四分位數

四分位數（英語：Quartile）是統計學中分位數的一種，即把所有數值由小到大排列並分成四等份，處於三個分割點位置的數值就是四分位數。

概念

• 第一四分位數（$Q_{1}$），又稱較小四分位數，等於該樣本中所有數值由小到大排列後第25%的數字。
• 第二四分位數（$Q_{2}$），又稱中位數，等於該樣本中所有數值由小到大排列後第50%的數字。
• 第三四分位數（$Q_{3}$），又稱較大四分位數，等於該樣本中所有數值由小到大排列後第75%的數字。

第三四分位數與第一四分位數的差距又稱四分位距（InterQuartile Range, IQR）。

運算過程

關於四分位數值的選擇尚存爭議。

主要選擇四分位的百分比值$p$，及樣本總量$n$有以下數學公式可以表示：

$L_{p}=n\cdot {\frac {p}{100}}$

• 情況1：如果$L$是一個整數，則取第$L$和第$L+1$的平均值
• 情況2：如果$L$不是一個整數，則取下一個最近的整數。（比如$L=1.2$， 則取$2$）

舉例

圖示中箱形圖（有四分位數及四分位距）和機率密度函數 為描述一個常規總量$N(0,1\sigma ^{2})$的分布情況

一個算法如下（可以兼用TI-83計算器）：

1. 利用中位數使數據分成兩列（不要把中位數放入已分好的數列）。
2. 第一四分位數為第一組數列的中位數；第三四分位數為第二組數列的中位數。

以下例子可以用來參考。

例1

數據總量：$6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36$

由小到大排列的結果：$6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49$

${\begin{cases}Q_{1}=15\\Q_{2}=40\\Q_{3}=43\end{cases}}$

例2

數據總量：$7,15,36,39,40,41$

${\begin{cases}Q_{1}=15\\Q_{2}=37.5\\Q_{3}=40\end{cases}}$

例3

數據總量：$1,2,3,4$

${\begin{cases}Q_{1}=1.5\\Q_{2}=2.5\\Q_{3}=3.5\end{cases}}$

應用

不論$Q_{1},Q_{2},Q_{3}$ 的變異量數數值為何，均視為一個分界點，以此將總數分成四個相等部份，可以通過比較$Q_{1},Q_{3}$，分析其數據變量的趨勢。