对数

各种底数的对数: 红色函数底数是e, 绿色函数底数是10，而紫色函数底数是1.7。在数轴上每个刻度是一个单位。所有底数的对数函数都通过点（1,0），因为任何数的0次幂都是1，而底数β的函数通过点（β, 1），因为任何数的1次幂都是自身1。曲线接近y轴但永不触及它，因为x=0的奇异性。

在数学中，数 x（对于底数 β）的对数是β^y 的指数 y，使得 x=β^y。底数 β 的值一定不能是1或0(在扩展到复数的复对数情况下不能是1的方根)，典型的是e、 10或2。数x(对于底数β)的对数通常写为

$y=\log_\beta x\!$ 。

当x和β进一步限制为正实数的时候，对数是1个唯一的实数。例如，因为

$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$ ，

我们可以得出

$4=\log_381\!$ ，

用日常语言说，对81以3为基的对数是4。

[编辑] 对数函数

函数 $\log_\alpha x$ 依赖于α和x二者，但是术语对数函数在标准用法中用来称呼形如 $\log_\alpha x$ 的函数，在其中底数α是固定的而只有一个参数x。所以对每个基 $\alpha=|R|\ne0,1$ 的值（不得是负数、0或1）只有唯一的对数函数。从这个角度看，底数α的对数函数是指数函数 $y=\alpha^x$ 的反函数。词语“对数”经常用来称呼对数函数自身和这个函数的1个特定值。

对数函数图像和指数函数图像关于直线y=x对称，互为逆函数。

对数函数的性质有：

都过(1,0)点；
定义域为|R|≠0，值域为R；
α>1，在(0,+∞)上是增函数；1>α>0时，在(0,+∞)上是减函数。

[编辑] 常用公式

和差

$\begin{align} \log_\alpha\ M\!N&=\log_\alpha\ \beta^m\!\beta^n\\ &=\log_\alpha\ \beta^{m+n}\\ &=(m+n)\log_\alpha\!\beta\\ &=m\log_\alpha\!\beta+n\log_\alpha\!\beta\\ &=\log_\alpha\ \beta^m+\log_\alpha\ \beta^n\\ &=\log_\alpha\!M+\log_\alpha\!N\\ \log_\alpha\!\frac{M}{N}&=\log_\alpha\!M+\log_\alpha\!\frac{1}{N}\\ &=\log_\alpha\!M-\log_\alpha\!N \end{align}$

基变換

$\log_\alpha\!x=\frac{\log_\beta\!x}{\log_\beta\!\alpha}$

指係

$\begin{align} \log_{\alpha^n}\ {x^m}&=\frac{\ln\ x^m}{\ln\ \alpha^n}\\ &=\frac{m\ln\!x}{n\ln\!\alpha}\\ &=\frac{m}{n}\log_\alpha\!x \end{align}$

还原

$\begin{align} \alpha^{\log_\alpha\!x}&=x\\ &=\log_\alpha\!\alpha^x \end{align}$

互換

$M^{\log_\alpha\!N}=N^{\log_\alpha\!M}$

倒数

$\log_\phi\!\theta=\frac{\ln\!\theta}{\ln\!\phi}=\dfrac{1}{\dfrac{\ln\!\phi}{\ln\!\theta}}=\frac{1}{\log_\theta\!\phi}$

链式

$\begin{align} \log_\beta\!\alpha\log_\gamma\!\beta&=\frac{\ln\!\alpha}{\ln\!\beta}\ \frac{\ln\!\beta}{\ln\!\gamma}\\ &=\frac{\ln\!\alpha}{\ln\!\gamma}\\ &=\log_\gamma\!\alpha \end{align}$

[编辑] 有理和无理指数

如果n是有理数, ${\beta}^n$ 表示等于β的n个因子的乘积:

${\beta}^n=\underbrace{\beta\times\beta\times\cdots\times\beta}_n$ 。

但是，如果β是不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数n（参见幂）。类似的，对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数β，有一个对数函数和一个指数函数，它们互为反函数。

对数可以简化乘法运算为加法，除法为减法，幂运算为乘法，根运算为除法。所以，在发明电子计算机之前，对数对进行冗长的数值运算是很有用的，它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。

[编辑] 底数

最常用做底数的是e $\approx2.71828182845904523536\ldots$ 、10和2。当写出不带底数的“log”的时候，意图要从上下文中确定:

自然对数{Natural log): $\log_e x,\,\ln x$ ,有时写为 ${\rm{le}}x\!$ );在微积分、数论中。
常用对数(Common log, lc)[10进制对数(Decimal log, ld)、科学对数(Scientific log, ls)]: $\log_{10}x\!$ 或简写(极易产生歧义)为 $\log x\!$ ,有时写为 $\lg x,{\rm{lc}}x,\,{\rm{ld}}x,\,{\rm{ls}}x$ ;在工程中和在使用对数表简化计算的时候。
二进制对数(Binary \log): $\log_2x\!$ ;有时写为 ${\rm{lb}}x$ ;在信息论和音程中。
不确定对数在底数无关紧要的时候，比如计算复杂性理论用大O符号描述算法的渐进行为的时候。

为了避免混淆，在可能有歧义的时候最好指定底数。

[编辑] 底数变换

尽管有很多有用的恒等式，对计算器最重要的是找到不是建造于计算器内的底数(通常是log_e和log₁₀)的其他底数的对数。要使用其他底数β找到底数α的对数:

$\log_\alpha x=\frac{\log_\beta x}{\log_\beta\alpha}$ 。

此外，这个结果蕴涵了所有对数函数（任意底数）都是相互类似的。所以用计算器计算对134217728底数2的对数:

$\log_2134217728=\frac{\ln134217728}{\ln2}=\frac{27\ln2}{\ln2}=27$ 。

[编辑] 对数的用途

对数对解幂是未知的方程是有用的。它们有简单的导数，所以它们经常用在解积分中。对数是三个相关的函数中的一个。在等式bⁿ = x中，b可以从x的n次方根，n从x　的b底数的对数，x从b的n次的幂来确定。参见对数恒等式得到掌控对数函数的一些规则。

[编辑] 简便计算

对数把注意力从平常的数转移到了幂。只要使用相同的底数，就会使特定运算更容易:

数的运算	幂的运算	对数恒等式
$\,xy$	$\,m+n$	$\,\log_{\theta}xy=\log_{\theta}x+\log_{\theta}y$
$\frac{x}{y}$	$\,m-n$	$\log_{\theta}\frac{x}{y}=\log_{\theta}x-\log_{\theta}y$
$\,x^y$	$\,mn$	$\,\log_{\theta}x^y=y\log_{\theta}x$
$\sqrt[y]{x}$	$\frac{m}{n}$	$\log_{\theta}\sqrt[y]{x}=\frac{\log_{\theta}x}{y}$

这些关系使在两个数上的这种运算更快，在加法计算器出现之前正确的使用对数是基本技能。

[编辑] 群论

从纯数学的观点来看，恒等式

$\log_\alpha\Mu\Nu=\log_\alpha\Mu+\log_\alpha\Nu\!$ ，

在两种意义上是基本的。首先，其他3个算术性质可以从它得出。进一步的，它表达了在正实数的乘法群和所有实数的加法群之间的同构。

对数函数是从正实数的乘法群到实数的加法群的唯一连续同构。

[编辑] 复对数

复对数计算公式

${}_{{\color{blue}{\rm{Log}}_{c+d{\rm{i}}} (a+b{\rm{i}}) =\frac{\ln\left(a^2+b^2)\cdot\ln(c^2+d^2\right)+4\left(\arctan\frac{a}{b}+2k\pi\right) \left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right) +\left[2\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)\ln\left(c^2+d^2\right)-2\left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right]{\rm{i}}}{\ln^2\left(c^2+d^2\right)+4\left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right)^2}}}$ ，

${}_{{\color{red}\ (a+b{\rm{i}})^{\left(c+d{\rm{i}}\right)}=e^{\frac{c}{2}\ln\left(a^2+b^2\right)-\left(d+2n\pi\right)\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)}\left\{\cos \left[c\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)+\frac{1}{2}\left(d+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right] +{\rm{i}}\sin\left[c\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)+\frac{1}{2}\left(d+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right]\right\}}}$

$\begin{cases} \arctan0={\pi}, & \mbox{for }a 0\!\, \\ \end{cases}$

$\mathbb{Z}=\{k,n\}$

[编辑] 微积分

自然对数函数的导数是

$\frac{\rm{d}} {{\rm{d}}x} \ln x = \frac{1}{x}$ 。

通过应用换底规则，其他底数的导数是

$\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x} \log_b x = \frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x} \frac {\ln x}{\ln b} = \frac{1}{x \ln b} = \frac{\log_b e}{x}$ 。

自然对数 $\ln x\,$ 的不定积分是

$\int \ln x \,{\rm{d}}x = x \ln x - x + C,$

而其他底数对数的不定积分是

$\int \log_b x \,{\rm{d}}x = x \log_b x - \frac{x}{\ln b} + C = x \log_b \frac{x}{e} + C$ 。

[编辑] 计算自然对数的级数

有一些级数用来计算自然对数。^[1]最简单和低效的是:

$\ln z=\sum_{n=1}^\infty\frac{-{(-1)}^n}{n}(z-1)^n$ 当 $|z-1|<1\!$ 。

下做推导：

由

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ 。

在两边积分得到

$-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots$

$\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\cdots$ 。

设 $z=1-x\!$ 并因此 $x=-(z-1)\!$ ，得到

$\ln z=(z-1)-\frac{(z-1)^2}{2}+\frac{(z-1)^3}{3}-\frac{(z-1)^4}{4}+\cdots$

更有效率的级数是

$\ln z=2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2n+1}$

对带有正实部的z。

推导：代换-x为x，得到

$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$ 。

做减法，得到

$\ln\frac{1+x}{1-x}=\ln(1+x)-\ln(1-x)=2x+2\frac{x^3}{3}+2\frac{x^5}{5}+\cdots$ 。

设 $z=\frac{1+x}{1-x} \!$ 并因此 $x = \frac{z-1}{z+1} \!$ ，得到

$\ln z=2\left(\frac{z-1}{z+1}+\frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots\right)$ 。

例如，应用这个级数于

$z=\frac{11}{9},$

得到

$\frac{z-1}{z+1}=\frac{\frac{11}{9}-1}{\frac{11}{9}+1}=\frac{1}{10},$

并因此

$\ln1.\dot{2}=\frac{1}{5}\left(1+\frac{1}{3\cdot100}+\frac{1}{5\cdot10000}+\frac{1}{7\cdot1000000}+\cdots\right)$

$=0.2\cdot(1.0000000\dots+0.00\dot{3}+0.00002+0.000000\dot{1}4285\dot{7}+\cdots)$

$=0.2\cdot1.00335\cdots=0.200670\cdots$

在这里我们在第一行的总和中提出了因数1/10。

对于任何其他底数β，我们使用

$\log_\beta x=\frac{\ln x}{\ln\beta}$ 。

[编辑] 计算机

多数计算机语言把log(x)用做自然对数，而常用对数典型的指示为log10(x)。参数和返回值典型的是浮点数据类型。

因为参数是浮点数，可以有用的做如下考虑:

浮点数值x被表示为尾数m和指数n所形成的

$x = m2^n$ 。

因此

$\ln(x) = \ln(m) + n\ln(2)$ 。

所以，替代计算 $\ln(x)$ ，我们计算对某个m的 $\ln(m)$ 使得1 ≤ m ≤ 2。有在这个范围内的m意味着值 $u = \frac{m - 1}{m+1}$ 总是在范围 $0 \le u < \frac13$ 内。某些机器使用在范围 $0.5 \le m < 1$ 内的尾数，并且在这个情况下u的值将在范围 $-\frac13 < u \le 0$ 内。在任何一种情况下，这个级数都是更容易计算的。

[编辑] 一般化

普通的正实数的对数一般化为负数和复数参数，尽管它是多值函数，需要终止在分支点0上的分支切割，来制作一个普通函数或主分支。复数z的（底数e）的对数是复数ln(|z|) + i arg(z)，这裡的 |z| 是z的模，arg(z)是辐角，而i是虚单位；详情参见复对数。

离散对数是在有限群理论中的相关概念。它涉及到解方程bⁿ = x，这裡的b和x是这个群的元素，而n是指定在群运算上的幂。对于某些有限群，据信离散对数是非常难计算的，而离散指数非常容易。这种不对称性可用于公开密钥加密。

矩阵对数是矩阵指数的反函数。

对于不等于1的每个正数b，函数log_b (x)是从在乘法下的正实数的群到在加法下（所有）实数的群的同构。它们是唯一的连续的这种同构。对数函数可以扩展为在乘法下正实数的拓扑空间的哈尔测度。

[编辑] 历史

对数方法是苏格兰的Merchiston男爵约翰·纳皮尔 1614年在书《Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio^[2]》中首次公开提出的。(Joost Bürgi独立的发现了对数；但直到纳皮尔之后4年才发表)这个方法对科学进步有所贡献，特别是对天文学，使某些繁难的计算成为可能。在计算器和计算机发明之前，它持久的用于测量、航海、和其他实用数学分支中。

[编辑] 对数表

主条目：对数表

20世纪的常用对数表的一个实例。

在发明计算机和计算器之前，使用对数意味着使用对数表，它必须手工建立。

[编辑] 参见

[编辑] 引用

^ Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards (Applied Mathematics Series no.55), June 1964, page 68.
^ Much of the history of logarithms is derived from The Elements of Logarithms with an Explanation of the Three and Four Place Tables of Logarithmic and Trigonometric Functions, by James Mills Peirce, University Professor of Mathematics in Harvard University, 1873.

[编辑] 外部链接

[0] Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards (Applied Mathematics Series no.55), June 1964, page 68.

[1] Much of the history of logarithms is derived from The Elements of Logarithms with an Explanation of the Three and Four Place Tables of Logarithmic and Trigonometric Functions, by James Mills Peirce, University Professor of Mathematics in Harvard University, 1873.

[1]

[2]

对数

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