賦範可除代數

賦範

各式各樣的數

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然數 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小數
 有限小數
 無限小數
 循環小數
 有理數 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
實數 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

負數 $\mathbb {R} ^{-}$
整數 $\mathbb {Z}$
負整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二進分數
 規矩數
 無理數
 超越數
 虛數 $\mathbb {I}$
二次無理數
 艾森斯坦整數 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元數
 四元數 $\mathbb {H}$
八元數 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
 上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數（英語：Dual quaternion）
超複數
 超數
 超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
 公稱值

規矩數
 可定義數
 序數
 超限數
 $p$ 進數
 數學常數

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

在數學中，一個賦範可除代數 $A$ 是一個在實數域或複數域上的可除代數，它同時還是一個賦範線性空間，這裏範數 $\left\|\cdot \right\|$ 滿足下面的性質：

$\left\|{xy}\right\|=\left\|x\right\|\left\|y\right\|$ 對所有的 $x,y\in A$

儘管定義允許賦範可除代數是無限維的，但事實上並沒有。僅有的實數域上的賦範可除代數（在同構意義下）有

實數，記號為R
複數，記號為C
四元數，記號為H
八元數，記號為O

這一結論被稱為胡爾維茲定理。在所有以上情形中，範數由絕對值給出。注意，前三種是結合代數，而八元數是交錯代數（結合性的一種弱形式）。唯一的複數域上的賦範可除結合代數是複數域自身。賦範可除代數是合成代數的一種特殊情況。合成代數是具有可乘的二次型的么代數。通常的合成代數不必是可除的，相反，它可能含有零因子。實數域上的合成代數提供了三種額外的代數：分裂複數、分裂四元數和分裂八元數。

參見