無限面體
外觀
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![]() 正方形鑲嵌,是無限面體的一個例子 | |
類別 | 多面體 平面鑲嵌 |
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對偶多面體 | 仍為無限面體 但可能有不同幾何結構 |
數學表示法 | |
考克斯特符號 | 三種正無限面體![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
施萊夫利符號 | {p,q} 其中(p-2)(q-2) = 4 |
性質 | |
面 | ∞ |
邊 | ∞ |
頂點 | ∞ |
歐拉特徵數 | F=∞, E=∞, V=∞ (χ=2) |
二面角 | 180° |
對稱性 | |
對稱群 | 依其幾何結構而定 |
特性 | |
非嚴格凸、 球內接多面體、 等邊多面體、 等角多面體、 平面 | |
無限面體(英語:Apeirohedron),是多面體的一種,意指有無限個面、無限條邊和無限個頂點的多面體。一般是指所有的平面密鋪的集合。
在歐幾里得幾何中,無限面體是一個退化多面體,其面數是可數集的數量,其邊數與頂點數將符合V-E+F= 2,但只能利用求極限得出。無限面體跟多面體一樣,有面、邊、頂點、和角,角也包含有二面角,只是他們全部共面。無限面體並不是球,因為在多面體的定義中,面不能為曲面、邊不能為曲線。
無限面體為無限邊形在三維空間的類比,與平面鑲嵌是等價的。無限面體可以密鋪空間,如同無限邊形密鋪平面,兩個無限面體面體即可堆砌填滿整個空間,這種幾何結構稱為二階無限面體堆砌。
一般對兩種主要無限面體類型有研究:
- 平面密鋪或鑲嵌
- 扭歪無限面體。
正無限面體
[編輯]正無限面體是正多面體的一種,是指每個面都全等、每條邊都等長、每個角都等角的無限面體,就如同一般的正多面體。其二面角為180度,為一平角。
滿足這些條件的幾何圖形只有平面鑲嵌,在施萊夫利符號中用{p,q}表示,其中p、q滿足等式(p-2)(q-2) = 4。
圖像 | ![]() 三角形鑲嵌 |
![]() 正方形鑲嵌 |
![]() 六邊形鑲嵌 |
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施萊夫利符號 | {3,6} | {4,4} | {6,3} |
無限胞體
[編輯]無限胞體(英語:Apeirotope)意指有無限個面、無限個胞、無限條邊和無限個頂點的多胞體。
其性質皆與無限面體相似,由空間密鋪即空間堆砌組成。四維空間的正無限胞體只有一種,即立方體堆砌[1]。
維度 | 三維 退化四維 |
四維 退化五維 | |
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圖像 | ![]() 立方體堆砌 |
![]() 超立方體堆砌 |
![]() 十六胞體堆砌 |
施萊夫利符號 | {4,3,4} | {4,3,3,4} | {3,3,4,3} |
扭歪無限面體
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Five-square_skew_polyhedron.png/320px-Five-square_skew_polyhedron.png)
扭歪無限面體也是一種無限面體,其與一般無限面體差異在於扭歪無限面體並非所有頂點都共面,可以視為無限邊形與扭歪無限邊形之差異在三維空間的類比。
所有面都全等、角也相等的扭歪無限面體為正扭歪無限面體。三維空間的正扭歪無限面體有三種:
圖像 | ![]() 四角六片四角孔扭歪無限面體 |
![]() 六角四片四角孔扭歪無限面體 |
![]() 六角六片三角孔扭歪無限面體 |
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施萊夫利符號 | {4,6|4} | {6,4|4} | {6,6|3} |
雙曲空間
[編輯]此外,由於雙曲鑲嵌也是由無限多個雙曲平面構成的圖形,因此雙曲鑲嵌也可以做為一種無限面體[2]。
圖像 | ![]() 七階三角形鑲嵌 |
![]() 五階正方形鑲嵌 |
![]() 四階五邊形鑲嵌 |
![]() 四階六邊形鑲嵌 |
![]() 七邊形鑲嵌 |
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施萊夫利符號 | {3,7} | {4,5} | {5,4} | {6,4} | {7,3} |
參見
[編輯]參考文獻
[編輯]- Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes 3rd ed. New York: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8. p.296, Table II: Regular honeycombs
- Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 25)
- Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979: 164–199. ISBN 0-486-23729-X. Chapter 5: Polyhedra packing and space filling
- Critchlow, K.: Order in space.
- Pearce, P.: Structure in nature is a strategy for design.
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
- ^ Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.
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