两个正实数 x 和y 的算术-几何平均数 定义如下:
首先计算x 的y 算术平均数 ,称其为a 1 。然后计算x 的y 几何平均数 ,称其为g 1 ;这是xy 的算术平方根 。
a
1
=
x
+
y
2
{\displaystyle a_{1}={\frac {x+y}{2}}}
g
1
=
x
y
.
{\displaystyle g_{1}={\sqrt {xy}}.}
然后重复这个步骤,这样便得到了两个数列 (a n )和(g n ):
a
n
+
1
=
a
n
+
g
n
2
{\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}}{2}}}
g
n
+
1
=
a
n
g
n
.
{\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {a_{n}g_{n}}}.}
这两个数列收敛 于相同的数,这个数称为x 和y 的算术-几何平均数 ,记为M(x , y ),或agm(x , y )。
例子
欲计算a 0 = 24和g 0 = 6的算术-几何平均数,首先算出它们的算术平均数和几何平均数:
a
1
=
24
+
6
2
=
15
,
{\displaystyle a_{1}={\frac {24+6}{2}}=15,}
g
1
=
24
×
6
=
{\displaystyle g_{1}={\sqrt {24\times 6}}=\,}
12
{\displaystyle 12}
然后进行迭代:
a
2
=
15
+
12
2
=
13.5
,
{\displaystyle a_{2}={\frac {15+12}{2}}=13.5,}
g
2
=
15
×
12
=
{\displaystyle g_{2}={\sqrt {15\times 12}}=\,}
13.416407864999
{\displaystyle 13.416407864999}
etc.
继续计算,可得出以下的值:
n
a n
g n
0
24
6
1
15
12
2
13.5
13.416407864999...
3
13.458203932499...
13.458139030991...
4
13.458171481745...
13.458171481706...
24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限,大约为13.45817148173。
性质
M(x , y )是一个介于x 和y 的算术平均数和几何平均数之间的数。
如果r > 0,则M(rx , ry ) = r M(x , y )。
M(x ,y )还可以写为如下形式:
M
(
x
,
y
)
=
π
4
⋅
x
+
y
K
(
x
−
y
x
+
y
)
{\displaystyle \mathrm {M} (x,y)={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}}
其中K (x )是第一类完全椭圆积分 。
1和
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
的算术-几何平均数的倒数,称为高斯常数 。
1
M
(
1
,
2
)
=
G
=
0.8346268
…
{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {M} (1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots }
存在性的证明
由算术几何不等式可得
g
n
⩽
a
n
{\displaystyle g_{n}\leqslant a_{n}}
因此
g
n
+
1
=
g
n
⋅
a
n
⩾
g
n
⋅
g
n
=
g
n
{\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geqslant {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}}
这意味着
{
g
n
}
{\displaystyle \{g_{n}\}}
是不降序列。同时,因为两个数的几何平均数是总是介于两个数之间,又可以得到该序列是有上界的(
x
,
y
{\displaystyle x,y}
中的较大者)。根据单调收敛定理 ,存在
g
{\displaystyle g}
使得:
lim
n
→
∞
g
n
=
g
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}=g}
然而,我们又有:
a
n
=
g
n
+
1
2
g
n
{\displaystyle a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}}
从而:
lim
n
→
∞
a
n
=
lim
n
→
∞
g
n
+
1
2
g
n
=
g
2
g
=
g
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g}
证毕。
关于积分表达式的证明
该证明由高斯首次提出[1] 。
令
I
(
x
,
y
)
=
∫
0
π
/
2
d
θ
x
2
cos
2
θ
+
y
2
sin
2
θ
,
{\displaystyle I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},}
将积分变量替换为
θ
′
{\displaystyle \theta '}
, 其中
sin
θ
=
2
x
sin
θ
′
(
x
+
y
)
+
(
x
−
y
)
sin
2
θ
′
,
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},}
于是可得
I
(
x
,
y
)
=
∫
0
π
/
2
d
θ
′
(
1
2
(
x
+
y
)
)
2
cos
2
θ
′
+
(
x
y
)
2
sin
2
θ
′
=
I
(
1
2
(
x
+
y
)
,
x
y
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}}
因此,我们有
I
(
x
,
y
)
=
I
(
a
1
,
g
1
)
=
I
(
a
2
,
g
2
)
=
⋯
=
I
(
M
(
x
,
y
)
,
M
(
x
,
y
)
)
=
π
/
(
2
M
(
x
,
y
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl )}.\end{aligned}}}
最后一个等式可由
I
(
z
,
z
)
=
π
/
(
2
z
)
{\displaystyle I(z,z)=\pi /(2z)}
推出。
于是我们便可得到算术几何平均数的积分表达式:
M
(
x
,
y
)
=
π
/
(
2
I
(
x
,
y
)
)
.
{\displaystyle M(x,y)=\pi /{\bigl (}2I(x,y){\bigr )}.}
参考文献
引用
来源
参见