扭棱小星形十二面体
类别 | 均匀星形多面体 | |||
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对偶多面体 | 中五角六十面体 | |||
识别 | ||||
名称 | 扭棱小星形十二面体 Snub dodecadodecahedron | |||
参考索引 | U40, C49, W111 | |||
鲍尔斯缩写 | siddid | |||
数学表示法 | ||||
考克斯特符号 | [1] | |||
施莱夫利符号 | sr{5⁄2,5} | |||
威佐夫符号 | | 2 5⁄2 5[2][3] | |||
性质 | ||||
面 | 84 | |||
边 | 150 | |||
顶点 | 60 | |||
欧拉特征数 | F=84, E=150, V=60 (χ=-6) | |||
组成与布局 | ||||
面的种类 | 20个正三角形 12个正五边形 12个正五角星 | |||
顶点图 | 3.3.5⁄2.3.5 | |||
对称性 | ||||
对称群 | Ih, [5,3]+, 532 | |||
图像 | ||||
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在几何学中,扭棱小星形十二面体是一种星形均匀多面体,索引为U40,由60个三角形面、12个正五边形面和12个正五角星面组成[4][5],且有12组正五边形面和正五角星面互相平行[6]:174,为小星形十二面体经扭棱变换后的结果,具有二十面体群对称性[4][7][8][3]。 扭棱小星形十二面体的对偶多面体为中五角六十面体[2],并与反扭棱小星形十二面体拓朴同构[9]。
性质
[编辑]扭棱小星形十二面体一共有84个面、150条边和60个顶点[3]。在其84个面中,有60个正三角形面、12个正五边形面和12个五角星面[4][5],换句话说,具有3条边的面共60个且具有5条边的面共24个[10]。其12个正五边形面和12个五角星面中,有12组正五边形面和五角星面互相平行,这与截半大十二面体非常类似。[6]:174其60个顶点每个顶点都是1个十角星、1个五角星和3个三角形的公共顶点,并且这些面在顶都周围皆是依照五角星、三角形、五边形、三角形、三角形和三角形的顺序排列,在顶点图中可以用(5⁄2,3,5,3,3)[11]或(3.3.5⁄2.3.5)[4]来表示。
表示法
[编辑]扭棱小星形十二面体在考克斯特—迪肯符号中可以表示为(s5⁄2s5s)[1],在施莱夫利符号中可以表示为sr{5⁄2,5},在威佐夫记号中可以表示为| 2 5⁄2 5。[2][3][12][13][4][10][5]
尺寸
[编辑]若扭棱小星形十二面体的边常为单位长,则其外接球半径为多项式之较大正实根(约为1.6242)的平方根[8],约为1.27443994[14]:
顶点座标
[编辑]- (±2α, ±2, ±2β),
- (±(α+β/τ+τ), ±(-ατ+β+1/τ), ±(α/τ+βτ-1))、
- (±(-α/τ+βτ+1), ±(-α+β/τ-τ), ±(ατ+β-1/τ))、
- (±(-α/τ+βτ-1), ±(α-β/τ-τ), ±(ατ+β+1/τ)) 与
- (±(α+β/τ-τ), ±(ατ-β+1/τ), ±(α/τ+βτ+1)),
带有偶数个正号,其中
- β = (α2/τ+τ)/(ατ−1/τ),
当中的 τ = (1+√5)/2为黄金比例且 α是多项式τα4−α3+2α2−α−1/τ的正实根,约为0.7964421。 若上述座标使用奇置换并带有奇数个正号的话,则会得到扭棱小星形十二面体的另一种形式,即另一种形式的对映体。
参见
[编辑]参考文献
[编辑]- ^ 1.0 1.1 Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. (原始内容存档于2018-07-07).
- ^ 2.0 2.1 2.2 Weisstein, Eric W. (编). Snub Dodecadodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
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- ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #45, snub dodecadodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. (原始内容存档于2022-08-14).
- ^ 5.0 5.1 5.2 Robert Whittaker. The Snub Dodecadodecahedron. polyhedra.mathmos.net. [2022-08-14]. (原始内容存档于2021-09-22).
- ^ 6.0 6.1 Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. (原始内容存档于2021-08-31).
- ^ Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). 2004-10 [2022-08-14]. (原始内容存档于2014-04-02).
- ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 David I. McCooey. Self-Intersecting Snub Quasi-Regular Polyhedra: Snub Dodecadodecahedron. [2022-08-14]. (原始内容存档于2022-02-14).
- ^ Richard Klitzing. siddid, snub dodecadodecahedron. bendwavy.org. [2022-08-14]. (原始内容存档于2022-08-17).
- ^ 10.0 10.1 V.Bulatov. snub dodecadodecahedron. [2022-08-14]. (原始内容存档于2021-02-28).
- ^ Jim McNeill. Augmenting the snub dodecadodecahedron. orchidpalms.com. [2022-08-14]. (原始内容存档于2016-03-06).
- ^ George W. Hart. Uniform Polyhedra --- List. 1996 [2022-08-14]. (原始内容存档于2018-09-19).
- ^ Adrian Rossiter. snub dodecadodecahedron. antiprism.com. [2022-08-14]. (原始内容存档于2022-08-14).
- ^ Eric W. Weisstein. Snub Dodecadodecahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-26 [2022-08-14]. (原始内容存档于2021-12-07).