平方數

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數學上,平方數,或稱完全平方數,是指可以寫成某個整數平方的數,即其平方根為整數的數。例如,9 = 3 × 3,它是一個平方數。

平方數也稱正方形數,若 n 為平方數,將 n 個點排成矩形,可以排成一個正方形

若將平方數概念擴展到有理數,則兩個平方數的比仍然是平方數,例如, (2 × 2) / (3 × 3) = 4/9 = 2/3 × 2/3。

若一個整數沒有除了 1 之外的平方數為其因數,則稱其為無平方數因數的數

舉例[編輯]

最小的51個平方數為(OEIS中的數列A000290):

02 = 0

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500

表達式[編輯]

一個整數是完全平方數當且僅當相同數目的點能夠在平面上排成一個正方形的點陣,使得每行每列的點都一樣多。

12 = 1 Square number 1.png
22 = 4 Square number 4.png
32 = 9 Square number 9.png
42 = 16 Square number 16.png
52 = 25 Square number 25.png
  • 通項公式

對於一個整數 n,它的平方寫成 n2n2等於頭 n 個正奇數的和()。在上圖中,從1開始,第 n 個平方數表示為前一個平方數加上第 n 個正奇數,如 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 16 + 9。即第五個平方數25等於第四個平方數16加上第五個正奇數:9。

  • 遞歸公式

每個平方數可以從之前的兩個平方數計算得到,遞推公式為 。例如,2×52 − 42 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62

  • 連續整數的和

平方數還可以表示成 n2 = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n。例如,42 = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以將其解釋為在邊長為 3 的矩形上添加寬度為 1 的一行和一列,即得到邊長為 4 的矩形。這對於計算較大的數的平方數非常有用。例如, 522 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

性質[編輯]

  • 四平方和定理說明所有正整數均可表示為最多四個平方數的和。特別的,三個平方數之和不能表示形如 4k(8m + 7) 的數。若一個正整數可以表示因數中沒有形如 4k + 3 的素數的奇次方,則它可以表示成兩個平方數之和。
  • 十進制中,平方數只能以 00,1,4,6,9 或 25 結尾:
  1. 若一個數以 0 結尾,它的平方數以 00 結尾,且其他數字也構成一個平方數
  2. 若一個數以 1 或 9 結尾,它的平方數以 1 結尾,且其他數字構成的數能被 4 整除
  3. 若一個數以 2 或 8 結尾,它的平方數以 4 結尾,且其他數字構成一個偶數
  4. 若一個數以 3 或 7 結尾,它的平方數以 9 結尾,且其他數字構成的數能被 4 整除
  5. 若一個數以 4 或 6 結尾,它的平方數以 6 結尾,且其他數字構成一個奇數
  6. 若一個數以 5 結尾,它的平方數以 25 結尾,且前面的一位或兩位數字數字必定為 0,2,06,56 之一,25前面的數是普洛尼克數
  • 每4個連續的自然數相乘加 1,必定會等於一個平方數,即 a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 = (a2 + 3a + 1)2
  • 平方數必定是3的倍數或者3的倍數+1。
  • 平方數必定是4的倍數或者4的倍數+1。
  • 是否在相繼正方形數之間存在一個素數這一命題,對9000000以內的數目是正確的。[1]
  • 除了000以外,平方數末3位數若相同,必為444:如382=1444,4622=213444。
  • 除了0000以外,平方數末4位數不可能相同。

註釋[編輯]

  1. ^ 《數論妙趣》267頁[美國]阿爾伯特-貝勒著 談祥柏譯,上海教育出版社,ISBN 9787532054732

參看[編輯]