达朗贝尔原理

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達朗伯特
達朗伯特

達朗伯特原理是法國物理學家與數學家達朗伯特發現的。達朗伯特原理闡明，在一個系統內，如果，所有約束力因為虛位移而做的虛功，總合是零，則這系統內的每一個粒子，所受到的外力與慣性力的向量合，與虛位移的點積，總合起來是零。用方程式表述，如果

\sum_{i}\ \mathbf{C}_i\cdot \delta \mathbf{r}_i = 0\,\! ，

則

\sum_{i}\ (\mathbf{F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf{r}_i = 0\,\! ；

這裏，\mathbf{C}_i\,\! 是約束力、\mathbf{F}_i\,\! 是作用於粒子 P_i\,\! 的淨外力、m_i\,\! 是粒子 P_i\,\! 的質量、\mathbf a_i\,\! 是粒子的加速度、 - m_i \mathbf{a}_i\,\! 是作用於粒子 P_i\,\! 的慣性力、\delta \mathbf{r}_i\,\! 是符合系統約束的虛位移（總虛功等於零）。

類似靜力學裏的虛功原理，達朗伯特原理是動力學裏的版本。達朗伯特論證出，在一個動力系統裏，約束力自動消失；也就是說，廣義力 \mathbf{F}_{i}\,\! 不須包括約束力。

目录

[编辑] 導論

思考一個由一群粒子構成的系統。依照牛頓運動定律[1]，

\mathbf{F}_{i}^{(T)} = m_i \mathbf{a}_i\,\! ；

這裏，\mathbf{F}_{i}^{(T)}\,\! 是作用在粒子 P_i\,\! 的淨力。將方程式右邊移至左邊，

\mathbf{F}_{i}^{(T)} - m_i \mathbf{a}_i = \mathbf 0\,\! 。

定義慣性力為 - m_i \mathbf{a}_i\,\! 。思考每一個粒子的淨力與慣性力的向量合，皆等於零。每一個向量合與虛位移 \delta \mathbf{r}_i\,\! 的點積皆為零。所有粒子的點積，總合也等於零。所以，總虛功 \delta W\,\! 等於零：

\delta W = \sum_{i} (\mathbf {F}_{i}^{(T)} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i=0\,\! 。

將作用於每一個粒子上的淨力，細分為外力 \mathbf{F}_i\,\! 與約束力 \mathbf{C}_i ：

\delta W = \sum_{i}\ \mathbf{F}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i + \sum_{i}\ \mathbf{C}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i - \sum_{i}\ m_i \mathbf{a}_i \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0\,\! 。

如果，一切約束力，因為虛位移，所做的虛功總合是零[2]。則達朗伯特原理成立，約束力的項目可以從方程式中移去。

\delta W = \sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0\,\! 。(1)

特別注意，現在，\mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i\,\! 很可能不等於零。實際上，我們應該認為它不等於零。

符合約束力虛功總合是零的實例：

  • 剛體的約束是 (\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)^2=c_{ij}^2\,\! ；這裏，粒子 P_i\,\! 與粒子 P_j\,\! 的位置分別為 \mathbf{r}_i\,\! 與 \mathbf{r}_j\,\! ，c_{ij}\,\! 是常數。所以，兩個粒子虛位移（\delta\mathbf{r}_i,\ \delta\mathbf{r}_j\,\!）的關係為
(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)(\delta\mathbf{r}_i - \delta\mathbf{r}_j)=0\,\! 。
有兩種可能的虛位移狀況：
  1. \delta\mathbf{r}_i=\delta\mathbf{r}_j\,\! ：在這狀況下，\delta\mathbf{r}_i\cdot \mathbf{F}_{ij}+\delta\mathbf{r}_j\cdot \mathbf{F}_{ji}=0\,\! 。粒子 P_i\,\! 作用於粒子 P_j\,\! 的力 \mathbf{F}_{ji}\,\! ，與粒子 P_j\,\! 作用於粒子 P_i\,\! 的力 \mathbf{F}_{ij}\,\! ，方向正好相反。兩隻力所做的虛功互相抵銷。
  2. (\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)\perp(\delta\mathbf{r}_i-\delta\mathbf{r}_j)=0\,\! ：因為 \mathbf{F}_{ij}\ \|\ \mathbf{F}_{ji}\ \|\ (\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)\,\! ，所以，\delta\mathbf{r}_i\cdot \mathbf{F}_{ij}+\delta\mathbf{r}_j\cdot \mathbf{F}_{ji}=0\,\! 。虛功總合仍舊是零。
所以，在剛體內，粒子與粒子之間的作用力與反作用力，所做的虛功總合是零。
  • 思考一個木塊在平滑地面上的移動。因為木塊的重量，而產生的反作用力，是地面施加於木塊的一種約束力。這約束力垂直於虛位移。所以，它所做的虛功等於零。可是，假若木塊移動的地面是粗糙的，則會有摩擦力產生。由於虛位移平行於摩擦力，虛功不等於零。所以，達朗伯特原理不適用於這狀況。但是，如果是一隻輪子滾動於粗糙的表面上，因為摩擦點是不動的，虛功等於零，又可以用到達朗伯特原理了。

[编辑] 拉格朗日方程式

主項目：拉格朗日方程式

拉格朗日力學是對經典力學的一種不同的表述。拉格朗日方程式是拉格朗日力學的基要方程式，可以用來描述物體的運動，特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程式的功能相等於牛頓力學中的牛頓第二定律。

達朗伯特原理可以用來導引出拉格朗日方程式[2]。表示粒子 P_i\,\! 的位置 \mathbf{r}_i\,\! 為廣義坐標 q_1,\ q_2,\ q_3,\ \cdots ,\ q_n\,\! 與時間 t\,\! 的函數：

\mathbf{r}_i=\mathbf{r}_i(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \cdots ,\ q_m,\ t)\,\! 。

這坐標的轉換，最主要的目的，是要除去物體裏一個粒子的位置與另一個粒子的位置之間的相依性。這問題在後面會有更詳細的說明。

虛位移與廣義坐標的關係可以表示為

\delta\mathbf{r}_i=\sum_j\ \frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_j}\delta q_j\,\! 。(2)

速度是位置隨時間的導數。運用偏微分連鎖律來得到以下方程式：

\mathbf{v}_i=\frac{d\mathbf{r}_i}{dt}=\sum_j \frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_j}\dot{q}_j+ \frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial t}\,\! 。

特別注意，速度現在是一個廣義坐標、廣義速度 \dot{q}_j\,\! 、與時間的已設定的函數。取速度關於廣義速度的偏微分：

\frac{\partial\mathbf{v}_i}{\partial \dot{q}_j}= \frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_j}\,\! 。(3)

思考方程式 (1) 的加速度項目，將方程式 (2) 代入，

\sum_i\ m_i \mathbf{a}_i \cdot \delta \mathbf{r}_i=\sum_{i,j}\ m_i\mathbf{a}_i\cdot\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_j}\delta q_j\,\! 。

應用乘法定則，

\sum_{i,j}\ m_i\mathbf{a}_i\cdot\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_j}\delta q_j = \sum_{i,j}\left( \frac{d}{dt}\left( m_i\mathbf{v}_i\cdot\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_j}\right) - m_i\mathbf{v}_i \cdot \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_j}\right)\right) \delta q_j\,\! 。

交換微分順序，

\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_j}\right) =\frac{\partial}{\partial q_j} \left(\frac{d\mathbf{r}_i}{dt}\right)=\frac{\partial\mathbf{v}_i}{\partial q_j}\,\! 。(4)

將方程式 (3) 與 (4)代入，加速度項目成為

\sum_{i,j}\ m_i \mathbf{a}_i\cdot\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_j}\delta q_j=\sum_{i,j}\left(\frac{d}{dt}\left( m_i\mathbf{v}_i\cdot \frac{\partial\mathbf{v}_i}{\partial \dot{q}_j}\right) - m_i \mathbf{v}_i\cdot\frac{\partial\mathbf{v}_i}{\partial q_j}\right)\delta q_j \,\! 。

思考這個系統的動能 T\,\! ，

T=\sum_i\ \frac{1}{2}m_i\mathbf{v}_i\cdot\mathbf{v}_i\,\!

分別取關於 q_j\,\! 與 \dot{q}_j\,\! 的偏導數，

\frac{\partial T}{\partial q_j}=\sum_i\ m_i\mathbf{v}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{v}_i}{\partial q_j}\,\! 、
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j}=\sum_i\ m_i\mathbf{v}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{v}_i}{\partial \dot{q}_j}\,\! 。

我們可以觀察出加速度項目與動能的關係：

\sum_{i,j}\ m_i\mathbf{a}_i\cdot\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_j}\delta q_j=\sum_{j}\ \left(\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_j}\right)\delta q_j \,\! 。(5)

思考方程式 (1) 的外力項目，將方程式 (2) 代入，

\sum_{i}\ \mathbf{F}_{i}\cdot\delta\mathbf{r}_i=\sum_{i,j}\ \mathbf{F}_{i}\cdot\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_j}\delta q_j=\sum_{j}\ \mathcal{F}_{j}\delta q_j\,\! ；(6)

這裏，\boldsymbol{\mathcal{F}}\,\! 是廣義力：

\mathcal{F}_{j}=\sum_i\ \mathbf{F}_{i}\cdot\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_j}\,\! 。

將方程式 (5) 與 (6) 代入方程式 (1) ，會得到

\sum_{j}\ \left(\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_j} - \mathcal{F}_{j}\right)\delta q_j=0\,\! 。(7)

我們現在對這系統附加上一個要求；那就是，所有的廣義坐標都互不相依。假若這系統是完整系統，很容易可以將一組相依的廣義坐標轉換為另一組不相依的廣義坐標。

假設所有的廣義坐標都互不相依，所有的廣義坐標虛位移也都互不相依。只有一種辦法會使方程式 (7) 成立；那就是必須使

\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_j} - \mathcal{F}_{j}=0\,\! 。(8)

如果，這系統是單演系統；也就是說，這系統的外力可以由純量勢函數 V\,\! 導出，

\mathcal{F}_j= -\frac{\partial V}{\partial q_j}\,\! ；

而且這純量勢只是位置的函數，

V=V(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \cdots ,\ q_m)\,\! 。

那麼，

\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial (T-V)}{\partial \dot{q}_j}\right) - \frac{\partial (T-V)}{\partial q_j}=0\,\! 。

定義拉格朗日量 L\,\! 為動能與勢之差，

L=T-V\,\! 。

則可得到拉格朗日方程式，

\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_j}=0\,\! 。

[编辑] 達朗伯特慣性力原理

達朗伯特表明，一個加速中的鋼體，經過嵌進慣性力與慣性力矩，可以被轉換成相等的靜力系統：

\sum \ \mathbf {F} - m \mathbf{a} = \mathbf{0}\,\! ，
\sum\ \mathbf{M}_G - \mathbf{I}\ \boldsymbol{\alpha}=0\,\! ；

這裏，m\,\! 是剛體的質量、\mathbf{M}_G\,\! 是作用於剛體質心的力矩、\mathbf{I}\,\! 是轉動慣量、\boldsymbol{\alpha}\,\! 是角加速度、 - \mathbf{I}\ \boldsymbol{\alpha}\,\! 是慣性力矩。慣性力必須作用在質心；而慣性力矩可以作用在物體的任何一點。我們可以，就像靜力系統一樣地，確切地分析這受到慣性力，慣性力矩，與外力作用的系統。這方法的優點是，在相等的靜力系統裏，我們可以選擇任何一點（不只是質心）來計算力矩。這時常會導至較簡易的運算。因為，如果選對計算點，在算力矩時，可以忽略許多力。動力工程的教科書常稱此為達朗伯特慣性力原理[3]。

[编辑] 剛體二維平面運動實例

一個平面剛體，受到力與力矩作用，造成在 xy-平面上的平移運動與旋轉運動。慣性力 \mathbf{F}_I\,\! 與慣性力矩 M_I\,\! 的方程式分別為

\mathbf{F}_I = - m \mathbf{a}_G\,\! ，
M_I = - I \alpha\,\! ；

這裏，\mathbf{a}_G 是剛體質心的加速度、I\,\! 是剛體的轉動慣量。如果，除了作用於剛體的外力與外力矩以外，還加添慣性力與慣性力矩，這系統就相等於靜力系統。因此，靜力平衡方程式成立：

\sum F_x = 0\,\! ，
\sum F_y = 0\,\! ，
\sum M = 0\,\! 。

這方法的優點是，\sum M\,\! 乃是對於任何點的力矩總合；而直接應用牛頓運動定律的方法有一個額外的要求，就是，角加速度方程式只能在質心計算。

[编辑] 參閱

拉格朗日力學
哈密頓力學
牛頓力學

[编辑] 參考文獻

  1. ^ （英文）Torby, Bruce（1984）．Advanced Dynamics for Engineers，HRW Series in Mechanical Engineering．United States of America：CBS College Publishing，pp. 269．ISBN 0-03-063366-4． 
  2. ^ 2.0 2.1 （英文）Goldstein, Herbert（1980）．Classical Mechanics，3rd，United States of America：Addison Wesley，pp. 18-21．ISBN 0201657023． 
  3. ^ （英文）Beer, Ferdinand，E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen（2004）．Vector Mechanics for Engineers，7th，United States of America：Elizabeth A. Jones，pp. 1029, 1167．ISBN 0-07-230491-X． 
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