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截角大十二面体

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截角大十二面体
截角大十二面体
类别星形均匀多面体
对偶多面体小星形五角化十二面体
识别
名称截角大十二面体
参考索引U37, C47, W75
鲍尔斯缩写
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
tigid在维基数据编辑
数学表示法
施莱夫利符号t0,1{5,5/2}
威佐夫符号
英语Wythoff symbol
2 5/2 | 5
2 5/3 | 5
性质
24
90
顶点60
欧拉特征数F=24, E=90, V=60 (χ=-6)
组成与布局
面的种类12个五角星{5/2}
12个正十边形{10}
面的布局
英语Face configuration
12{5/2}+12{10}
顶点图10.10.5/2
对称性
对称群Ih, [5,3], *532
图像

10.10.5/2
顶点图

小星形五角化十二面体
对偶多面体

几何学中,截角大十二面体是一种具有二十面体对称非凸均匀多面体,由24个组成,其结构可以视为切去大十二面体的12个顶点而得,其具有12对互相平行面,因此也可以视为一种平行多面体,其对偶多面体小星形五角化十二面体[1][2]

分类

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1993年,兹维·喀拉·埃尔发表的论文《Uniform Solution for Uniform Polyhedra》中,将截角大十二面体编号为K42,表示其为一个二十面体对称的多面体[3],同一年,马德尔参考兹维·喀拉·埃尔的分类方式,将截角大十二面体给予索引编号U37[4]。其也被考克斯特的论文收录,并给予编号C47[5]。温尼尔也在他的书《多面体模型》中将之给予编号W75[6]

性质

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截角大十二面体由24个面、90条边和60个顶点组成[7],是一种二十四面体。每个顶点都是2个十边形和1个五角星的公共顶点。

面的组成

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截角大十二面体由24个面组成,在其二十四个中,有12个五角星面和12个十边形面,其中有12个面是非凸面。

二面角

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截角大十二面体有两种二面角,包括了十边形-十边形二面角和十边形-五角星二面角。其中十边形-十边形二面角为五平方根倒数的反余弦值;十边形-五角星二面角为负的五平方根倒数之反余弦值。[8]

其中为十边形和五角星的施莱夫利符号

顶点座标

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边长长度为1单位且几何中心位于原点的截角大十二面体,其顶点座标[9]

相关多面体

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截角大十二面体的顶点布局与多种多面体相同。其中三种为均匀多面体相同,分别为非凸大斜方截半二十面体大十二面截半二十面体大斜方十二面体;还有2种复合多面体,分别是六复合五角柱英语Compound of six pentagonal prisms二十复合五角柱英语Compound of twelve pentagonal prisms


非凸大斜方截半二十面体

大十二面截半二十面体

大斜方十二面体

截角大十二面体

六复合五角柱英语Compound of six pentagonal prisms

二十复合五角柱英语Compound of twelve pentagonal prisms

这个多面体是大十二面体经过截角变换后的结果,大十二面体在不同的截角深度也得到有不同的结果,例如节到中点后得到截半大十二面体,过截角后得到的立体则与对偶多面体的截角等价,为截角小星形十二面体。这种多面体外观与正二十面体几乎一样,但其有24个面,12个面是来自截角后的顶点以及12个截角的五角星与之重合。

名称 小星形十二面体 截角小星形十二面体 截半大十二面体 截角大十二面体 大十二面体
考克斯特
迪肯符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
node 5 node 5 rat d2 node_1  node 5 node_1 5 rat d2 node_1  node 5 node_1 5 rat d2 node  node_1 5 node_1 5 rat d2 node  node_1 5 node 5 rat d2 node 
图像

对偶复合体

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小星形五角化十二面体与其对偶的复合体为复合截角大十二面体小星形五角化十二面体 。其共有84个面、180条边和84个顶点,其尤拉示性数为-12,亏格为7,有12个非凸面[10]

参见

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参考文献

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  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Truncated great dodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ Eric W. Weisstein. Truncated Great Dodecahedron. 密歇根州立大学图书馆. (原始内容存档于2013-06-21). 
  3. ^ Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra.页面存档备份,存于互联网档案馆), Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El页面存档备份,存于互联网档案馆), Kaleido software页面存档备份,存于互联网档案馆), Images页面存档备份,存于互联网档案馆), dual images页面存档备份,存于互联网档案馆
  4. ^ Mäder, R. E.页面存档备份,存于互联网档案馆Uniform Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [1]页面存档备份,存于互联网档案馆
  5. ^ Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. Uniform polyhedra (PDF). Philosophical Transactions of the Royal Society A (皇家学会). 1954, 246 (916): 401–450 [2016-09-03]. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. doi:10.1098/rsta.1954.0003. (原始内容存档 (PDF)于2017-12-01). 
  6. ^ Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  7. ^ truncated great dodecahedron. bulatov.org. (原始内容存档于2016-03-26). 
  8. ^ Self-Intersecting Truncated Regular Polyhedra: Truncated Great Dodecahedron. dmccooey.com. (原始内容存档于2017-03-12). 
  9. ^ Data of Truncated Great Dodecahedron. dmccooey.com. (原始内容存档于2016-10-01). 
  10. ^ compound of truncated great dodecahedron and small stellapentakisdodecahedron. bulatov.org. (原始内容存档于2016-09-06). 

外部链接

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