循環小數

循環小數

	1
	7

=0.142857142857…

循環小數，也稱為無限循環小數，是從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。

定義

循環小數都為有理數的小數表示形式，例：

${5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots =1.25{\overline {0}}=1.24999999\cdots =1.24{\overline {9}}$

${1 \over 3}=0.3333333\cdots =0.{\overline {3}}$

${1 \over 7}=0.{\color {red}142857}{\color {blue}142857}\cdots =0.{\overline {142857}}$

性質

• 一個分母為n的循環小數的循環節位數最多不超過n-1位。若該數為質數，循環節位數一定是N-1的因數（參見：費馬偽質數）。為了證明這點，可用反證法。假設$n$的循環節為m，令m>n。將1/n乘以10，循環往復操作，會得到不同的餘數。根據餘數定義，餘數的個數等於分母本身。又因為當餘數為0的時候是整數而非循環小數，所以只有n-1種循環節。若長度為m位，則必有(m-n+1)種循環節無法輪替，所以一個分母為n的循環小數的循環節位數最多不超過n-1位。
• 根據分數${\frac {b}{a}}$的情況分開討論

1.除數a為$2^{m}\times 5^{n}\times K$的倍數時，$b\div a$有max(m,n)個不循環位數，其中$b$為任意自然數，$K$為非$2^{m},5^{n}$之其他數。

2.如果$1\leqslant b<a$，a不是2或5的倍數，並且a與b互質，那麼存在一個正整數e，e為$b\div a$的循環節位數，而e=$\operatorname {min} \left\{e\in \mathbb {N} :10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}\right\}$。

$10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}$表示$10^{e}-1$可以整除a，或稱$10^{e}$與1同餘）

事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子:${\frac {10^{d}\times b}{a}}=q+{\frac {b}{a}}$來看，$b>a$也成立，例如${\frac {2}{7}}$與${\frac {9}{7}}$，兩者循環小數一致，因為${\frac {8}{7}}=1+{\frac {1}{7}}$，只差別在商，餘數皆為1(同餘)故成立。

3.承接以上兩點，當除數a可以質因數標準分解式表示成$(2^{m}\times 5^{n})\times (P1^{S1}\times P2^{S2}\times$⋯$\times Pn^{Sn})$時，會有max(m,n)個不循環位數，和$E$個循環節位數。

其中，$P1^{S1}$, $P2^{S2}$,⋯,$Pn^{Sn}$分別各有e₁,e₂,...,e_n個循環節位數，存在一個最小公倍數$E=[$e₁,e₂,...,e_n$]$。

例：${\frac {11}{2^{2}\times 3^{2}\times 5^{3}\times 7\times 17}}$的循環節個數？

答：前三位不循環（2 和 5 的最高次方為 3），循環節個數是 48（因為$3^{2}$的循環節位數為1，7的循環節位數為6，17的循環節位數為16，[1,6,16]=48）

化為分數的方法

0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1) (可能未約至最簡)

(⬇另一方法)

1. 先看有幾位「非循環節位數（${\color {blue}n\,\!}$）」和「循環節位數（${\color {red}m\,\!}$）」，算出後，將${{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}$擺於「分母」。
2. 「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字，將其減去「非循環節部分」，即$a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}$，詳細公式如下。
3. 公式：$0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{\color {blue}n\,\!}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{\color {red}m\,\!}}}={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}$
4. 原理：
   1. 令$x=0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}$。
   2. 則$10^{n}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}$──①式。
   3. $10^{n+m}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}$──②式。
   4. ②－①⇒$\left(10^{n+m}-10^{n}\right)x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}$。
   5. ${\begin{aligned}x&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n+m}-10^{n}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n}\left(10^{m}-1\right)}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {\begin{matrix}\underbrace {1000\cdots 0} \\n\end{matrix}}\times {\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\n\end{matrix}}}}\\\end{aligned}}$。
5. 範例：$0.1{\overline {23}}={\frac {123-1}{990}}={\frac {61}{495}}$。
   1. 令$x=0.1{\overline {23}}$
   2. 則$10x=1.{\overline {23}}$、$1000x=123.{\overline {23}}$
   3. 兩式相減得$\left(1000-10\right)x=123-1$，$990x=122\,\!$
   4. ∴$x={\frac {61}{495}}$。

計算方法

利用短除法可以將分數(有理數，$\mathbb {Q}$)轉化為循環小數。

例如${\frac {3}{7}}$可以用短除法計算如下：

7|3.00000000000000000
  0.42857142857142857...

表示方法

在不同的國家地區對循環小數有不同的表示習慣。

• 使用「上橫線」表示，如：

${1 \over 70}=0.0{\overline {142857}}$

• 使用「上點」表示，如：

${1 \over 70}=0.0{\dot {1}}4285{\dot {7}}$

• 使用「大括號」表示，如：

${1 \over 70}=0.0\{142857\}$

缺點

不唯一性

使用循環小數表示有理數的缺點在於表示方式的不唯一性，例如$1.000000\cdots =1.{\overline {0}}=0.{\overline {9}}=0.999999\cdots$

與進位制系統密切相關

由於循環小數與進位制系統密切相關，使得一些簡單的有理數在循環小數表示法中的表示形式相當複雜。如：${1 \over 17}=0.{\color {red}0588235294117647}{\color {blue}0588235294117647}\cdots =0.{\overline {0588235294117647}}$

但在某些進位制當中反而因為循環節較短，使得看起來相當簡單。如${1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color {red}0F}{\color {blue}0F}\cdots _{(16)}=0.{\overline {0F}}_{(16)}$

又或${1 \over 17}={1 \over 10}_{(17)}=0.1_{(17)}$

參見

• 0.999…
• Midy定理