T1空间
外觀
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在拓撲學和相關的數學分支中,T1 空間和 R0 空間是特定種類的拓撲空間。T1 和 R0 性質是分離公理的個例。
定義
[編輯]設 X 是拓撲空間並設 x 和 y 是 X 中的點。我們稱 x 和 y 可以被「分離」如果它們每個都位於不包含另一個點的一個開集中。
- X 是 T1 空間,如果任何 X 中兩個獨特的點可以被分離。
- X 是 R0 空間,如果任何 X 中兩個拓撲可區分的點可以被分離。
T1 空間也叫做可及空間(accessible space)或Fréchet 空間,而 R0 空間也叫做對稱空間。(術語「Fréchet空間」在泛函分析中有完全不同的意義。為此偏好術語「T1 空間」。還有作為某種類型的序列空間的Fréchet-Urysohn空間的概念。術語「對稱空間」也有其他意義。)
性質
[編輯]設 X 是拓撲空間。則下列條件等價:
- X 是 T1 空間。
- X 是 T0 空間和 R0 空間。
- 點在 X 中是閉合的;就是說給定任何 X 中點 x,單元素集合 {x} 是閉集。
- 所有 X 的子集是包含它的所有開集的交集。
- 所有有限集合是閉集。
- X 的餘有限集合是開集。
- 在 x 的固定超濾子只收斂到 x。
- 對於所有 X 中的點 x 和所有 X 的子集 S,x 是 S 的極限點,若且唯若所有 x 的開鄰域包含無限多個 S 的點。
設 X 是拓撲空間。則下列條件等價:
- X 是 R0 空間。
- 給定任何 X 中的 x,{x} 的閉包只包含與 x 拓撲不可區分的點。
- 在 X 上的特殊化預序是對稱的(因此是等價關係)。
- 在 x 的固定超濾子只收斂到與 x 拓撲不可區分的點。
- X(它識別拓撲不可區分點)的柯爾莫果洛夫商是 T1。
- 所有開集是閉集的併集。
在任何拓撲空間中,作為任何兩個點之間的性質,有下列蘊涵
- 「分離」的 ⇒ 「拓撲可區分」的 ⇒ 「獨特」的
如果第一個箭頭可反轉則空間是 R0。如果第二個箭頭可以反轉則空間是 T0。如果複合箭頭可以被反轉則空間是 T1。明顯的,一個空間是 T1 若且唯若它是 R0 和 T0 二者。
注意有限 T1 空間必然是離散的(因為所有集合都是閉集)。
例子
[編輯]- 在無限集合上的餘有限拓撲是 T1 而非豪斯多夫(T2) 的一個簡單例子。這是因為沒有餘有限拓撲的兩個開集是不相交的。特別是,設 X 是整數集合,並定義開集 OA 是包含除了 A 的所有 X 的有限子集的那些 X 的子集。則給定不同的整數 x 和 y:
- 開集 O{x} 包含 y 但不包含 x,而開集 O{y} 包含 x 但不包含 y;
- 等價的,所有單元素集合 {x} 是開集 O{x} 的補集,所以它是閉集;
- 所以通過上述每個定義結果的空間是 T1。這個空間不是 T2,因為任何兩個開集OA 和 OB 的交集是 OA∪B,它永遠非空。可供選擇,偶整數集合是緊緻的但不是閉集,它不可能在豪斯多夫空間內。
- 上述例子可以稍微修改來建立雙點餘有限拓撲,它是 R0 不是 T1 也不是 R1 的空間的例子。設 X 是整數的集合,並使用上例中 OA 定義,定義對任何整數 x 開集 Gx 的子基為 Gx = O{x, x+1} 如果 x 為偶數 和 Gx = O{x-1, x} 如果 x 是奇數。則這個拓撲的基可給出自子基集合的有限交集:給定有限集合 A,X 的開集是
- 結果的空間不是 T0(因此不是 T1),因為點 x 和 x + 1(對於偶數 x)是拓撲不可區分的;但是在其他方面它本質上等價於上個例子。
- 在代數簇上的Zariski拓撲是 T1 的。要看出來,請注意帶有局部坐標 (c1,...,cn) 的點是多項式 x1-c1, ..., xn-cn 的零集合。因此點是閉合的。但是這個例子作為非豪斯多夫(T2) 的空間而知名。Zariski 拓撲本質上是餘有限拓撲的例子。
推廣到其他種類的空間
[編輯]術語「T1」、「R0」和它們的同義詞還可以應用於拓撲空間的變體如一致空間、柯西空間和收斂空間。統一這些例子中概念的特徵是固定超濾子(或恆定網)的極限是唯一的(對於 T1 空間)或不別拓撲不可區分性之異時是唯一的(對於 R0 空間)。
這顯現出一致空間和更一般的柯西空間總是 R0 的,所以在這些情況下 T1 條件簡約為 T0 條件。但是 R0 自身在其他種類的收斂空間上也是有價值的,比如預拓撲空間。
參考文獻
[編輯]- Willard, Stephen. General Topology. New York: Dover. 1998: 86–90. ISBN 0-486-43479-6..
- Folland, Gerald. Real analysis: modern techniques and their applications 2nd. John Wiley & Sons, Inc. 1999: 116. ISBN 0-471-31716-0..
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