)
=
Z
{\displaystyle \pi _{0}(KO)=\mathbf {Z} }
維數 。利用博特周期性中環路空間 具體的描述，我們可以將高維同倫群理解為容易分析的低維空間的同倫。利用
π
0
{\displaystyle \pi _{0}}
O ，以及O/U 有兩個分支，
K
O
=
B
O
×
Z
{\displaystyle KO=BO\times \mathbf {Z} }
K
S
p
=
B
S
p
×
Z
{\displaystyle KSp=BSp\times \mathbf {Z} }
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
一小部分結論：[ 1]
π
0
(
K
O
)
=
Z
{\displaystyle \pi _{0}(KO)=\mathbf {Z} }
維數
π
1
(
K
O
)
=
Z
/
2
{\displaystyle \pi _{1}(KO)=\mathbf {Z} /2}
定向
π
2
(
K
O
)
=
Z
/
2
{\displaystyle \pi _{2}(KO)=\mathbf {Z} /2}
自旋
π
4
(
K
O
)
=
Z
{\displaystyle \pi _{4}(KO)=\mathbf {Z} }
拓撲量子場理論 令
F
=
R
,
C
,
H
,
O
{\displaystyle F=\mathbf {R} ,\mathbf {C} ,\mathbf {H} ,\mathbf {O} }
L
F
{\displaystyle L_{F}}
F
P
1
{\displaystyle \mathbf {FP} ^{1}}
[
L
F
]
{\displaystyle [L_{F}]}
R
P
1
=
S
1
,
C
P
1
=
S
2
,
H
P
1
=
S
4
,
O
P
1
=
S
8
{\displaystyle \mathbf {RP} ^{1}=S^{1},\mathbf {CP} ^{1}=S^{2},\mathbf {HP} ^{1}=S^{4},\mathbf {OP} ^{1}=S^{8}}
π
1
(
K
O
)
{\displaystyle \pi _{1}(KO)}
[
L
R
]
{\displaystyle [L_{\mathbf {R} }]}
π
2
(
K
O
)
{\displaystyle \pi _{2}(KO)}
[
L
C
]
{\displaystyle [L_{\mathbf {C} }]}
π
4
(
K
O
)
{\displaystyle \pi _{4}(KO)}
[
L
H
]
{\displaystyle [L_{\mathbf {H} }]}
π
8
(
K
O
)
{\displaystyle \pi _{8}(KO)}
[
L
O
]
{\displaystyle [L_{\mathbf {O} }]}
正交群也能定義在有限域
F
q
{\displaystyle \mathbf {F} _{q}}
q
{\displaystyle q}
p
{\displaystyle p}
O
+
(
2
n
,
q
)
{\displaystyle O^{+}(2n,q)}
O
−
(
2
n
,
q
)
{\displaystyle O^{-}(2n,q)}
O
(
2
n
+
1
,
q
)
{\displaystyle O(2n+1,q)}
如果
V
{\displaystyle V}
G
{\displaystyle G}
V
=
L
1
⊕
L
2
⊕
⋯
⊕
L
m
⊕
W
{\displaystyle V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W}
這里
L
i
{\displaystyle L_{i}}
雙曲線 而
W
{\displaystyle W}
W
=
0
{\displaystyle W=0}
G
{\displaystyle G}
W
=<
w
>
{\displaystyle W=<w>}
G
{\displaystyle G}
W
{\displaystyle W}
G
{\displaystyle G}
在n = 1的特例，
O
ϵ
(
2
,
q
)
{\displaystyle O^{\epsilon }(2,q)}
2
(
q
−
ϵ
)
{\displaystyle 2(q-\epsilon )}
二面體群 。
當特徵大於2時，記O(n ,q ) = { A ∈ GL(n ,q ) : A ·A t =I }。關於這些群的階數我們有以下公式
|
O
(
2
n
+
1
,
q
)
|
=
2
q
n
∏
i
=
0
n
−
1
(
q
2
n
−
q
2
i
)
{\displaystyle |O(2n+1,q)|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}
如果
−
1
{\displaystyle -1}
F
q
{\displaystyle \mathbf {F} _{q}}
|
O
(
2
n
,
q
)
|
=
2
(
q
n
−
1
)
∏
i
=
1
n
−
1
(
q
2
n
−
q
2
i
)
{\displaystyle |O(2n,q)|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}
如果
−
1
{\displaystyle -1}
F
q
{\displaystyle \mathbf {F} _{q}}
|
O
(
2
n
,
q
)
|
=
2
(
q
n
+
(
−
1
)
n
+
1
)
∏
i
=
1
n
−
1
(
q
2
n
−
q
2
i
)
{\displaystyle |O(2n,q)|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}
對偶數維正交群，迪克森不變量 是從正交群到Z /2Z 的同態 ，是0或1取決於一個元素是偶數個還是奇數個反射的複合。在特徵不等於2的域上迪克森不變量和行列式等價：行列式等於−1的迪克森不變量次冪。
在特徵2的域上，行列式總為1，所以迪克森不變量給出了額外的信息。在特徵2域上許多作者定義特殊正交群為迪克森不變量為0的元素，而不是行列式為1。
迪克森不變量也能對所有維數的克利福德群 和Pin群 類似地定義。
特徵2域上的正交群常常有不同的表現。這一節列出一些不同：
任何域上的任何正交群都是由反射生成，惟一的例外是兩個元素的域上的維特指標 為2的4維向量空間(Grove 2002 ，Theorem 6.6 and 14.16)。注意特徵2域上的反射定義稍不同。特徵2域，垂直於一個向量u 的反射將v 映為v +B(v ,u )/Q(u )·u ，這里B 是一個雙線性形式，Q 是和正交矩陣相連的二次形式。而通常的豪斯霍爾德變換 是將v 映到v -2·B(v ,u )/Q(u )·u ，當奇特徵和零特徵時與比較兩者不同。 在特徵2的奇維數2n +1時，完全域上的正交群和2n 維辛群相同。事實上特徵2時的辛形式時可交換的，而維數為奇數故總有一個1維的核，模去核的商是一個2n 維辛空間，正交群作用在它上面。 在特徵2的偶維數，正交群是辛群的一個子群，因為此時二次型的辛雙線性形式也是可交換的。 旋量模是一個從域F 上正交群到域F 的乘法群 模去平方元素
F * /F *2 的同態，將關於模長為n 向量的反射 映到F * /F *2 中的n 。
旋量模對實數域上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如實數域上不定二次型定義的正交群。
代數群 的伽羅瓦上同調 理論，引入了一些更深入的觀點。它們有解釋的價值，特別是二次型理論的聯繫；
但就目前所發現的現象而言，大部分都是「馬後炮」。第一個觀點是一個域上的二次型或者一個正交群的扭曲形式（張量）可以與伽羅瓦H 1 等同起來。作為一個代數群，正交群一般不是連通或單連通的；第二個觀點是引入自旋現象，但前一個和判別式 相聯繫。
一個旋量模的「spin」名字可以用與自旋群 （更準確地pin群 ）的一個聯繫來解釋。這種方法現在可以馬上用伽羅瓦上同調（引入克利福德代數 的術語）來解釋。正交群的自旋群覆疊給出了一個代數群的短正合列 ：
1
→
μ
2
→
P
i
n
V
→
O
V
→
1
{\displaystyle 1\rightarrow \mu _{2}\rightarrow Pin_{V}\rightarrow O_{V}\rightarrow 1}
這裡μ2 是單位根的代數群 ；在一個特徵非2的域上，粗略地看，和作用平凡的兩元素群相同。
從H 0 （就是取值於F 中點的群O V (F )）到H 1 (μ2 )的連接同態 本質上是spinor模，因為 H 1 (μ2 )同構於域模去平方元素的乘法群。
正交群的H 1 到自旋群覆疊的核的H 2 也存在連接同態。因上同調是非阿貝爾的，所以，至少用普通定義，這是我們能走得最遠的。
物理中，特別是在Kaluza-Klein緊化領域，找出正交群的子群非常重要。主要結論如下：
O
(
n
)
⊃
O
(
n
−
1
)
{\displaystyle O(n)\supset O(n-1)}
O
(
2
n
)
⊃
S
U
(
n
)
{\displaystyle O(2n)\supset SU(n)}
O
(
2
n
)
⊃
U
S
p
(
n
)
{\displaystyle O(2n)\supset USp(n)}
O
(
7
)
⊃
G
2
{\displaystyle O(7)\supset G_{2}}
正交群O(n)也是一些李群 的重要子群：
S
U
(
n
)
⊃
O
(
n
)
{\displaystyle SU(n)\supset O(n)}
U
S
p
(
2
n
)
⊃
O
(
n
)
{\displaystyle USp(2n)\supset O(n)}
G
2
⊃
O
(
3
)
{\displaystyle G_{2}\supset O(3)}
F
4
⊃
O
(
9
)
{\displaystyle F_{4}\supset O(9)}
E
6
⊃
O
(
10
)
{\displaystyle E_{6}\supset O(10)}
E
7
⊃
O
(
12
)
{\displaystyle E_{7}\supset O(12)}
E
8
⊃
O
(
16
)
{\displaystyle E_{8}\supset O(16)}
群O(10)在超弦理論 中非常重要，因為它是10維時空的對稱群。
^ John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105 . [2008-10-18 ] . （原始內容存檔 於2021-02-11）.
![{\displaystyle [L_{F}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562f8a6f4c4ab7a23020f8f297aabb4b2778e625)
![{\displaystyle [L_{\mathbf {R} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9261593233b9ab49e68e8b2fc130b5e333fd4b)
![{\displaystyle [L_{\mathbf {C} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9fcc6724f9fb4d10abb08d081379087097d4032)
![{\displaystyle [L_{\mathbf {H} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9936b37a251aa65062ec5d167b9393196059b88)
![{\displaystyle [L_{\mathbf {O} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76564827333967b8642cd0131b221f944f575dd)
