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向量空间

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线性代数

向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵

向量空间是可以缩放和相加的(叫做向量的)对象的集合

向量空间是现代数学中的一个基本概念。是线性代数研究的基本对象。

向量空间的一个直观模型是向量几何,几何上的向量及相关的运算即向量加法,标量乘法,以及对运算的一些限制如封闭性结合律,已大致地描述了“向量空间”这个数学概念的直观形象。

在现代数学中,“向量”的概念不仅限于此,满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如,实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间,在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后,也构成向量空间,研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析

公理化定义[编辑]

给定FF上的向量空间V是一个集合,其上定义了两种二元运算

  • 向量加法 + : V × VV,把V中的两个元素 uv 映射到V中另一个元素,记作 u + v
  • 标量乘法 · : F × VV,把F中的一个元素 aV 中的一个元素u变为V中的另一个元素,记作 a ·u

V中的元素称为向量,相对地,F中的元素称为标量。

而集合V公理[1]才构成一个向量空间(对F中的任意元素ab以及V中的任意元素uvw都成立):

公理 说明
向量加法的结合律 u + (v + w) = (u + v) + w
向量加法的交换律 u + v = v + u
向量加法的单位元 存在一个叫做零向量的元素0V,使得对任意uV都满足u + 0 = u
向量加法的逆元素 对任意vV都存在其逆元素vV使得v + (−v) = 0
标量乘法与标量的域乘法相容 a(bv) = (ab)v
标量乘法的单位元 F存在乘法单位元1满足1v = v
标量乘法对向量加法的分配律 a(u + v) = au + av
标量乘法对域加法的分配律 (a + b)v = av + bv

前四个公理说明装备了向量加法的V交换群,余下的四个公理应用于标量乘法。需要注意的是向量之间的加法“+”和标量之间的加法“+”是不一样的,标量与向量之间的标量乘法·和两个标量之间的乘法(域F中自带的乘法)也是不一样的。

简而言之,向量空间是一个F

基本性质[编辑]

以下是一些可以从向量空间的公理直接推出的性质:

  • 零向量0是唯一的;
  • 对任意aFa · 0 = 0
  • 对任意uV,0 ·u = 0(0是F的加法单位元)。
  • 如果a ·u = 0,则要么a = 0,要么u = 0
  • 向量加法的向量v是唯一的,记作− vu + (− v)也可以写成u − v,两者都是标准的。
  • 对任意uV,−1 ·u = − u.
  • 对任意aF以及uV (−a) ·u=(a ·u) = a · (− u).

例子[编辑]

对一般域FV记为F-向量空间。若F实数域,则V称为实数向量空间;若F复数域,则V称为复数向量空间;若F有限域,则V称为有限域向量空间

最简单的F-向量空间是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法,标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域时,可以验证对任意实数ab以及任意实数uvw,都有:

  1. u + (v + w) = (u + v) + w
  2. v + w = w + v
  3. 零元存在:零元0满足:对任何的向量元素vv + 0 = v
  4. 逆元素存在:对任何的向量元素v,它的相反数w = −v就满足v + w = 0
  5. 标量乘法对向量加法满足分配律a(v + w) = a v + a w.
  6. 向量乘法对标量加法满足分配律(a + b)v = a v + b v.
  7. 标量乘法与标量的域乘法相容:a(bv) =(ab)v
  8. 标量乘法有单位元中的乘法单位元,也就是实数“1”满足:对任意实数v1v = v

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面:平面上的每一点都有一个坐标,并对应着一个向量。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间,记作ℝ²,因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组。可以验证,对于普通意义上的向量加法和标量乘法,ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上,向量空间是ℝ²的推广。

同样地,高维的欧几里得空间n也是向量空间的例子。其中的向量表示为,其中的都是实数。定义向量的加法和标量乘法是:

可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法,也构成一个向量空间。更广泛地,所有从实数域射到实数域的连续函数的集合也是向量空间,因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

方程组与向量空间[编辑]

向量空间的另一种例子是齐次线性方程组(常数项都是0的线性方程组)的解的集合。例如下面的方程组:

如果都是解,那么可以验证它们的“和”也是一组解,因为:

同样,将一组解乘以一个常数后,仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理,因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说,当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时,方程组有无限多组解,并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性微分方程,解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程:

出于和上面类似的理由,方程的两个解的和函数也满足方程。可以验证,这个方程的所有解构成一个向量空间。

子空间基底[编辑]

如果一个向量空间V的一个非空子集合W对于V的加法及标量乘法都封闭(也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中),那么将W称为V线性子空间(简称子空间)。V的子空间中,最平凡的就是空间V自己,以及只包含0的子空间

给出一个向量集合B,那么包含它的最小子空间就称为它的生成子空间,也称线性包络,记作span(B)。

给出一个向量集合B,若它的生成子空间就是向量空间V,则称BV的一个生成集。如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集,那么就称V是一个有限维空间。

可以生成一个向量空间V线性无关子集,称为这个空间的。若V={0},约定唯一的基是空集。对非零向量空间V,基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后,空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列:,那么空间中的每一个向量v便可以通过坐标系统来呈现:

这种表示方式必然存在,而且是唯一的。也就是说,向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明,一个向量空间的所有基都拥有相同基数,称为该空间的维度。当V是一个有限维空间时,任何一组基中的元素个数都是定值,等于空间的维度。例如,各种实数向量空间:ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ,…中, ℝn的维度就是n。在一个有限维的向量空间(维度是n)中,确定一组基,那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说,如果某个向量v表示为:

那么v可以用数组来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法,基中元素表示为:

可以证明,存在从任意一个n维的-向量空间到空间双射。这种关系称为同构。

线性映射[编辑]

给定两个系数域都是F的向量空间V和W,定义由V到W的线性变换(或称线性映射)为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f

所有线性变换的集合记为,这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后,中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空间V和W之间的一个线性映射是一一映射,那么这个线性映射称为(线性)同构,表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之间存在同构,那么称这两个空间为同构的。如果向量空间V和W之间存在同构,那么其逆映射也存在,并且对所有的,都有:

概念化及额外结构[编辑]

研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下:

参考文献[编辑]

  • 中国大百科全书
  • Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
  • Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
  • Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
  • Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
  • Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8
  • ^ Roman 2005, ch. 1, p. 27