弱可測函數

在數學中，特別是泛函分析中，如果一個在巴拿赫空間中取值的函數與其所在空間的對偶空間中的任意元素的複合是一般（強）意義下的可測函數，則該函數是弱可測函數。 對於可分空間，弱可測性和強可測性的概念是一致的。

定義

(X,Σ)是一個可測空間，並且B是域K（通常是實數空間R或複數空間C）上的巴拿赫空間，如果函數f:X→B滿足如下條件，對於任意連續線性泛函g:B→K，函數

$g\circ f\colon X\to \mathbf {K} \colon x\mapsto g(f(x))$

是關於Σ和K上一般的波萊爾σ代數的可測函數，則f被稱為是弱可測的。

概率空間上的可測函數通常被稱為隨機變量（或隨機向量，如果它在例如巴拿赫空間B的向量空間中取值）。因此，作為上述定義的特殊情形，如果(Ω,Σ,P)是一個概率空間，如果函數Z:Ω→B滿足，對於任意連續線性泛函g:B→K，函數

$g\circ Z\colon \Omega \to \mathbf {K} \colon \omega \mapsto g(Z(\omega ))$

是在一般意義下的關於Σ和K上一般的波萊爾σ代數的K值隨機變量（即可測函數），則函數Z被稱為（B值）弱隨機變量（或弱隨機向量）。

性質

可測性和弱可測性之間的關係由如下給出，被稱為Pettis定理或Pettis可測性定理。

如果存在子集N⊆X有測度μ(N)=0使得f(X\N)⊆B是可分的，則函數f被稱為幾乎必然可分值的（或本性可分值的）。

定理（Pettis）：一個函數f:X→B定義在在測度空間(X,Σ,μ)上在巴拿赫空間B中取值，它是（強）可測的（關於Σ上的波萊爾σ代數）當且僅當它是弱可測的且幾乎必然可分值的。

在B可分的情形下，由於可分巴拿赫空間的任何子集本身是可分的，所以可以取上述N為空集，由此可知當B可分時弱可測性和強可測性的概念一致。

參見

• 博赫納可測函數
• 博赫納積分
• 佩蒂斯積分
• 向量值測度