闭集

满足$x^{2}+y^{2}=r^{2}$的点$(x,y)$着蓝色。满足$x^{2}+y^{2}<r^{2}$的点$(x,y)$着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

在拓扑空间中，闭集是指其补集为开集的集合。在一个拓扑空间内，闭集可以定义为一个包含所有其极限点的集合。在完备度量空间中，一个闭集的极限运算是闭合的。不要混淆于闭流形。

闭集等价的定义

在一个任意的拓扑空间$(X,{\mathcal {T}})$内，一个集合$C$是闭集当且仅当它与它的闭包${\bar {C}}$相同。等价地，一个集合$C$是闭集当且仅当所有的极限点都是这个集合中的点；也就是，$C'\subseteq C$。

性质

闭集包含其自身的边界。换句话说，这个概念基于“外部”的概念，如果你在一个闭集的外部，你稍微“抖动”一下仍在这个集合的外部。注意，这个概念在边界为空的时候还是真的，比如在有理数的度量空间中，对于平方小于2的数的集合。

任意多个闭集的交集是闭集；有限多个闭集的并集是闭集。特别的，空集和全空间是闭集。

交集的性质也被用来定义空间$X$上的集合$A$的闭包，即$X$的闭合子集中最小的$A$的父集。特别的，$A$的闭包可以通过所有的其闭合父集的交集来构造。

例子

• 区间$[a,b]$在实数上是闭集。（方括号、圆括号的集合符号，参见区间文中的解释。）
• 单位区间$[0,1]$在实数$\mathbb {R}$的度量空间中是闭集。而集合$[0,1]\cap \mathbb {Q}$在有理数$\mathbb {Q}$上是闭集，但在实数$\mathbb {R}$上并不是闭集。
• 有些集合既不是开集也不是闭集，如实数$\mathbb {R}$上的半开区间$[0,1)$。
• 有些集合既是开集也是闭集叫做闭开集，最简单的例子就是空集合以及拓朴空间本身。
• 半区间$[1,\infty )$在实数$\mathbb {R}$上是闭集。
• 康托尔集是一个独特的闭集，它包含所有边界点，并且没有一处是稠密的。
• 仅包含一个点的集合（显然它是有限集）在豪斯多夫空间内是闭集。
• 如果$X$和$Y$是拓扑空间，而$f$是一个从$X$到$Y$的连续函数当且仅当$Y$中任意的闭集$C$的原像$f^{-1}(C)$在$X$中也是闭集。

细说

上述闭集的定义是根据开集而来得，这一概念在拓扑空间上是有意义的，同时也适用于含有拓扑结构的其他空间，如度量空间、可微流形、一致空间和规格空间。

另一种对闭集的定义是通过序列。拓扑空间$X$上的子集$A$是闭合的，当且仅当$A$的元素组成的任意序列的任意极限仍然属于$A$。这一表述的价值在于，它可以用在收敛空间的定义中，而收敛空间比拓扑空间更普通。注意，这一表述仍然依赖背景空间$X$，因为序列是否在$X$中收敛依赖于$X$中的点。

集合是否是闭合的通常取决于它所在的空间。然而在某种意义上，紧致的豪斯多夫空间是“绝对闭合的”。精确地说，将紧致的豪斯多夫空间$K$放在任意豪斯多夫空间$X$中，$K$总是$X$的一个闭合子集；这和“背景空间”没有关系。实际上，这个性质刻画了紧致的豪斯多夫空间。

参见

• 开集
• 闭开集
• 闭包