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閉集

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滿足的點著藍色。滿足的點著紅色。紅色的點形成了開集。紅色和藍色的點的併集是閉集。

拓撲空間中,閉集是指其補集開集的集合。在一個拓撲空間內,閉集可以定義為一個包含所有其極限點的集合。在完備度量空間中,一個閉集的極限運算是閉合的。不要混淆於閉流形

閉集等價的定義

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在一個任意的拓撲空間內,一個集合是閉集若且唯若它與它的閉包相同。等價地,一個集合是閉集若且唯若所有的極限點都是這個集合中的點;也就是,

性質

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閉集包含其自身的邊界。換句話說,這個概念基於「外部」的概念,如果你在一個閉集的外部,你稍微「抖動」一下仍在這個集合的外部。注意,這個概念在邊界為空的時候還是真的,比如在有理數的度量空間中,對於平方小於2的數的集合。

任意多個閉集的交集是閉集;有限多個閉集的併集是閉集。特別的,空集和全空間是閉集。

交集的性質也被用來定義空間上的集合閉包,即的閉合子集中最小的父集。特別的,的閉包可以通過所有的其閉合父集的交集來構造。

例子

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  • 區間實數上是閉集。(方括號、圓括號的集合符號,參見區間文中的解釋。)
  • 單位區間在實數的度量空間中是閉集。而集合有理數上是閉集,但在實數上並不是閉集。
  • 有些集合既不是開集也不是閉集,如實數上的半開區間
  • 有些集合既是開集也是閉集叫做閉開集,最簡單的例子就是空集合以及拓樸空間本身。
  • 半區間在實數上是閉集。
  • 康托爾集是一個獨特的閉集,它包含所有邊界點,並且沒有一處是稠密的。
  • 僅包含一個點的集合(顯然它是有限集)在豪斯多夫空間內是閉集。
  • 如果是拓撲空間,而是一個從的連續函數當且僅當中任意的閉集原像中也是閉集。

細說

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上述閉集的定義是根據開集而來得,這一概念在拓撲空間上是有意義的,同時也適用於含有拓撲結構的其他空間,如度量空間可微流形一致空間規格空間

另一種對閉集的定義是通過序列。拓撲空間上的子集閉合的,若且唯若的元素組成的任意序列的任意極限仍然屬於。這一表述的價值在於,它可以用在收斂空間的定義中,而收斂空間比拓撲空間更普通。注意,這一表述仍然依賴背景空間,因為序列是否在中收斂依賴於中的點。

集合是否是閉合的通常取決於它所在的空間。然而在某種意義上,緊緻豪斯多夫空間是「絕對閉合的」。精確地說,將緊緻的豪斯多夫空間放在任意豪斯多夫空間中,總是的一個閉合子集;這和「背景空間」沒有關係。實際上,這個性質刻畫了緊緻的豪斯多夫空間。

參見

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