非凸大斜方截半二十面体

非凸大斜方截半二十面体
类别	均匀星形多面体
对偶多面体	大鸢形六十面体（英语：Great deltoidal hexecontahedron）
识别
名称	非凸大斜方截半二十面体; great rhombicosidodecahedron; uniform great rhombicosidodecahedron; nonconvex great rhombicosidodecahedron; quasirhombicosidodecahedron
参考索引	U67, C84, W105
鲍尔斯缩写; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	qrid
数学表示法
施莱夫利符号	t0,2{5⁄3,3};
威佐夫符号; （英语：Wythoff symbol）	3 5⁄3 \| 2
性质
面	62
边	120
顶点	60
欧拉特征数	F=62, E=120, V=60 （χ=2）
组成与布局
面的种类	20个正三角形; 30个正方形; 12个正五角星
顶点图	3.4.5/3.4
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
	; 3.4.5/3.4; （顶点图）
	; 大鸢形六十面体（英语：Great deltoidal hexecontahedron）; （对偶多面体）
	查; 论; 编;

在几何学中，非凸大斜方截半二十面体是一种非凸均匀多面体^[5]，由62个面、120条边和60个顶点组成^[6]，其索引为U₆₇，对偶多面体为大鸢形六十面体（英语：Great deltoidal hexecontahedron）^[2]，具有二十面体群对称性（英语：Icosahedral symmetry），^[6]^[7]可以视为大十二面截半二十面体的刻面（英语：Faceting）多面体。^[8]在施莱夫利符号中，非凸大斜方截半二十面体可以表示为t_0,2{5⁄3,3}或 $r^{\prime }{\begin{Bmatrix}3\\{\tfrac {5}{2}}\end{Bmatrix}}$ ^[1]^:162^[2]，在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示为，在威佐夫记号中可以表示为3 5⁄3 | 2^[3]^[4]^[2]。

非凸大斜方截半二十面体与小斜方截半二十面体拓朴同构^[8]，其骨架图在拓朴学上是等价的^[9]。

这个多面体与凸大斜方截半二十面体同名。

性质

非凸大斜方截半二十面体共有62个面、120条边和60个顶点。^[6]在其62个面中，有20个正三角形、30个正方形和12个正五角星^[5]^:134^[10]^[11]，在这些面中，共有12个非凸面和12个自相交面^[4]。若排除互相相交与自相交面，作为一个简单多面体则其外部面共有980个。^[12]

非凸大斜方截半二十面体的欧拉示性数为：

V - E + F = 60 - 120 + (20+12+30) = 2

因此这个多面体同胚于球体。^[10]

其60个顶点每个顶点都是2个正方形、一个五角星和一个正三角形的公共顶点，并依照五角星、正方形、三角形、正方形的顺序在顶点周围来列，并形成了一个交叉四边形，在顶点图中，这样的顶角可以用[5/3,4,3,4]或来表示^[8]

二面角

非凸大斜方截半二十面体有两种二面角，分别为正方形面与三角形面的二面角以及正方形与五角星的二面角。

正方形与三角形的二面角约为69度：^[13]

\arccos \left({\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 1.205932498681\approx 69.094842552^{\circ }

正方形与五角星的二面角约为58.28度^[8]或视为反向相接的301.71747度^[13]：

\arccos \left({\frac {\sqrt {10\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}{10}}\right)\approx 1.01722196789785\approx 58.282526^{\circ }

尺寸

若非凸大斜方截半二十面体的边长为单位长，则其外接球半径为：^[14]^:1250^[2]

R={\frac {\sqrt {11-4{\sqrt {5}}}}{2}}

分类

非凸大斜方截半二十面体的顶点图为交叉梯形且具备点可递的特性，同时，其存在自相交的面，因此非凸大斜方截半二十面体是一种自相交拟拟正多面体（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交拟拟正多面体一共有12种^[15]，除了小双三角十二面截半二十面体外，其馀由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）于1881年发现并描述。^[16]

自相交拟拟正多面体
（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）
小立方立方八面体	大立方截半立方体	非凸大斜方截半立方体	小十二面截半二十面体
大十二面截半二十面体	小双三角十二面截半二十面体	大双三角十二面截半二十面体	二十面化截半大十二面体
小二十面化截半二十面体	大二十面化截半二十面体	斜方截半大十二面体	非凸大斜方截半二十面体

参见

均匀星形多面体

参考文献

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非凸大斜方截半二十面体	大十二面截半二十面体	大斜方十二面体
截角大十二面体	六复合五角柱（英语：Compound_of_six_pentagonal_prisms）	十二复合五角柱（英语：Compound_of_twelve_pentagonal_prisms）

查论编均匀多面体
四面体群对称	正四面体截角四面体四面半六面体
八面体群对称	立方体正八面体截角立方体截角八面体截半立方体小斜方截半立方体大斜方截半立方体扭棱立方体八面半八面体立方半八面体小斜方立方体小立方立方八面体非凸大斜方截半立方体星形截角立方体大斜方立方体大立方截半立方体立方截角立方八面体星形截角截半立方体
二十面体群对称	正十二面体正二十面体小星形十二面体大十二面体大星形十二面体大二十面体截角十二面体截半二十面体截角二十面体小斜方截半二十面体大斜方截半二十面体扭棱十二面体大双三斜三十二面体小十二面半十二面体大十二面半十二面体小十二面半二十面体大十二面半二十面体小二十面半十二面体大二十面半十二面体小十二面二十面体大十二面二十面体斜方二十面体小斜方十二面体大斜方十二面体小十二面截半二十面体大十二面截半二十面体小双三角十二面截半二十面体大双三角十二面截半二十面体小二十面化截半二十面体大二十面化截半二十面体双三斜十二面体小双三斜三十二面体大截半二十面体截角大十二面体截半大十二面体小星形截角十二面体大星形截角十二面体截角大二十面体斜方截半大十二面体非凸大斜方截半二十面体二十面截角十二面十二面体二十面化截半大十二面体截角截半大十二面体大截角截半二十面体大二重斜方截半二十面体大二重扭棱二重斜方十二面体完全扭棱二十面体小反屈扭棱二十面截半二十面体大反屈扭棱截半二十面体扭棱小星形十二面体反扭棱小星形十二面体扭棱大星形十二面体反扭棱大星形十二面体大扭棱十二面截半二十面体扭棱二十面化截半大十二面体
其他	柱状均匀多面体星形均匀多面体

性质

二面角

尺寸

分类

相关多面体

参见

参考文献