向量空間

向量空間是可以縮放和相加的（叫做向量的）對象的集合。

向量空間是現代數學中的一個基本概念。是線性代數研究的基本對象。

向量空間的一個直觀模型是向量幾何，幾何上的向量及相關的運算即向量加法，標量乘法，以及對運算的一些限制如封閉性，結合律，已大致地描述了「向量空間」這個數學概念的直觀形象。

在現代數學中，「向量」的概念不僅限於此，滿足下列公理的任何數學對象都可被當作向量處理。譬如，實系數多項式的集合在定義適當的運算後構成向量空間，在代數上處理是方便的。單變元實函數的集合在定義適當的運算後，也構成向量空間，研究此類函數向量空間的數學分支稱為泛函分析。

公理化定義

給定體F，F上的向量空間V是一個集合，其上定義了兩種二元運算：

• 向量加法： + : V × V → V，把V中的兩個元素 u 和 v 映射到V中另一個元素，記作 u + v；
• 純量乘法： · : F × V → V，把F中的一個元素 a 和 V 中的一個元素u變為V中的另一個元素，記作 a ·u。

V中的元素稱為向量，相對地，F中的元素稱為純量。而V裝備的兩個運算滿足下面的公理（對F中的任意元素a、b以及V中的任意元素u、v、w都成立）：

1. 向量加法結合律：u + (v + w) = (u + v) + w,
2. 向量加法交換律：u + v = v + u，
3. 存在向量加法的單位元素：V裡存在一個叫做零向量的元素，記作0，使得對任意u ∈ V，都有u + 0 = u，
4. 向量加法的反元素：對任意u ∈ V，都存在v ∈ V,使得u + v = 0。
5. 純量乘法對向量加法滿足分配律：a · (v + w) = a ·v + a ·w.
6. 純量乘法對體加法滿足分配律：(a + b) ·v = a ·v + b ·v.
7. 純量乘法與純量的體乘法相容：a(b ·v) = (ab) ·v.
8. 純量乘法有單位元素：體F的乘法單位元素「1」滿足：對任意v，1 ·v = v。

前四個公理說明裝備了向量加法的V是交換群，餘下的四個公理應用於純量乘法。需要注意的是向量之間的加法「+」和純量之間的加法「+」是不一樣的，純量與向量之間的純量乘法·和兩個純量之間的乘法（體F中自帶的乘法）也是不一樣的。

簡而言之，向量空間是一個F−模。

基本性質

以下是一些可以從向量空間的公理直接推出的性質：

• 零向量0是唯一的；
• 對任意a ∈ F，a · 0 = 0；
• 對任意u ∈ V，0 ·u = 0（0是F的加法單位元素）。
• 如果a ·u = 0，則要麼a = 0，要麼u = 0。
• 向量加法的逆向量v是唯一的，記作− v。u + (− v)也可以寫成u − v，兩者都是標準的。
• 對任意u ∈ V，−1 ·u = − u.
• 對任意a ∈ F以及u ∈ V， (−a) ·u= −(a ·u) = a · (− u).

例子

對一般體F，V記為F-向量空間。若F是實數體ℝ，則V稱為實數向量空間；若F是複數體ℂ，則V稱為複數向量空間；若F是有限體，則V稱為有限體向量空間。

最簡單的F-向量空間是F自身。只要定義向量加法為體中元素的加法，純量乘法為體中元素的乘法就可以了。例如當F是實數體ℝ時，可以驗證對任意實數a、b以及任意實數u、v、w，都有：

1. u + (v + w) = (u + v) + w，
2. v + w = w + v，
3. 零元素存在：實數0滿足：對任何的實數v，v + 0 = v，
4. 反元素存在：對任何的實數v，它的相反數w = −v就滿足v + w = 0。
5. 純量乘法對向量加法滿足分配律：a(v + w) = a v + a w.
6. 向量乘法對純量加法滿足分配律：(a + b)v = a v + b v.
7. 純量乘法與純量的體乘法相容：a(bv) =(ab)v。
8. 純量乘法有單位元素：ℝ中的乘法單位元素，也就是實數「1」滿足：對任意實數v，1v = v。

更為常見的例子是給定了直角座標系的平面：平面上的每一點$P$$P$都有一個座標$P(x,y)$$P(x,y)$，並對應著一個向量$(x,y)$$(x, y)$。所有普通意義上的平面向量組成了一個空間，記作ℝ²，因為每個向量都可以表示為兩個實數構成的有序數組$(x,y)$$(x, y)$。可以驗證，對於普通意義上的向量加法和純量乘法，ℝ²滿足向量空間的所有公理。實際上，向量空間是ℝ²的推廣。

同樣地，高維的歐幾里得空間ℝⁿ也是向量空間的例子。其中的向量表示為$v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$$v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$，其中的$a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$$a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$都是實數。定義向量的加法和純量乘法是：

$\forall \lambda \in \mathbb {R} ,\,v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\,w=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$$\forall \lambda \in {\mathbb {R}},\,v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\in {\mathbb {R}}^{n},\,w=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in {\mathbb {R}}^{n}$， $v+w=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})$$v+w=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})$ $\lambda v=\lambda (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})$$\lambda v=\lambda (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})$

可以驗證這也是一個向量空間。

再考慮所有係數為實數的多項式的集合$\mathbb {R} [X]$${\mathbb {R}}[X]$。對於通常意義上的多項式加法和純量乘法，$\mathbb {R} [X]$${\mathbb {R}}[X]$也構成一個向量空間。更廣泛地，所有從實數體射到實數體的連續函數的集合${\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$${\mathcal {C}}({\mathbb {R}},{\mathbb {R}})$也是向量空間，因為兩個連續函數的和或差以及連續函數的若干倍都還是連續函數。

方程組與向量空間

向量空間的另一種例子是齊次線性方程組（常數項都是0的線性方程組）的解的集合。例如下面的方程組：

$3x+2y-z=0$$3x+2y-z=0$

$x+5y+2z=0$$x+5y+2z=0$

如果$(x_{1},y_{1},z_{1})$$(x_{1},y_{1},z_{1})$和$(x_{2},y_{2},z_{2})$$(x_{2},y_{2},z_{2})$都是解，那麼可以驗證它們的「和」$(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$$(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$也是一組解，因為：

$3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0$$3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0$

$(x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0$$(x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0$

同樣，將一組解乘以一個常數後，仍然會是一組解。可以驗證這樣定義的「向量加法」和「純量乘法」滿足向量空間的公理，因此這個方程組的所有解組成了一個向量空間。

一般來說，當齊次線性方程組中未知數個數大於方程的個數時，方程組有無限多組解，並且這些解組成一個向量空間。

對於齊次線性微分方程，解的集合也構成向量空間。比如說下面的方程：

$f''+4xf'+\cos(x)f=0$$f''+4xf'+\cos(x)f=0$

出於和上面類似的理由，方程的兩個解$f_{1}$$f_{1}$和$f_{2}$$f_{2}$的和函數$f_{1}+f_{2}$$f_{1}+f_{2}$也滿足方程。可以驗證，這個方程的所有解構成一個向量空間。

子空間基底

如果一個向量空間V的一個非空子集合W對於V的加法及標量乘法都封閉（也就是說任意W中的元素相加或者和純量相乘之後仍然在W之中），那麼將W稱為V的線性子空間（簡稱子空間）。V的子空間中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空間${0}$${0}$。

給出一個向量集合B，那麼包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也稱線性包絡，記作span(B)。

給出一個向量集合B，若它的生成子空間就是向量空間V，則稱B為V的一個生成集。如果一個向量空間V擁有一個元素個數有限的生成集，那麼就稱V是一個有限維空間。

可以生成一個向量空間V的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V={0}，約定唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V「最小」的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。確定了向量空間的一組基B之後，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能夠把基中元素按下標排列：$\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots \right\}$${\mathbf {B}}=\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots \right\}$，那麼空間中的每一個向量v便可以通過座標系統來呈現：

$v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots$$v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots$

這種表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是說，向量空間的基提供了一個座標系。

可以證明，一個向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。當V是一個有限維空間時，任何一組基中的元素個數都是定值，等於空間的維度。例如，各種實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ^∞,…中， ℝⁿ的維度就是n。在一個有限維的向量空間（維度是n）中，確定一組基$\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\}$${\mathbf {B}}=\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\}$，那麼所有的向量都可以用n個純量來表示。比如說，如果某個向量v表示為：

$v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}$$v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}$

那麼v可以用數組$v=(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})$$v=(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})$來表示。這種表示方式稱為向量的座標表示。按照這種表示方法，基中元素表示為：

$e_{1}=(1,0,\cdots ,0)$$e_{1}=(1,0,\cdots ,0)$ $e_{2}=(0,1,\cdots ,0)$$e_{2}=(0,1,\cdots ,0)$ $e_{n}=(0,0,\cdots ,1)$$e_{n}=(0,0,\cdots ,1)$

可以證明，存在從任意一個n維的$\mathbf {F}$$\mathbf {F}$-向量空間到空間$\mathbf {F} ^{n}$${\mathbf {F}}^{n}$的對射。這種關係稱為同構。

線性映射

給定兩個係數體都是F的向量空間V和W,定義由V到W的線性變換（或稱線性映射）為所有從V射到W並且它保持向量加法和純量乘法的運算的函數f：

$f:\,V\rightarrow W$$f:\,V\rightarrow W$ $\forall a\in F,u,v\in V,\,f(u+v)=f(u)+f(v),\,f(a\cdot v)=a\cdot f(v)$$\forall a\in F,u,v\in V,\,f(u+v)=f(u)+f(v),\,f(a\cdot v)=a\cdot f(v)$

所有線性變換的集合記為${\mathcal {L}}(V,W)$${\mathcal {L}}(V,W)$，這也是一個係數體為F的向量空間。在確定了V和W上各自的一組基之後，${\mathcal {L}}(V,W)$${\mathcal {L}}(V,W)$中的線性變換可以通過矩陣來表示。

如果兩個向量空間V和W之間的一個線性映射是一一映射，那麼這個線性映射稱為（線性）同構，表示兩個空間構造相同的意思。如果在V和W之間存在同構，那麼稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之間存在同構$f:\,V\rightarrow W$$f:\,V\rightarrow W$，那麼其逆映射$g:\,W\rightarrow V$$g:\,W\rightarrow V$也存在，並且對所有的$x\in V,\,y\in W$$x\in V,\,y\in W$，都有：

$g\circ f(x)=x,\,f\circ g(y)=y$$g\circ f(x)=x,\,f\circ g(y)=y$

概念化及額外結構

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：

• 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為賦範向量空間。
• 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。
• 一個向量空間加上拓撲結構並滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為拓撲向量空間。
• 一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為體代數。

參考文獻

• 《中國大百科全書》
• Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
• Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
• Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
• Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
• Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8