將20個蘋果平均分成四等分(左上),每份有5個蘋果(右下),即
;亦可以說成,將20個蘋果每5個分成一份(右下),共可分成四等分(左上),此時可以表達為
數學中,尤其是在基本計算裏,除法可以看成是「乘法的反運算」,也可以理解為「重複的減法」。除法運算的本質就是「把參與運算的除數變為
,得出同比的被除數的值」。
例如:
,就好像
,
,
被
減了兩次後,就變成了
。
如果
![{\displaystyle a\times b=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1272c2667a4b31fc639ab3c998d30fb011f89b2f)
而且
不等於零,那麼
![{\displaystyle a=c\div b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf4eb0e2c6e0eb7d7af9c7efe787dcd1fe8a625a)
其中,a稱為商數,b稱為除數,c稱為被除數。
如果除式的商數(
)必須是整數,則稱為帶餘除法,
與
相差的數值,稱為餘數(
)。
![{\displaystyle c\div b=a\dots d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba3e578bd5679ade8b96f5f63eef3a4839b9897)
這也意味著
![{\displaystyle c=a\times b+d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1a690534e7213d7a50cf0b6ed4e2829edb1cfc)
在高等數學(包括在科學與工程學中)和計算機程式語言中,
寫成
。如果我們不需要知道確切值或者留待以後引用,這種形式也常常是稱之為分數的最終形式。其中尋找商數的函數為
,尋找餘數的函數則為
。
在大部分的非英語語言中,
代表
的比,讀做c比b;
則代表
的比值。用法請參照比例。
整除是數學中兩個自然數之間的一種關係。自然數
可以被自然數
整除,是指
是
的因數,且a是b的整數倍數,也就是
除以
沒有餘數。
![{\displaystyle a\div b=q\dots 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0b70c20aa7eb08cf4e4f9be41746670e9daead)
因數判別法可參照整除規則。
表示
整除
,即
是
的倍數,
是
的因數。
可以被
整除,記作
。
不能被
整除(因為餘數為
),記作
。在
上加一條斜線即表示不整除。
根據乘法表,兩個整數可以用長除法(直式除法)筆算。如果被除數有分數部分(或者說時小數點),計算時將小數點帶下來就可以;如果除數有小數點,將除數與被除數的小數點同時移位,直到除數沒有小數點。
算盤也可以做除法運算。
長除法俗稱「長除」,適用於正式除法、小數除法、多項式除法(即因式分解)等較重視計算過程和商數的除法,過程中兼用了乘法和減法。
使用長除法計算
的過程可以表示為:
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f2/LongDivisionAnimated.gif)
的演算過程
![{\displaystyle {\begin{array}{l}37\ {\big )}\\\\\\\\\\\\\\\\\end{array}}\!\!\!\!\!{\begin{array}{r}34061\\\hline \ 1260257\\111\quad \quad \\\hline 150\quad \ \ \\148\quad \ \ \\\hline 225\ \ \\222\ \ \\\hline 37\\37\\\hline 0\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d5bab3d34224183477dbd369203fab8aa2365f)
短除法是長除法的簡化版本。在短除法裏,被除數放中央,旁以一L型符號表示除法,被除數左側為除數,下側為商,省去了長除法逐層計算的過程。
- 使用短除法計算
的近似值:
![{\displaystyle {\begin{array}{r}7\ |\!{\underline {\,\ 3.00000000000000000\dots \ }}\\0.42857142857142857\dots \ \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a1de5a5b289576666cf4dce5b68fa488fa1e016)
- 使用短除法計算
的質因數分解:
![{\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\ }}\\2\ |\!{\underline {\,\ \ 210\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ 105\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 35\ }}\\7\ \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9418ad923521c6d100c9b7b1cd8c021b775dfd18)
![{\displaystyle 420=2^{2}\times 3\times 5\times 7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67d0b60dc0003280ac72203d9388523e820c8f0)
- 使用短除法計算
的最大公因數及最小公倍數:
![{\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\quad 270\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ \ 210\quad 135\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 70\quad \ \ 45\ }}\\14\quad \ \ \ \ 9\ \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9667f922fac77f58100d8bbd618b6d0541c241b)
![{\displaystyle {\begin{cases}\gcd(420,270)=2\times 3\times 5=30\\\operatorname {lcm} (420,270)=2\times 3\times 5\times 14\times 9=3780\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f985edf332cc4387710c9ac01fbb56c9e63858f4)
和整數之間的帶餘除法類似,一元多項式之間也可以進行帶餘除法。可以證明,設有多項式
和非零多項式
,則存在唯一的多項式
和
,滿足:
![{\displaystyle A=BQ+R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b37f420a7b68179904a3efce197e58cfb6465cd)
而多項式
若非零多項式,則其冪次嚴格小於
的冪次。
作為特例,如果要計算某個多項式
除以一次多項式
得到的餘多項式,可以直接將
代入到多項式
中。
除以
的餘多項式是
。
具體的計算可以使用類似直式除法的方式。例如,計算
除以
,列式如下:
![{\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \quad \;\,X^{2}\;-9X\quad -27\\\qquad \quad X-3{\overline {\vert X^{3}-12X^{2}+0X-42}}\\\;\;{\underline {\;\;X^{3}-\;\;3X^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9X^{2}+0X\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9X^{2}+27X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27X-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27X+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897d1e2f3dae8fa62dc8d7efa9e3eb55e8457664)
因此,商式是
,餘式是
。
通常不定義除以零這種形式。亦即當除以0 或分數的分母為0 時,該式或該數無意義。