0

	元
	李冶《測圓海鏡》第十四問用以上符號代表：。

0
	數表 — 整數 << 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> << 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 >> << 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 >> << 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 >> << −∞ .... −0 0 .... ∞ >> << -i 0 i 2i 3i >>
命名
小寫	〇
大寫	零
序數詞	第零;
識別
種類	整數
性質
質因數分解	不在可因數分解的整數的範圍內; （任意質數皆為其質因數）
因數	任意整數皆為其因數
絕對值	0
相反數	0或−0
表示方式
值	0
花碼	〇
算籌
羅馬數字	羅馬數字一般不使用零
高棉數字	០
摩爾斯電碼	-----
二進制	0(2)
八進制	0(8)
十二進制	0(12)
十六進制	0(16)
語言
阿拉伯文、中庫爾德語、波斯語、信德語、印度斯坦語（英語：Urdu numerals）	٠
印度數字	०
英語	zero, "oh" (/oʊ/), nought, naught, nil
高棉語	០
泰文	๐
孟加拉語（英語：Bengali numerals）	০
	閱; 論; 編;

0（零／〇）是代表「空量」（無）的一個數。0是-1與1之間的整數，屬於偶數，其既不是正數也不是負數。

0是大多數記數系統的位值記號，同樣作為占位符數字使用。這種用法起源於印度數學，中世紀時經伊斯蘭數學家傳播到歐洲，並由斐波那契推廣。瑪雅人也獨立使用了相關概念。

在數論中，0不屬於自然數；但在集合論和計算機科學中，0屬於自然數。0在整數、實數和其他的代數結構中都有著單位元這個很重要的性質。

歷史

關於「0」的概念在其它地區很早就有。巴比倫人、古埃及人、瑪雅人分別獨立發明了「0」^[1]。公元前3000年，巴比倫人就已經懂得使用零來避免混淆。瑪雅文明最早發明特別字體的「0」。瑪雅數字中，「0」以貝殼模樣的象形符號代表。古埃及早在公元前2千年就有人在記賬時用特別符號來表示「0」，但該符號並未加入到古埃及數字中。

現在使用的「0」的發明則始於印度。公元前2000年，印度最古老的文獻《吠陀》已有特別「0」概念的應用，當時的0在印度表示無（空）的位置。0這個字體的數字是在5世紀由古印度人發明。他們最早用黑點「.」表示零，後來逐漸變成了「0」。約在6世紀初，印度開始使用命位記數法。7世紀初印度大數學家婆羅摩笈多說明了0加0是0，任何數加上0或減去0得任何數。遺憾的是，他並沒有提到以命位記數法來進行計算的實例。也有的學者認為，0的概念之所以在印度產生並得以發展，是因為印度佛教中存在著「絕對無」這一哲學思想。公元733年，印度一位天文學家在訪問現伊拉克首都巴格達期間，將印度的這種記數法介紹給了阿拉伯人，因這種方法簡便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯數字了。

10世紀波斯數學家伊本·拉班《印度算術原理》第一部分敘述用印度數字0到9為基礎的十進位制四則運算和開平方、開立方的土盤程序。

這套記數法後來又傳入西歐地區。由於一些原因，在初引入0這個符號到西方時，曾經引起西方人的困惑，當時西方認為所有數都是可數，而0這個數字會使很多算式、邏輯不能成立^[2]（如除以0），甚至認為是魔鬼數字，而被禁用^[3]；直至約公元15、16世紀，0才逐漸給西方人所認同，使西方數學有快速發展。^[4]

中國古代的籌算數碼中沒有「零」，遇到「零」就空位。比如「6708」就可以表示為「〦〧　〨」。前4世紀，中國數學家已經了解負數和零的概念^[5]。1世紀的《九章算術》說：「正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」（這段話的大意是「方程相消：遇到同符號係數應相減其數值，遇到異符號係數應相加其數值，正係數遇到沒有未知項應取負，負係數遇到沒有未知項應取正。」）以上文字裡的「無入」通常被數學歷史家^[誰？]認為是零的概念^{[來源請求]}。當時並沒有使用符號來表示零。

690年時，武則天頒布了則天文字，其中一個字就是「〇」，當時的意義同「星」，代表圓形的星球^[6]^[7]。瞿曇悉達於718年將印度數字「0」引入中國，以此來代替算籌^[8]^[9]。宋代蔡沈《律率新書》中用方格表示空缺。金朝《大明曆》中有「四百〇三」，「三百〇九」等數字^[10]。1247年，秦九韶在其著作數書九章中使用符號「〇」來表示「0」的概念。^[11]1248年，李冶《測圓海鏡》中也使用了「〇」。

漢字「零」起初並不具有數字「0」的意思。「零」起初表示「零碎」的意思，比如「零頭」等。「一百零五」的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。隨着數字的引進。「105」讀作「一百零五」，「零」字與「0」對應，「零」於是具有了「0」的含義。^[12]^[13]

數學性質

0是否屬於自然數仍有爭議，數論領域認為0不屬於自然數，集合論和計算機科學領域認為0屬於自然數。
國際標準ISO 31-11:1992（英語：ISO_31-11）中，從集合論角度規定：符號 $\mathbb {N}$ 所表示的自然數包括正整數和0。中國國家標準GB 3102-11:93參照國際標準作出同樣規定。

平方數，為0的平方。
立方數，為0的立方。
第1個普洛尼克數，為0與1的乘積。下一個為2。
第0個佩爾數。下一個為1。
第0個斐波那契數。前一個、下一個與下兩個皆是1、前兩個是-1。
0是個高斯整數。
0可被2整除，所以0是偶數。
分數中的分母不可以是0。
0非正非負，0的相反數和絕對值是其本身。
0乘以任何實數都等於0（0×10=0），任何實數加上0等於其本身（1+0=1）。
0沒有倒數和負倒數，任何數（包括0）除以0皆無意義。
0不能做對數的底。
0的正數次方等於0，0的負數次方是無意義。
0的0次方目前是未定式，部分領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為1。也有人主張定義為1。^[14]^[15]
0階乘（記作0!）定義為1。
0 為任何非零整數之倍數。
0作為序數一般僅出現於計算機領域。
0是斐波那契數列中，僅有的3個平方數之一（另外兩個是1與144）。^[16]
0是唯一一個使得沒有複數w滿足e^w = z的複數z。

0的因數和倍數

當 $a\times b=c$ （ $a\,\!$ 、 $b\,\!$ 、 $c\,\!$ 為整數）時，定義 $a\,\!$ 和 $b\,\!$ 為 $c\,\!$ 的因數， $c\,\!$ 為 $a\,\!$ 和 $b\,\!$ 的倍數。

\because a\times 0=0

（

a\,\!

為任何實數）

\therefore a

為0的因數，0為

a\,\!

的倍數，也就是說，任何整數都是0的因數。

另外，因為0不能作為任何數的因數，所以0沒有倍數。

人類文化

在計算機科學中，0經常用於表示布爾值假（F）。
在數位電路中，不使用精確的電壓值來代表信號的值，只使用「0」和「1」兩個值。「0」表示低於預先規定的閾值電壓，被稱為低電平或者邏輯0。與之對應，「1」表示高於預先規定的閾值電壓，被稱為高電平或者邏輯1。注意負邏輯時的規定相反，高電平為邏輯0。
在電話網路中，國家代碼（國家或地區號）開始為00（兩個0），其下的地方區號（郡或市等地區代碼）開始為0（一個0）。
數字0的使用使數學快速發展。
0號線

參考來源

文獻

柯利弗德·皮寇弗; 陳以禮（翻譯）. The Math Book:From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics [數學之書]. 時報文化. 2013-04-16. ISBN 978-957-135-699-0 （中文（繁體））.

引用

^ 柯利弗德 2013，第45頁
^ Alexander Moseley. A to Z of Philosophy. A&C Black. 2008: 141 [2015-01-14]. ISBN 9781441183910. （原始內容存檔於2015-02-19）.
^ Mark Stavish. Freemasonry: Rituals, Symbols & History of the Secret Society. Llewellyn Worldwide. 2007: 6 [2015-01-14]. ISBN 9780738711485. （原始內容存檔於2015-02-19）.
^ J J O'Connor, E F Robertson. A history of Zero. MacTutor數學史檔案. [2015-01-14]. （原始內容存檔於2015-02-05）.
^ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3
^ 《新唐書·后妃傳上·則天武皇后傳》：「載初中，又享萬象神宮，以太穆、文德二皇后配皇地祇，引周忠孝太后從配。作……、〇、……，十又二文。」按《說文解字》：「曐，萬物之精。上為列星。從晶，生聲。一曰象形，從〇。」
^ 小寫〇（IDEOGRAPHIC NUMBER ZERO）的編碼是U+3007，勿與圈號（CIRCLE）混淆。
^ Qian, Baocong, 中國數學史, 北京: 科學出版社, 1964
^ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko（The man who exceeded counting rods）, 東京: 東洋書店, 1999, ISBN 4-88595-226-3
^ 郭書春著《中國科學技術史·數學卷》394頁科學出版社2010
^ Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd. Page 43.
^ 零说文解字原文 - 说文解字 - 词典网. [2022-05-30]. （原始內容存檔於2018-11-03）.
^ 零在康熙字典中的解释 - 康熙字典 - 词典网. [2022-05-30].
^ 存档副本 (PDF). [2011-12-09]. （原始內容存檔 (PDF)於2017-03-25）.
^ sci.math FAQ: What is 0^0?. [2011-12-09]. （原始內容存檔於2010-12-02）.
^ JOHN H. E. COHN. 〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉. Bedford College, University of London, London, N.W.1. [2019-05-12]. （原始內容存檔於2012-06-30）. Theorem 3. If F_n = x², then n = 0, ±1, 2 or 12.

參見

外部連結

倪梁康：〈零與形而上學〉（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（2009）

[1] 柯利弗德 2013，第45頁

[2] Alexander Moseley. A to Z of Philosophy. A&C Black. 2008: 141 [2015-01-14]. ISBN 9781441183910. （原始內容存檔於2015-02-19）.

[3] Mark Stavish. Freemasonry: Rituals, Symbols & History of the Secret Society. Llewellyn Worldwide. 2007: 6 [2015-01-14]. ISBN 9780738711485. （原始內容存檔於2015-02-19）.

[4] J J O'Connor, E F Robertson. A history of Zero. MacTutor數學史檔案. [2015-01-14]. （原始內容存檔於2015-02-05）.

[5] Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3

[6] 《新唐書·后妃傳上·則天武皇后傳》：「載初中，又享萬象神宮，以太穆、文德二皇后配皇地祇，引周忠孝太后從配。作……、〇、……，十又二文。」按《說文解字》：「曐，萬物之精。上為列星。從晶，生聲。一曰象形，從〇。」

[7] 小寫〇（IDEOGRAPHIC NUMBER ZERO）的編碼是U+3007，勿與圈號（CIRCLE）混淆。

[8] Qian, Baocong, 中國數學史, 北京: 科學出版社, 1964

[9] Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko（The man who exceeded counting rods）, 東京: 東洋書店, 1999, ISBN 4-88595-226-3

[10] 郭書春著《中國科學技術史·數學卷》394頁科學出版社2010

[11] Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd. Page 43.

[说文解字-12] 零说文解字原文 - 说文解字 - 词典网. [2022-05-30]. （原始內容存檔於2018-11-03）.

[13] 零在康熙字典中的解释 - 康熙字典 - 词典网. [2022-05-30].

[14] 存档副本 (PDF). [2011-12-09]. （原始內容存檔 (PDF)於2017-03-25）.

[15] sci.math FAQ: What is 0^0?. [2011-12-09]. （原始內容存檔於2010-12-02）.

[16] JOHN H. E. COHN. 〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉. Bedford College, University of London, London, N.W.1. [2019-05-12]. （原始內容存檔於2012-06-30）. Theorem 3. If F_n = x², then n = 0, ±1, 2 or 12.

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