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正多邊形

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正五邊形

正多邊形,是所有角都相等,所有邊都相等的簡單多邊形,簡單多邊形是指在任何位置都不與自身相交的多邊形。

所有具有同樣邊數的正多邊形都是相似多邊形

示例

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特性

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n 邊形每個內角 或者表示為 角度。也可以用弧度表示為或者

正多邊形的所有頂點都在同一個外接圓上,每個正多邊形都有一個外接圓。

正多邊形可尺規做圖若且唯若正多邊形的邊數 n質數因子是費馬數。參見可尺規作圖的多邊形

n > 2 的正多邊形的對角線數目是 ,如 0、2、5、9、... 等,這些對角線將多邊形分成 1、4、11、24、... 塊。

面積

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六邊形的垂直邊心距

n 邊形的面積為

其中 t 是邊長。正多邊形的面積還等於多邊形的周長與邊心距離乘積的一半。邊心距離是多邊形中心到邊的垂直距離。

如果 t=1 則正多邊形的面積為,

從而可以得到

3    0.433
4   1 1.000
5    1.720
6    2.598
7    3.634
8    4.828
9    6.182
10    7.694
11    9.366
12    11.196
13    13.186
14    15.335
15    17.642
16    20.109
17    22.735
18    25.521
19    28.465
20    31.569
100    795.513
1000    79577.210
10000    7957746.893

n<8 的正多邊形的面積比同周長的面積小大約 0.26,隨着 n 的增加,這個差值趨近於 π/12。

對稱性

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n邊多邊形的對稱群 為 2n 階的 dihedral group DnD2, D3, D4,... 它包括 Cn 中的 n旋轉對稱以及經過中心的 n 條軸線的鏡像對稱。如果 n偶數,則這些軸線中有一半經過相對的頂點,另外一半經過相對邊的中點。如果 n奇數,則所有的軸線都是經過一個頂點以及其相對邊的中心。

非凸正多邊形

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正多邊形的廣義分類包括星形正多邊形,例如五角星五邊形的頂點相同,但是頂點要交替相連。

示例:

多面體

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正多面體是以正多邊形作為面的多面體,因此對於每兩個頂點來說都有一個等距的映射將其中一點映射到另一點。 This is a very practical graphic that can give people a sense of comfort and stability when used in mind maps and decorations.

參見

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外部連結

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