本頁使用了標題或全文手工轉換

T1空间

維基百科,自由的百科全書
跳至導覽 跳至搜尋

拓撲學和相關的數學分支中,T1 空間R0 空間是特定種類的拓撲空間。T1 和 R0 性質是分離公理的個例。

定義[編輯]

X拓撲空間並設 xyX 中的點。我們稱 xy 可以被「分離」如果它們每個都位於不包含另一個點的一個開集中。

  • XT1 空間,如果任何 X 中兩個獨特的點可以被分離。
  • XR0 空間,如果任何 X 中兩個拓撲可區分的點可以被分離。

T1 空間也叫做可及空間(accessible space)或Fréchet 空間,而 R0 空間也叫做對稱空間。(術語「Fréchet空間」在泛函分析中有完全不同的意義。為此偏好術語「T1 空間」。還有作為某種類型的序列空間Fréchet-Urysohn空間的概念。術語「對稱空間」也有其他意義。)

性質[編輯]

X 是拓撲空間。則下列條件等價:

  • X 是 T1 空間。
  • XT0 空間和 R0 空間。
  • 點在 X 中是閉合的;就是說給定任何 X 中點 x,單元素集合 {x} 是閉集
  • 所有 X 的子集是包含它的所有開集的交集。
  • 所有有限集合是閉集
  • X餘有限集合是開集。
  • x固定超濾子只收斂到 x
  • 對於所有 X 中的點 x 和所有 X 的子集 SxS極限點,若且唯若所有 x 的開鄰域包含無限多個 S 的點。

X 是拓撲空間。則下列條件等價:

在任何拓撲空間中,作為任何兩個點之間的性質,有下列蘊涵

「分離」的 ⇒ 「拓撲可區分」的 ⇒ 「獨特」的

如果第一個箭頭可反轉則空間是 R0。如果第二個箭頭可以反轉則空間是 T0。如果複合箭頭可以被反轉則空間是 T1。明顯的,一個空間是 T1 若且唯若它是 R0 和 T0 二者。

注意有限 T1 空間必然是離散的(因為所有集合都是閉集)。

例子[編輯]

  • 無限集合上的餘有限拓撲是 T1 而非豪斯多夫(T2) 的一個簡單例子。這是因為沒有餘有限拓撲的兩個開集是不相交的。特別是,設 X整數集合,並定義開集 OA 是包含除了 A 的所有 X有限子集的那些 X 的子集。則給定不同的整數 xy:
  • 開集 O{x} 包含 y 但不包含 x,而開集 O{y} 包含 x 但不包含 y
  • 等價的,所有單元素集合 {x} 是開集 O{x} 的補集,所以它是閉集;
所以通過上述每個定義結果的空間是 T1。這個空間不是 T2,因為任何兩個開集OAOB交集OAB,它永遠非空。可供選擇,偶整數集合是緊緻的但不是閉集,它不可能在豪斯多夫空間內。
  • 上述例子可以稍微修改來建立雙點餘有限拓撲,它是 R0 不是 T1 也不是 R1 的空間的例子。設 X 是整數的集合,並使用上例中 OA 定義,定義對任何整數 x 開集 Gx子基Gx = O{x, x+1} 如果 x偶數Gx = O{x-1, x} 如果 x 是奇數。則這個拓撲的可給出自子基集合的有限交集:給定有限集合 AX 的開集是
結果的空間不是 T0(因此不是 T1),因為點 xx + 1(對於偶數 x)是拓撲不可區分的;但是在其他方面它本質上等價於上個例子。
  • 代數簇上的Zariski拓撲是 T1 的。要看出來,請注意帶有局部坐標 (c1,...,cn) 的點是多項式 x1-c1, ..., xn-cn 的零集合。因此點是閉合的。但是這個例子作為非豪斯多夫(T2) 的空間而知名。Zariski 拓撲本質上是餘有限拓撲的例子。

推廣到其他種類的空間[編輯]

術語「T1」、「R0」和它們的同義詞還可以應用於拓撲空間的變體如一致空間柯西空間收斂空間。統一這些例子中概念的特徵是固定超濾子(或恆定)的極限是唯一的(對於 T1 空間)或不別拓撲不可區分性之異時是唯一的(對於 R0 空間)。

這顯現出一致空間和更一般的柯西空間總是 R0 的,所以在這些情況下 T1 條件簡約為 T0 條件。但是 R0 自身在其他種類的收斂空間上也是有價值的,比如預拓撲空間

參考文獻[編輯]

  • Willard, Stephen. General Topology. New York: Dover. 1998: 86–90. ISBN 0-486-43479-6. .
  • Folland, Gerald. Real analysis: modern techniques and their applications 2nd. John Wiley & Sons, Inc. 1999: 116. ISBN 0-471-31716-0. .