T₁空间

在拓扑学和相关的数学分支中，T₁ 空间和 R₀ 空间是特定种类的拓扑空间。T₁ 和 R₀ 性质是分离公理的个例。

定义[编辑]

设 X 是拓扑空间并设 x 和 y 是 X 中的点。我们称 x 和 y 可以被“分离”如果它们每个都位于不包含另一个点的一个开集中。

X 是 T₁ 空间，如果任何 X 中两个独特的点可以被分离。
X 是 R₀ 空间，如果任何 X 中两个拓扑可区分的点可以被分离。

T₁ 空间也叫做可及空间(accessible space)或Fréchet 空间，而 R₀ 空间也叫做对称空间。（术语“Fréchet空间”在泛函分析中有完全不同的意义。为此偏好术语“T₁ 空间”。还有作为某种类型的序列空间的Fréchet-Urysohn空间的概念。术语“对称空间”也有其他意义。）

性质[编辑]

设 X 是拓扑空间。则下列条件等价：

X 是 T₁ 空间。
X 是 T₀ 空间和 R₀ 空间。
点在 X 中是闭合的；就是说给定任何 X 中点 x，单元素集合 {x} 是闭集。
所有 X 的子集是包含它的所有开集的交集。
所有有限集合是闭集。
X 的余有限集合是开集。
在 x 的固定超滤子只收敛到 x。
对于所有 X 中的点 x 和所有 X 的子集 S，x 是 S 的极限点，当且仅当所有 x 的开邻域包含无限多个 S 的点。

设 X 是拓扑空间。则下列条件等价：

X 是 R₀ 空间。
给定任何 X 中的 x，{x} 的闭包只包含与 x 拓扑不可区分的点。
在 X 上的特殊化预序是对称的（因此是等价关系）。
在 x 的固定超滤子只收敛到与 x 拓扑不可区分的点。
X（它识别拓扑不可区分点）的柯尔莫果洛夫商是 T₁。
所有开集是闭集的并集。

在任何拓扑空间中，作为任何两个点之间的性质，有下列蕴涵

“分离”的 ⇒ “拓扑可区分”的 ⇒ “独特”的

如果第一个箭头可反转则空间是 R₀。如果第二个箭头可以反转则空间是 T₀。如果复合箭头可以被反转则空间是 T₁。明显的，一个空间是 T₁ 当且仅当它是 R₀ 和 T₀ 二者。

注意有限 T₁ 空间必然是离散的（因为所有集合都是闭集）。

例子[编辑]

谢尔宾斯基空间是 T₀ 而非 T₁ 的拓扑空间的一个简单例子。
重叠区间拓扑是 T₀ 而非 T₁ 的一个例子。

在无限集合上的余有限拓扑是 T₁ 而非豪斯多夫(T₂) 的一个简单例子。这是因为没有余有限拓扑的两个开集是不相交的。特别是，设 X 是整数集合，并定义开集 O_A 是包含除了 A 的所有 X 的有限子集的那些 X 的子集。则给定不同的整数 x 和 y:

开集 O_{x} 包含 y 但不包含 x，而开集 O_{y} 包含 x 但不包含 y；
等价的，所有单元素集合 {x} 是开集 O_{x} 的补集，所以它是闭集；

所以通过上述每个定义结果的空间是 T₁。这个空间不是 T₂，因为任何两个开集O_A 和 O_B 的交集是 O_A∪B，它永远非空。可供选择，偶整数集合是紧致的但不是闭集，它不可能在豪斯多夫空间内。

上述例子可以稍微修改来建立双点余有限拓扑，它是 R₀ 不是 T₁ 也不是 R₁ 的空间的例子。设 X 是整数的集合，并使用上例中 O_A 定义，定义对任何整数 x 开集 G_x 的子基为 G_x = O_{{x, x+1}} 如果 x 为偶数和 G_x = O_{{x-1, x}} 如果 x 是奇数。则这个拓扑的基可给出自子基集合的有限交集：给定有限集合 A，X 的开集是

U_{A}:=\bigcap _{x\in A}G_{x}.

结果的空间不是 T₀（因此不是 T₁），因为点 x 和 x + 1（对于偶数 x）是拓扑不可区分的；但是在其他方面它本质上等价于上个例子。

在代数簇上的Zariski拓扑是 T₁ 的。要看出来，请注意带有局部坐标 (c₁,...,c_n) 的点是多项式 x₁-c₁, ..., x_n-c_n 的零集合。因此点是闭合的。但是这个例子作为非豪斯多夫(T₂) 的空间而知名。Zariski 拓扑本质上是余有限拓扑的例子。

所有完全不连通空间是 T₁，因为所有点都是连通单元因此是闭合的。

推广到其他种类的空间[编辑]

术语“T₁”、“R₀”和它们的同义词还可以应用于拓扑空间的变体如一致空间、柯西空间和收敛空间。统一这些例子中概念的特征是固定超滤子（或恒定网）的极限是唯一的（对于 T₁ 空间）或不别拓扑不可区分性之异时是唯一的（对于 R₀ 空间）。

这显现出一致空间和更一般的柯西空间总是 R₀ 的，所以在这些情况下 T₁ 条件简约为 T₀ 条件。但是 R₀ 自身在其他种类的收敛空间上也是有价值的，比如预拓扑空间。

参考文献[编辑]

Willard, Stephen. General Topology. New York: Dover. 1998: 86–90. ISBN 0-486-43479-6. .
Folland, Gerald. Real analysis: modern techniques and their applications 2nd. John Wiley & Sons, Inc. 1999: 116. ISBN 0-471-31716-0. .