增乘开平方法
外观
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增乘开平方法是北宋数学家贾宪发明的开方算法,原收《释锁算书》一书。贾宪原作已佚,但他对数学的重要贡献,被南宋数学家杨辉引用,被抄入《永乐大典》卷一万六千三百四十四,幸得以保存下来[1]。现存英国剑桥大学图书馆。 杨辉在所著《详解九章算法》《开方作法本元》一章中作贾宪开方作法图,并说明“杨辉详解开方本源,出《释锁算书》,贾宪用此术”。[2]。
术文
[编辑]增乘开平方法,以商数乘下法递增求之。
商第一位。上商得数以乘下法为乘方。命上商除实。上商得数以乘下法入乘方。一退为廉,下法再退。
商第二位。商得数以乘下法为隅。命上商除实讫。以上商乘下法入隅,皆名曰廉。一退,下法再退,以求第三位商数。
商第三位。用法如第二位求之。
算筹十进位制布位
[编辑]- 算筹的布位。贾宪在纸上用书写方式将算筹码按十进位制布位。七万一千八百二十四分写两行:
七 | 一 | 八 | 二 | 四 |
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万 | 千 | 百 | 十 | 步 |
下行的步、十、百、千、万分离出来变为算筹的位值标签;上行七一八二四成为十进位制数码。
然后将算筹码依次排在相应的位值标签步、十、百、千、万之下:
七 | 一 | 八 | 二 | 四 |
---|---|---|---|---|
万 | 千 | 百 | 十 | 步 |
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杨辉算草
[编辑]杨辉以七万一千八百二十四为例,列出详细算草。
算草分四行,被除数放在第二行,称为实,第一行是商,第四行为下法,第三行是廉。
将算筹放在第四行万字之下。
商 | |||||
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实 |
廉 | |||||
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下法 |
第一步先估计第一个商数得2,将安置在第一行百位置之上。
将上商2乘下法1,得数2,放在第三行。命上商除实,二二得四,从
万减去四万得
万。
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商 | ||||
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实 |
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廉 | ||||
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下法 |
求第二个商数:将上商乘下法二一得二,加入廉二,成为。
将廉数
(万)退一位成为
(千);将下法
退二位。
作减根变换 ,得
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商 | ||||
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实 |
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廉 | ||||
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下法 |
估第二位商数得6,将新商数6乘下法1(百)得6(百)并入廉。
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商 | |||
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实 |
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廉 | |||
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下法 |
从实除去商6乘廉46
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商 | |||
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实 | |
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廉 | |||
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下法 |
商数6乘下法1,并入廉
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商 | |||
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实 | |
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廉 | |||
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下法 |
廉数退一位,下法退二位,估第三位商得8;商乘下法并入廉
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商 | ||
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实 | |
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廉 | ||
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下法 |
从实除去商乘廉;净除。七万一千八百二十四的平方根是二百六十八。
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商 | ||
实 | |||||
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廉 | ||
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下法 |
用增乘开平方法可解得 。
参考文献
[编辑]引用
[编辑]来源
[编辑]- 钱宝琮:《增乘开方法的历史发展》,《李俨钱宝琮科学史全集》卷9 479-488页
参见
[编辑]
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