反馀切

反馀切
反馀切函数有多种定义方式  绿色代表直接对馀切函数取反函数  蓝色表示取最小正同界角  红色表示在复变分析反馀切实数部
性质
奇偶性	非奇非偶
定义域	实数集
到达域	$[0,\pi ]$ $[0,180^{\circ }]$ $(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$ $(-90^{\circ },90^{\circ }]$
周期	N/A
特定值
当x=0	${\frac {\pi }{2}}$ （90°）
当x=+∞	0
当x=-∞	$\pi$ （180°） 0
其他性质
渐近线	${y=0,y=\pi }$ （${y=0,y=180^{\circ }}$） $y=0$
根	无穷大
拐点	$(0,{\frac {\pi }{2}})$ $(0,90^{\circ })$
不动点	0.86033358901938... ±0.86033358901938...

反馀切（英语：arccotangent，记为：$\operatorname {arccot}$、arcctg、ACOT或$\cot ^{-1}$）又称为逆馀切，是一种反三角函数，对应的三角函数为馀切函数，是利用已知直角三角形的邻边和对边这两条直角边长度的比值求出其夹角大小的函数，但其输入值和反正切的输入值互为倒数，是高等数学中的一种基本特殊函数。

反馀切可以视为馀切的反函数，但馀切函数是周期函数且在实数上不具有一一对应的关系，所以不存在反函数，但也可以视为多值函数，因此我们必须限制馀切函数的定义域使其成为单射和满射也是可逆的。

一般最常见的方式是限制馀切函数的定义域在0到π（180°）之间，如下图所示（以红色曲线表示），此时反馀切函数不是奇函数也不是偶函数，而是一个单调递减的有界函数，最大值为$\pi$（180°）、最小值为0且函数连续，但有两条渐近线。

另外一种定义方式是限制馀切函数的定义域在$\pm {\frac {\pi }{2}}$（±90°）之间，如下图所示（以红色曲线表示），这种限制方式与反正切相同，此时反馀切函数是奇函数，值域与其他相关性质皆与反正切类似，但函数并不连续。

由于馀切是周期函数，而上述二种定义方式皆是取馀切的一个周期，因此其定义域皆为实数集。但当将反馀切函数扩展至复数时，会采用后者的定义方式。

但由于复变分析的定义方式会造成函数不连续，在$x=0$时有断点，因此应用在测量学上时会采用取最小同界角的方式避免断点。

反馀切函数经常记为$\cot ^{-1}$，在外文文献中常记为$\operatorname {arccot}$，在一些旧的教科书中也有人记为arcctg，但那是旧的用法。根据ISO 31-11，应将反馀切函数记为$\operatorname {arccot}$，因为$\cot ^{-1}$可能会与${\frac {1}{\cot }}$混淆，${\frac {1}{\cot }}$是正切函数。

定义

反馀切表示馀切的反函数，因此是一个多值函数。为了要符合函数定义，因此要对原函数加以限制，从而存在多种定义方式。最常见的定义方式有两种：

1. 将馀切函数限制在$[0,\pi ]$（[0, 180°]）的反函数，应用于测量学
2. 将馀切函数限制在$(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$（$(-90^{\circ },90^{\circ }]$）的反函数，应用于复变分析

在复变分析中则是采用第二种定义延伸至复数，并存在等式：

$\operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\left[\ln \left({\frac {x-i}{x}}\right)-\ln \left({\frac {x+i}{x}}\right)\right]$

这个动作使反馀切被推广到复数。

拓展到复数的反馀切函数

此外，反馀切函数也可以使用其他反三角函数进行定义：

${\begin{aligned}\operatorname {arccot}(x)=\cot ^{-1}(x)&={\begin{cases}\sec ^{-1}\left({\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}\right)-\pi ,&{\mbox{for }}x<0\\\sec ^{-1}\left({\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}\right),&{\mbox{for }}x>0\end{cases}}={\begin{cases}-{\frac {\pi }{2}}-\tan ^{-1}x,&{\mbox{for }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}-\tan ^{-1}x,&{\mbox{for }}x>0\lor x=0\end{cases}}\\&={\begin{cases}-\sin ^{-1}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),&{\mbox{for }}x<0\\\sin ^{-1}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),&{\mbox{for }}x>0\end{cases}}={\begin{cases}-\csc ^{-1}\left({\sqrt {x^{2}+1}}\right),&{\mbox{for }}x<0\\\csc ^{-1}\left({\sqrt {x^{2}+1}}\right),&{\mbox{for }}x>0\end{cases}}\\&={\begin{cases}-\cos ^{-1}\left({\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}\right)-\pi ,&{\mbox{for }}x<0\\\cos ^{-1}\left({\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}\right),&{\mbox{for }}x>0\end{cases}}={\begin{cases}-{\frac {\pi }{2}}-\sin ^{-1}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),&{\mbox{for }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}-\sin ^{-1}\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),&{\mbox{for }}x>0\end{cases}}\\\end{aligned}}$

直角坐标系中

在直角坐标系中，反馀切函数可以视为已知直线垂线斜率的倾角，但是有可能差一个负号。

级数定义

反馀切函数可以使用无穷级数定义：

${\begin{aligned}\operatorname {arccot} z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}$

对$x>0$时给出反馀切函数的泰勒展开式为：

$\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{2}}-x+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}-\cdots$

以上等式也可以直接用来表示取最小同界角的反馀切函数。

也可以用当$z=\infty$的洛朗级数来定义，对应$\left|z\right|>1$的情形：

$\operatorname {arccot} z=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{-(2k+1)}}{2k+1}}={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{3x^{3}}}+{\frac {1}{5x^{5}}}-{\frac {1}{7x^{7}}}+{\frac {1}{9x^{9}}}-\cdots$

此外也有欧拉导出的无穷级数：

$\operatorname {arccot}(z)=\cot ^{-1}(z)=z\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-2)!!}{(2n-1)!!\left(z^{2}+1\right)^{n}}}$

性质

反馀切函数满足等式：

$\operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x=180^{\circ }-\operatorname {arccot} x\!$

反馀切函数是一个递减函数。

在复变分析中，反馀切函数在当$x$不等于零时是一个奇函数，因此满足下面等式：

$\operatorname {arccot}(-x)=-\operatorname {arccot} x\qquad (x\neq 0)$

反馀切虽有多种定义方式，但其在$x=0$时值是一样的，为${\frac {\pi }{2}}$（90°）。在复变分析中$x=0$时不连续左极和右极互为相反数，而反馀切若是取最小同界角则在$x=0$时连续。

反馀切函数的微分导数为：

${\rm {arccot}}'x=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$

${\rm {arccot}}''x={\frac {2x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}\,}}$

${\rm {arccot}}'''x=-{\frac {8x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{3}\,}}+{\frac {2}{\left(1+x^{2}\right)^{2}\,}}$

${\rm {arccot}}''''x={\frac {\;48x^{3}\;}{\;\left(1+x^{2}\right)^{4}\,}}-{\frac {\;24x\;}{\;\left(1+x^{2}\right)^{3}\,}}$

$\cdots$

除了反正切，反馀切函数同样可以表示梅钦类公式：

${\frac {\pi }{4}}=4\operatorname {arccot} {5}-\operatorname {arccot} {239}$

恒等式

下面恒等式均适用于函数2（取最小同界角的反余切函数）

$\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x$

$\operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!$

$\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x,\$ 如果 $\ x>0$

$\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,\$ 如果 $\ x<0$

和差

$\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}},x>-y$

$\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}}+\pi ,x<-y$

$\arctan x+\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}$

积分

主条目：反三角函数积分表

$\int \operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}\ dx=x\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}+{\frac {c}{2}}\ln(c^{2}+x^{2})$

$\int x\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}\ dx={\frac {c^{2}+x^{2}}{2}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}+{\frac {cx}{2}}$

$\int x^{2}\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}\ dx={\frac {x^{3}}{3}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}+{\frac {cx^{2}}{6}}-{\frac {c^{3}}{6}}\ln(c^{2}+x^{2})$

$\int x^{n}\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}\ dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{c}}+{\frac {c}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}}{c^{2}+x^{2}}}\ dx,\quad n\neq 1$

参见

• 反正切
• 正切
• 馀切

注释

不同的反馀切定义

参考文献

1. Bennett, A. A. "The Four Term Diophantine Arccotangent Relation." Ann. Math. 27, 21-24, 1926.
2. Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 142-143, 1987.
3. Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. Handbook of Mathematics, 3rd ed （页面存档备份，存于互联网档案馆）. New York: Springer-Verlag, p. 70, 1997.
4. Castellanos, D. "The Ubiquitous Pi. Part I." Math. Mag. 61, 67-98, 1988a.
5. Valentine, Willard L. "A study of learning curves: II. The relationship between the hyperbola and the arc cotangent function." The Journal of General Psychology 4.1-4 (1930): 359-362.
6. Valentine, WILLARD L. "A study of learning curves. I. The application of Meyer's arc cotangent function and Thurstone's hyperbola to the maze performance of white rats." Journal of Comparative Psychology 10.4 (1930): 421.
7. Castellanos, D. "The Ubiquitous Pi. Part II." Math. Mag. 61, 148-163, 1988b.
8. Lehmer, D. H. "A Cotangent Analogue of Continued Fractions." Duke Math. J. 4, 323-340, 1938a.
9. Valentine, Willard L. "A study of learning curves: III. The relationship between a growth curve and the arc cotangent function." The Journal of General Psychology 5.2 (1931): 251-255.
10. Lehmer, D. H. "On Arccotangent Relations for pi." Amer. Math. Monthly 45, 657-664, 1938b.
11. Spanier, J. and Oldham, K. B. "Inverse Trigonometric Functions." Ch. 35 in An Atlas of Functions（页面存档备份，存于互联网档案馆）. Washington, DC: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.
12. Bennett, A. A. "The four term Diophantine arccotangent relation." Annals of Mathematics (1925): 21-24.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Inverse Cotangent. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Arccotangent. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Machin-Like Formulas. MathWorld.