矩阵乘法

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线性代数
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这篇文章给出多种矩阵相乘方法的综述。

一般矩阵乘积[编辑]

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数(column)和第二个矩阵的行数(row)相同时才有定义。一般单指矩阵乘积时,指的便是一般矩阵乘积。若A矩阵,B矩阵,则他们的乘积AB(有时记做A · B)会是一个矩阵。其乘积矩阵的元素如下面式子得出:

以上是用矩阵单元的代数系统来说明这类乘法的抽象性质。本节以下各种运算法都是这个公式的不同角度理解,运算结果相等:

由定义直接计算[编辑]

Matrix multiplication diagram.PNG

左边的图表示出要如何计算AB的(1,2)和(3,3)元素,当A是个4×2矩阵和B是个2×3矩阵时。分别来自两个矩阵的元素都依箭头方向而两两配对,把每一对中的两个元素相乘,再把这些乘积加总起来,最后得到的值即为箭头相交位置的值。

向量方法[编辑]

这种矩阵乘积亦可由稍微不同的观点来思考:把向量和各系数相乘后相加起来。设AB是两个给定如下的矩阵:

举个例子来说:

左面矩阵的列为为系数表,右边矩阵为向量表。例如,第一行是[1 0 2],因此将1乘上第一个向量,0乘上第二个向量,2则乘上第三个向量。

向量表方法[编辑]

一般矩阵乘积也可以想为是行向量列向量内积。若AB为给定如下的矩阵:

其中

A1是由所有a1,x元素所组成的向量,A2是由所有a2,x元素所组成的向量,以此类推。
B1是由所有bx,1元素所组成的向量,B2是由所有bx,2元素所组成的向量,以此类推。

性质[编辑]

矩阵乘法是不可交换的(即ABBA),除了一些较特别的情况。很清楚可以知道,不可能预期说在改变向量的部分后还能得到相同的结果,而且第一个矩阵的列数必须要和第二个矩阵的行数相同,也可以看出为什么矩阵相乘的顺序会影响其结果。

虽然矩阵乘法是不可交换的,但ABBA行列式总会是一样的(当AB是同样大小的方阵时)。其解释在行列式条目内。

AB可以被解释为线性算子,其矩阵乘积AB会对应为两个线性算子的复合函数,其中B先做用。

在MS Excel中做矩阵乘法[编辑]

  1. 先输入要相乘的两个矩阵,大小分别为(注意:矩阵1的column数必须等于矩阵2的row数,矩阵乘法才有定义);
  2. 用鼠标选取大小为的空白格矩阵;
  3. 选取“MMULT函数”;
  4. 在函数引数视窗的array 1选取第一个矩阵,array 2选取第二个矩阵;
  5. 不要按“确定”,而是按Ctrl+ Shift+ Enter这三个键的组合来关闭函数引数视窗。

以上步骤可参见MMULT函数引数视窗里的“函数说明”。

标量乘积[编辑]

矩阵A =(aij)和标量r的标量乘积rA的矩阵大小和A一样,rA的各元素定义如下:

若我们考虑于一个的矩阵时,上述的乘积有时会称做左乘积,而右乘积的则定义为

当环是可交换时,例如实数体或复数体,这两个乘积是相同的。但无论如何,若环是不可交换的话,如四元数,他们可能会是不同的。例如,

阿达马乘积[编辑]

给定两个相同维度的矩阵,我们有阿达马乘积,或称做分素乘积(entrywise product)。两个m×n矩阵AB阿达马乘积标记为,为一定义为 m×n矩阵。例如,

需注意的是,阿达马乘积是克罗内克乘积的子矩阵

克罗内克乘积[编辑]

给定任两个矩阵,我们可以得到两个矩阵的直积,或称为克罗内克乘积,其定义如下

是一矩阵和是一矩阵时,会是一矩阵,而且此一乘积也是不可交换的。

举个例子,

.

AB分别表示两个线性算子V1W1V2W2A⊗B便为其映射的张量乘积V1V2W1W2.

共同性质[编辑]

上述三种乘积都符合结合律

A(BC) = (AB)C

以及分配律

A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC

而且和标量乘积相容:

c(AB) = (cA)B
(Ac)B = A(cB)
(AB)c = A(Bc)

注意上述三个分开的表示式只有在标量体的乘法及加法是可交换(即标量体为一可交换环)时会相同。

另见[编辑]

外部链接[编辑]

参考[编辑]

  • Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, p. 354-356, 1969.
  • Coppersmith, D., Winograd S., Matrix multiplication via arithmetic progressions, J. Symbolic Comput. 9, p. 251-280, 1990.
  • Horn, Roger; Johnson, Charles: "Topics in Matrix Analysis", Cambridge, 1994.
  • Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), November 2005.