循環小數 =0.142857142857…
循環小數,也稱為無限循環小數,是從小數部分的某一位起,一個數字或幾個數字,依次不斷地重複出現的小數。
循環小數都為有理數的小數表示形式,例:
- 一個分母為n的循環小數的循環節位數最多不超過n-1位。若該數為素數,循環節位數一定是N-1的因數(參見:費馬偽素數)。為了證明這點,可用反證法。假設
的循環節為m,令m>n。將1/n乘以10,循環往復操作,會得到不同的餘數。根據餘數定義,餘數的個數等於分母本身。又因為當餘數為0的時候是整數而非循環小數,所以只有n-1種循環節。若長度為m位,則必有(m-n+1)種循環節無法輪替,所以一個分母為n的循環小數的循環節位數最多不超過n-1位。
- 根據分數
的情況分開討論
- 1.除數a為
的倍數時,
有max(m,n)個不循環位數,其中
為任意自然數,
為非
之其他數。
- 2.如果
,a不是2或5的倍數,並且a與b互質,那麼存在一個正整數e,e為
的循環節位數,而e=
。[1]
表示
可以整除a,或稱
與1同餘)
- 事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子:
來看,
也成立,例如
與
,兩者循環小數一致,因為
,只差別在商,餘數皆為1(同餘)故成立。
- 3.承接以上兩點,當除數a可以質因數標準分解式表示成
⋯
時,會有max(m,n)個不循環位數,和
個循環節位數。
- 其中,
,
,⋯,
分別各有e1,e2,...,en個循環節位數,存在一個最小公倍數
e1,e2,...,en
。
- 例:
的循環節個數?
- 答:前三位不循環(2 和 5 的最高次方為 3),循環節個數是 48(因為
的循環節位數為1,7的循環節位數為6,17的循環節位數為16,[1,6,16]=48)[2]
0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1)
(可能未約至最簡)
(⬇另一方法)
- 先看有幾位「非循環節位數(
)」和「循環節位數(
)」,算出後,將
擺於「分母」。
- 「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字,將其減去「非循環節部分」,即
,詳細公式如下。
- 公式:
![{\displaystyle 0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{\color {blue}n\,\!}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{\color {red}m\,\!}}}={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb5aaaf0393f76000c82e5983cb61e678bc8588)
- 原理:
- 令
。
- 則
──①式。
──②式。
- ②-①⇒
。
。
- 範例:
。
- 令
![{\displaystyle x=0.1{\overline {23}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f976317219513ea7ad50b4b69181107bf9d24b32)
- 則
、![{\displaystyle 1000x=123.{\overline {23}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef657cb4ebcc232057867c6fed2c7c03d53ca80)
- 兩式相減得
,![{\displaystyle 990x=122\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f6f6e174c313bc0119e381fcdc0f7f8ede2731c)
- ∴
。
利用短除法可以將分數(有理數,
)轉化為循環小數。
例如
可以用短除法計算如下:
7|3.00000000000000000
0.42857142857142857...
在不同的國家地區對循環小數有不同的表示習慣。
使用循環小數表示有理數的缺點在於表示方式的不唯一性,例如
由於循環小數與進位制系統密切相關,使得一些簡單的有理數在循環小數表示法中的表示形式相當複雜。如:
但在某些進位制當中反而因為循環節較短,使得看起來相當簡單。如
又或
- ^ 康明昌. 循環小數 (PDF). 數學傳播. 2001年9月, 25 (3) [2014-12-28]. (原始內容 (PDF)存檔於2021-11-04).
- ^ 質數循環節的位數 (PDF). [2008-08-18]. (原始內容 (PDF)存檔於2017-01-12).