經驗分布函數

經驗分布函數（英語：empirical distribution function）是統計學中一個與樣本經驗測度有關的分布函數。該累積分布函數是在所有 $n$ 個數據點上都跳躍 $1/ n$ 的階躍函數。對被測變量的某個值而言，該值的分布函數值表示所有觀測樣本中小於或等於該值的樣本所占的比例。

經驗分布函數是對用於生成樣本的累積分布函數的估計。根據Glivenko–Cantelli定理（英語：Glivenko–Cantelli_theorem）可以證明，經驗分布函數以概率1收斂至這一累積分布函數。

定義

令 $(x 1, \dots, x n)$ 為獨立同分布的的實隨機變量，它們共同的累積分布函數為 $F (t)$ 。於是，經驗分布函數可定義為 ^[1]^[2]

{\hat {F}}_{n}(t)={\frac {{\mbox{number of elements in the sample}}\leq t}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{x_{i}\leq t},

其中 $\mathbf {1} _{A}$ 為事件 $A$ 的指示函數。對給定的 $t$ ， $\mathbf {1} _{x_{i}\leq t}$ 是 $p = F (t)$ 時的伯努利隨機變量。因而 $n{\hat {F}}_{n}(t)$ 則是期望為 $nF (t)$ 、方差為 $nF (t)(1 - F (t))$ 的二項隨機變量。這意味着 ${\hat {F}}_{n}(t)$ 是 $F (t)$ 的無偏估計。

不過，有些文獻中亦會將經驗分布函數定義為^[3]^[4]

{\hat {F}}_{n}(t)={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{x_{i}\leq t}.

參考文獻

^ van der Vaart, A.W. Asymptotic statistics. Cambridge University Press. 1998: 265. ISBN 0-521-78450-6.
^ PlanetMath 網際網路檔案館的存檔，存檔日期May 9, 2013，.
^ Coles, S. (2001) An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer, p. 36, Definition 2.4. ISBN 978-1-4471-3675-0.
^ Madsen, H.O., Krenk, S., Lind, S.C. (2006) Methods of Structural Safety. Dover Publications. p. 148-149. ISBN 0486445976

[vdv265-1] van der Vaart, A.W. Asymptotic statistics. Cambridge University Press. 1998: 265. ISBN 0-521-78450-6.

[2] PlanetMath 網際網路檔案館的存檔，存檔日期May 9, 2013，.

[3] Coles, S. (2001) An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer, p. 36, Definition 2.4. ISBN 978-1-4471-3675-0.

[4] Madsen, H.O., Krenk, S., Lind, S.C. (2006) Methods of Structural Safety. Dover Publications. p. 148-149. ISBN 0486445976

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