簡諧運動

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簡諧運動(或簡諧振動諧振SHM(Simple Harmonic Motion))既是最基本也是最簡單的一種機械振動。當某物體進行簡諧運動時,物體所受的位移成正比,並且力總是指向平衡位置。

如果用F表示物體受到的回復力,用x表示小球對於平衡位置的位移,根據虎克定律,F和x成正比,它們之間的關係可用下式來表示:

F=-kx

式中的k是回復力與位移成正比的比例係數,不能與彈簧的勁度係數混淆;負號的意思是:回復力的方向總跟物體位移的方向相反。

根據牛頓第二定律,F=ma,當物體質量一定時,運動物體的加速度總跟物體所受淨力的大小成正比,並且跟淨力的方向相同。簡諧運動系統的機械能守恆

簡諧振動的動力學方程式[編輯]

對於一維的簡諧振動,其動力學方程式是二階微分方程式,可由牛頓第二運動定律得到

F=ma=m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}=m\ddot x

回復力又可表示為F=-kx

所以有\ddot x+\frac{k}{m}x=0

求解上述方程式,得到的的解含有正弦函數

 x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right)

其中

 \omega = \sqrt{\frac{k}{m}},
 A = \sqrt{{c_1}^2 + {c_2}^2},
 \tan \varphi = \left(\frac{c_2}{c_1}\right),

c1c2是由初始條件決定的常數。取平衡位置為原點,每項都有物理意義:A是振幅,ω = 2πf是角頻率,φ是相位。

利用微積分,速度和加速度可以作為時間的函數得到

 v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = - A\omega \sin(\omega t+\varphi)
v_{max}=\omega A(在平衡位置)
 a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \cos( \omega t+\varphi)
a_{max}=\omega^2 A(在最大位移處)

加速度也可以作為位移的函數被得到

 a(x) = -\omega^2 x\!

因為 ω = 2πf

f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}

又因為周期 T = 1/f , 所以:T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}

以上方程式說明了簡諧振動具有等時性,即一個做簡諧振動的質點運動周期和振幅以及相位無關。

彈簧振子[編輯]

將一個有孔小球體與一個彈簧連在一起,將一個極為光滑的水平桿穿入小球體,使球體可以在水平桿上左右滑動,而球體與水平桿的摩擦力小得可以忽略不計。將彈簧的一端固定住,彈簧的整體質量要比球體質量小得多,這樣彈簧本身質量也可以忽略不計。這個系統便是一個彈簧振子。

彈簧振子系統在平衡狀態下,彈簧沒有形變,振子(小球體)在平衡位置保持靜止。若把振子拉過平衡位置,到達最大幅度,再鬆開,彈簧則會將振子向平衡位置收回。在收回的過程中,彈簧的勢能轉換為振子的動能,勢能在降低的同時,動能在增加。當振子到達平衡位置時,振子所積累的動能又迫使振子越過平衡位置,繼續向同樣的方向移動。但因已越過彈簧振子系統的平衡位置,所以這時彈簧開始對振子向相反方向施加力。動能轉作勢能,動能降低,勢能上升,直至到達離平衡位置最大幅度的距離。這時振子所有的動能被轉化為勢能,振子速度為零,停止運動。勢能又迫使振子移回平衡位置,在移動過程中,勢能轉為動能,因而再次越過平衡位置,重複這個過程。在沒有任何其他力影響的完美的條件下,這個彈簧振子系統會在兩個最大幅度點間不停地做往返運動。 彈簧振子的固有週期固有頻率與彈簧彈力係數和振子質量有關,與振幅大小無關。

振幅、週期和頻率[編輯]

1.振幅

振幅A代表質點偏離中心(平衡位置)的最大距離,它正比於\sqrt{E}.,即它的平方正比於系統的機械能E

2.角頻率

角頻率:\omega=2 \pi f.,頻率f為周期T的倒數

其中\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.。推導過程:

     x = A cos ({ \omega t + \phi })
     对于时间t求导,v = - A \omega sin ({\omega t + \phi}) 
     再关于时间t求导a =- A \omega^{2}cos ({ \omega t + \phi })
     由牛顿第二定律得a = \frac {F}{m} = \frac {-kx}{m} = \frac {- A  cos ({ \omega t + \phi })k}{m}
     两式联立得\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.


下圖為簡諧運動的圖像,表示的是振動物體的位移隨時間變化的規律。是一條正弦餘弦曲線。 Simple harmonic motion (zh).png

這個運動是假設在沒有能量損失引致阻尼的情況而發生。 振幅描繪了振動的強弱,是標量,大小為最大位移的大小,質點在一次全振動過程中通過的路程等於4倍振幅。完成一次全振動的時間叫週期,單位時間內完成全振動的次數叫頻率,週期和頻率描繪了振動的快慢。

簡諧振動的判定[編輯]

(1)如果一個質點在運動中所受的淨外力是一個簡諧力

    F = - k x 

即淨外力的大小與位移成正比且方向相反,那麼我們稱這個質點的運動是簡諧振動。比例係數 k 稱為彈簧係數,或稱倔強係數。

(2)如果一個質點的運動方程式有如下形式

     x = A \cos{( \omega t + \phi)} 

即,質點的位移隨時間的變化是一個簡諧函數,顯然此質點的運動為簡諧振動。

(3)如果一個質點的動力學方程式可以寫成

     a + \omega^2 x = 0 

其中 \omega^2 為正的實數。則質點的運動是一個簡諧振動

(4)如果質點在運動過程中具有形式為( \frac{1}{2} k x^2) 的勢能,且

     \frac {1}{2} m v^2 + \frac {1}{2} k x^2 = E 
    

則質點的運動為簡諧振動

應該說明

(1)以上各判定方法是完全等價的;

(2)以上各表達式中的 x 既可以是線量(線位移),又可以是角量(角位移),相應的,速度可以為線速度和角速度,對應的加速度是線加速度和角加速度。

例子[編輯]

彈簧[編輯]

把質量為M的物體懸掛在勁度係數為k的彈簧的底端,則物體將進行簡諧運動,其方程式為:

\omega=2 \pi f = \sqrt{\frac{k}{M}}.\,

如果要計算它的周期,可以用以下的公式:

 T= \frac{1}{f} = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k}}.

總的能量是常數,由方程式 E = \frac{kA^2}{2} 給出。

勻速圓周運動[編輯]

在某些情況下,簡諧運動可以考慮為勻速圓周運動的一維投影。如果物體以\omega角頻率沿著半徑為R的圓移動,則它在x軸和y軸上的投影就是簡諧運動,其振幅為R,頻率為\omega。 例子 汽車在街角轉彎時,會作圓周運動。路面和輪胎之間的摩擦力 = 維持汽車在曲線路徑上行駛�的向心力 ,可達到的最大摩擦力,若摩擦力不足汽車會滑出路面,要讓汽車不滑出路面,汽車就不可超過最大速率

單擺[編輯]

在偏角不太大的情況(一般認為小於5°)下,單擺的運動可以近似地視為簡諧運動。如果單擺的長度為\ell,重力加速度為g,則周期為:

 T= 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}

這個公式僅當偏角很小時才成立,因為角加速度的表達式是與位置的正弦成正比的:

\ell m g \sin(\theta)=I \alpha

其中I是轉動慣量,在這種情況下I = m\ell^2。當\theta很小時,\sin(\theta) \approx \theta,因此上式變為:

\ell m g \theta=I \alpha

這使得角加速度與\theta成正比,滿足了簡諧運動的定義。 單擺的回複力是擺球的重力沿運動方向的分力。

參閱[編輯]

外部連結[編輯]