- 本條目中,向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如,位置向量通常用
表示;而其大小則用
來表示。
卡爾·高斯
在電磁學裏,高斯磁定律闡明,磁場(B場)的散度等於零。因此,磁場是一個螺線向量場。從這事實,可以推斷磁單極子不存在。磁的基本實體是磁偶極子,而不是磁荷。當然,假若將來科學家發現有磁單極子存在,那麼,這定律就必須做適當的修改,如稍後論述。高斯磁定律是因德國物理學者卡爾·高斯而命名。
在物理學界,很多學者使用「高斯磁定律」來指稱這定律,但並不是每一位學者都採用這名字。有些作者稱它為「自由磁單極子缺失」[1],或明確地表示這定律沒有取名字[2]。還有些作者稱此定律為「橫向性要求」[3],因為在真空中或線性介質中傳播的電磁波必須是橫波。
閉曲面與開放曲面示意圖。左邊是閉曲面例子,包括球面、環面和立方體面;穿過這些曲面的磁通量等於零。右邊是開放曲面,包括圓盤面、正方形面和半球面;都具有邊界(以紅色顯示),不完全圍入三維體積。穿過這些曲面的磁通量不一定等於零。
高斯磁定律的方程式可以寫為兩種形式:微分形式和積分形式。根據散度定理,這兩種形式為等價的。
高斯磁定律的微分形式為
;
其中,
是磁感應強度。
這是麥克斯韋方程組中的一個方程式。
高斯磁定律的積分形式為
![{\displaystyle \oiint }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aaeb0003d7ba1e93dc0e31c361a68df9b2d4ed2)
![\oiint](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/OiintLaTeX.svg/25px-OiintLaTeX.svg.png)
![{\displaystyle {\mathbb {S} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abc2be9fe56565ebe5c2e6e22bbe9c2fac5fc4b)
其中,
是一個閉曲面,
是微小面積分(請參閱曲面積分)。
這方程式的左手邊項目,稱為通過閉曲面的淨磁通量。高斯磁定律闡明這淨磁通量永遠等於零。
根據亥姆霍茲分解(Helmholtz decomposition),因為磁場的散度等於零,必定存在有向量場
滿足條件
。
這向量場
稱為磁向量勢。
請注意並不是只有一個向量場
滿足這條件。實際上,有無限多個解答。應用一項向量恆等式,
,
給予任意函數
,那麼,
也是一個解答。磁向量勢的這種特性,稱為規範自由。
透過鐵粉顯示出的磁場線。將條狀磁鐵放在白紙下面,鋪灑一堆鐵粉在白紙上面,這些鐵粉會依著磁場線的方向排列,形成一條條的曲線,在曲線的每一點顯示出磁場線的方向。
磁場,就像任何向量場,可以用場線來描繪其軌跡。磁場線是一組曲線,其方向對應於磁場的方向,其面密度與磁場的大小成正比。因為磁場的散度等於零,磁場線沒有初始點,也沒有終結點。磁場線或者形成一個閉迴圈,或者兩個端點都延伸至無窮遠。
假若,有科學家發現磁單極子存在於宇宙,則高斯磁定律不正確,必須修正。磁場的散度會與磁荷密度
成正比[1]:
。
其中,
是磁常數。
從必歐-沙伐定律,可以推導出高斯磁定律。必歐-沙伐定律闡明,設定電流密度
,則磁場為
;
其中,
是源位置,
是場位置,
是積分的體積,
是微小體積元素。
應用一項向量恆等式,
,
將這恆等式帶入必歐-沙伐方程式。由於梯度只作用於無單撇號的坐標,可以移到積分外,改為旋度:
。
應用一項向量恆等式,
。
所以,高斯磁定律成立:
。