凱萊-迪克森結構

在數系理論中，凱萊-迪克森構造以定義在實數集的代數結構為基礎構造出新的代數系統序列。序列中每一個代數系統的維度都是其前一個的2倍。所有通過該過程產生的代數系統，即所謂的凱萊-迪克森代數系。它擴展了複數的概念，屬於超複數的範疇。

凱萊-迪克森構造的代數系統中，都有範數和共軛的概念。從廣義的概念上講，集合中的一個元素和它的共軛的乘積等於它的範數的平方。

一個有趣的現象是，在凱萊-迪克森構造的代數系統序列中的每一個代數系統比起其前一個系統，除了有一個更高的維度數之外，都將失去前一個系統所擁有的一個特定性質。

寫為有序對的複數

複數可以被寫成實數a和b的有序對(a, b)。同時加法運算為對應分量相加，乘法則定義為

$(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).\,$

一個第二分量為零的複數伴隨著一個實數：複數(a, 0)就是實數 a。

另一個重要的複數運算是共軛。(a, b)的共軛(a, b)^*如下給出

$(a,b)^{*}=(a,-b).\,$

共軛具有性質

$(a,b)^{*}(a,b)=(aa+bb,ab-ba)=(a^{2}+b^{2},0),\,$

這是一個非負實數。這樣，共軛定義了一個「範數」，使複數成為了實數域上的賦范線性空間：複數 z的範數為

$|z|=(z^{*}z)^{1/2}.\,$

此外，對於任何非零複數 z，共軛給出一個乘法逆元

$z^{-1}={z^{*}/|z|^{2}}.\,$

既然複數由兩個獨立的實數組成，則全體複數構成實數域上的線性空間。

此外，作為較高維的數，複數可以說比實數缺少了一個代數性質：一個實數的共軛是其自身。

四元數

主條目：四元數

構造的下一步是推廣乘法和共軛。

複數$a$和$b$的有序對$(a,b)$的乘法定義為

$(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).\,$

公式中的細微變化是合理的；構造的結果是產生在忽略基的記號下是同一的結構。

因子的次序似乎很奇怪，但對於下一步意義重大。 定義$(a,b)$的共軛$(a,b)^{*}\,$

$(a,b)^{*}=(a^{*},-b).\,$

這些符號是它們在複數情況下的直接推廣：如果$a$和$b$是從複數集的實數子集中選取，則共軛在公式中的表現沒有影響，所以這些運算和在複數下一樣。

一個元素和它的共軛之積為非負實數：

$(a,b)^{*}(a,b)=(a^{*},-b)(a,b)=(a^{*}a+b^{*}b,ba^{*}-ba^{*})=(|a|^{2}+|b|^{2},0).\,$

同之前一樣，共軛運算產生了一個範數和任一有序對的逆。所以在前述情況下，這些有序對組成了一個有些像實數的代數。它們被稱為四元數，由威廉·哈密頓於1843年命名。

由於四元數由獨立的兩個複數組成，它們構成實數域上的4維線性空間。

四元數的乘法並不完全和實數相同。它是非交換的，也就是說如果$p$和$q$是四元數，並不總能得到$pq=qp$。

八元數

主條目：八元數

從這裡開始，所有步驟看起來是一樣的。

這次，四元數$p$和$q$的有序對$(p,q)$的乘法和共軛定義如同四元數一樣：

$(p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,sp+qr^{*}).\,$

然而，注意到四元數是非交換的，因子在乘法公式中的次序變得很重要——如果最後一個因子是$r^{*}q$而不是$qr^{*}$，從一個元素與其共軛的積的公式得不到一個實數。

由與之前完全一樣的原因，共軛運算產生了一個範數和任一非零元的逆。

這個由約翰·格雷夫斯在1843年描述的代數被稱為八元數或者「凱萊數」。

由於八元數由獨立的兩個四元數組成，它們構成實數域上的8維線性空間。

八元數的乘法比四元數還要奇怪。除了非交換，它還是非結合的：如果$p$, $q$和$r$都是八元數，則並不總能得到

$(pq)r=p(qr).\$

進一步的代數

緊接著八元數的代數是十六元數。它保留了一個叫冪結合性的代數性質：如果$s$是一個十六元數，則$s^{n}s^{m}=s^{n+m}$。但失去了作為交錯代數的性質，從而不再是合成代數。

凱萊-迪克森構造能繼續進行下去，產生如三十二元數、六十四元數等代數結構，每一步產生一個冪結合代數，其維數為前一步產生的代數的兩倍。

一般凱萊-迪克森構造

Albert (1942, p. 171)給出一個略為一般化的結論。A是一個帶對合的代數，定義B=A⊕A上的積和對合為

$(p,q)(r,s)=(pr-\gamma s^{*}q,sp+qr^{*})\,$

$(p,q)^{*}=(p^{*},-q)\$

這裡γ為一個和*以及左乘右乘可交換的加性映射。（在實數上γ的所有選擇等價於−1,0或1） 在這種構造中，A是一個帶對合的代數，意味著：

• A對於+是阿貝爾群。
• A有一個適合對+的左右分配律的乘法。
• A有一個對合*，這裡x** = x, (x+y)* = x*+y*, (xy)* =y*x*。

由凱萊-迪克森構造生成的代數B=A⊕A仍然是帶對合的代數。

B繼承自A而未改變的性質有

• 若A有單位元1_A，則B有單位元(1_A, 0)。
• 若A有性質x+x^*、 xx^*與所有元素結合且交換，則B也有此性質。這一性質意味著任何元素引起一個交換、結合的*-代數，特別的，該代數滿足冪結合性。

A的其他性質僅誘導出B的較弱性質：

• 若A是交換的並具有平凡對合，則B是交換的。
• 若A是交換的和結合的，則B是結合的。
• 若A是結合的，x+x^*、 xx^*與所有元素結合且交換，則B是交錯的。

參考資料

• Albert, A. A., Quadratic forms permitting composition, Annals of Mathematics. Second Series, 1942, 43 (1): 161–177 [2011-01-04], ISSN 0003-486X, doi:10.2307/1968887, MR0006140, （原始內容存檔於2016-03-24）  (see p. 171)
• Baez, John, The Octonions, Bulletin of the American Mathematical Society, 2002, 39: 145–205 [2011-01-04], ISSN 0002-9904, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X, （原始內容存檔於2009-04-21） . (See "Section 2.2, The Cayley-Dickson Construction（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）")
• Dickson, L. E., On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem, Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics), 1919, 20 (3): 155–171 [2011-01-04], ISSN 0003-486X, doi:10.2307/1967865, （原始內容存檔於2016-10-06） 
• Kantor, I. L.; Solodownikow, A. S., Hyperkomplexe Zahlen, Leipzig: B.G. Teubner, 1978 
• Hamilton, William Rowan, On Quaternions, Proceedings of the Royal Irish Academy, 1847, 3: 1–16 [2011-01-04], ISSN 1393-7197, （原始內容存檔於2010-12-18） 

外部連結

• Hyperjeff, Sketching the History of Hypercomplex Numbers (1996-2006).