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階乘

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階乘,定義於整個實數(負整數除外)。
例如:

一個正整數的階乘英語:factorial)是所有小於及等於該數的正整數,並且有0的階乘為1。自然數n的階乘寫作n!。1808年,基斯頓·卡曼引進這個表示法。

亦即n!=1×2×3×...×n。階乘亦可以遞迴方式定義:0!=1,n!=(n-1)!×n。

階乘亦可定義於整個實數(負整數除外),其與伽瑪函數的關係為:

n!可質因子分解,如6!=24×32×51[1]

計算[編輯]

計算n!時,當n不太大時,普通的科學計算機都可以計算,能夠處理不超過數值的計算機可以計算至69!。

當n很大時,可以用斯特林公式估計:
更精確的估計是:
其中

階乘高精度計算編程[編輯]

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
int main(void)        /*高精度计算阶乘C++代码,含阶乘结果位数及末尾0数量统计*/
{
  unsigned long c=100000,i=0,j=0,k,M=0,N;
  cout<<"请输入阶乘数字(不超过40000):",cin>>N;   /*计算20000!耗时0.483秒*/
  long *a=new long [k=N];
  for(*a=1;++i<N;k?j+=(k/=5):0)a[i]=0;
  for(printf("尾数:%ld个0 位数:",j);N;j?a[++M]=j:0,N--)for(i=j=0;i<=M;i++)a[i]=(j+=a[i]*N)%c,j/=c;
      for(j=a[M],cout<<M*5+(j>9999?5:j>999?4:j>99?3:j>9?2:1)<<endl<<j;M;)printf("%05ld",a[--M]);
  delete []a;
  cin.ignore(),cin.ignore();
  return 0;
}

變化[編輯]

定義擴展[編輯]

階乘的定義可推廣到複數,其與伽瑪函數的關係為:

伽瑪函數滿足

遞進/遞降階乘[編輯]

  • 遞進階乘:
  • 遞降階乘:

雙階乘[編輯]

表示雙階乘,其定義為:

廣義的雙階乘[編輯]

無視上述定義的n!!因為即使值的N,雙階乘為奇數可擴展到最實數和複數z的注意到,當z是一個正的奇數則:

獲得的表達接受一個以上公式並表示在條件發生的階乘函數的γ既可以看出(使用乘法定理)等同於一個給定在這裡。

z!!定義為所有複數除負偶數。

使用它的定義,半徑為R的n維超球其體積可表示為:

n=1,3,5,...
n=2,4,6,...

多重階乘[編輯]

被稱為n的k重階乘,定義為:

廣義的多重階乘[編輯]

能將多重階乘推廣到複數(甚至是四元數

四次階乘[編輯]

所謂的四次階乘(又稱四重階乘) 不是 n!(4),而是 (2n)!/n!,前幾個四次階乘

1, 2, 12, 120, 1680, 30240, 665280, ... (OEIS中的數列A001813).

它也等於

hyper階乘[編輯]

hyper階乘(hyperfactorial有時譯作過度階乘)寫作H(n),其定義為:

hyper階乘和階乘差不多,但產生更大的數。hyper階乘的增長速度卻並非跟一般階乘在大小上相差很遠。 前幾項的hyper階乘為:

1, 4, 108, 27648, 86400000,...... (OEIS中的數列A002109).

超級階乘[編輯]

1995年,尼爾·斯洛恩西蒙·普勞夫定義了超級階乘(superfactorial)為首n個階乘的積。即sf(n)=1!×2!×3!×...×n!(OEIS:A000178)。一般來說

另一種定義[編輯]

柯利弗德·皮寇弗在他的書Key to Infinity定義了另一個超級階乘,寫作實際上應該是!和S重疊在一起):(4)表示hyper4,使用高德納箭號表示法。這個數列:

1
2
,讀作6個6重冪。
= ,一直寫24個24,讀作24個24重冪。

質數階乘[編輯]

質數階乘是所有小於或等於該數且大於或等於2的質數的積,自然數n的質數階乘,寫作n#。

目前質數階乘只能用遞迴方式定義,因為尚未找到一個能用基本函數表示所有質數函數或一條包含所有質數曲線

一般情況下質數階乘定義為:

其中, π(n)質數計數函數OEIS中的數列A000720),小於或等於某個實數n的質數的個數的函數≤n

自然數階冪[編輯]

階冪也稱疊冪或者重冪記作(感嘆號!寫在自然數的右上角),它的定義是將自然數1至n的數由大到小作冪指數重疊排列,數學定義如下:

其中n ≥ 1,前幾項的重冪數為:

1 , 2 , 9 , 262144 , ...

第5個重冪數是一個有183231位阿拉伯數字組成的超大自然數。[2]

二次階冪:

相應地,m次階冪定義如下:

其中nm≥1,且nmZ

符號史[編輯]

  • 瑞士數學家歐拉(Euler, L.)於1751年用大寫字母表示階乘
  • 意大利數學家魯菲尼(Ruffini, P.)在1799年出版的方程著述中,用小寫字母表示階乘。
  • 德國數學家高斯(Gauss, C.F)於1818年則用表示n階乘。
  • 用符號表示階乘的方法起源於英國,尚不能確定其創始人,1827年,由雅來特(Jarrett)的建議得以流行,現代有時亦用此階乘符號。
  • 現在通用的階乘符號是法國數學家克拉姆(Kramp, C.)於1808年最先提出來的,後經德國數學家、物理學家格奧爾格·歐姆(Ohm, M.)等人的倡議而流行起來,直用到現在。

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ 潘承洞. 數論基礎. 
  2. ^ http://ideone.com/gRKLir