# 階乘

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\quad \forall n\geq 1}$

${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt}$

n!可質因子分解${\displaystyle \prod _{p\leq n}p^{\sum _{r=1}^{n}[{\frac {n}{p^{r}}}]}}$，如6!=24×32×51[1]

## 變化

### 定義擴展

${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t.\!}$

### 遞進/遞降階乘

• 遞進階乘：${\displaystyle (x)_{n}=x^{\overline {n}}=x(x+1)...(x+n-1)}$
• 遞降階乘：${\displaystyle x^{\underline {n}}=x(x-1)...(x-n+1)}$
• ${\displaystyle x^{\overline {n}}=(-1)^{n}(-x)^{\underline {n}}}$

### 雙階乘

${\displaystyle n!!}$表示雙階乘，其定義為： ${\displaystyle (2n-1)!!=1\times 3\times 5\times 7\times \cdots \times (2n-1)}$

${\displaystyle (2n)!!=2\times 4\times 6\times 8\times \cdots \times (2n)=2^{n}n!}$

### 廣義的雙階乘

${\displaystyle z!!=z(z-2)\cdots (3)=2^{\frac {z-1}{2}}\left({\frac {z}{2}}\right)\left({\frac {z-2}{2}}\right)\cdots \left({\frac {3}{2}}\right)=2^{\frac {z-1}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {z}{2}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}+1\right)}}={\sqrt {\frac {2^{z+1}}{\pi }}}\Gamma \left({\frac {z}{2}}+1\right)\,.}$

z!!定義為所有複數除負偶數。

${\displaystyle V_{n}={\frac {2(2\pi )^{\frac {n-1}{2}}}{n!!}}R^{n}.}$ n=1,3,5,...
${\displaystyle V_{n}={\frac {(\pi )^{\frac {n}{2}}}{{\frac {n}{2}}!}}R^{n}.}$ n=2,4,6,...

### 多重階乘

${\displaystyle n!^{(k)}}$被稱為n的k重階乘，定義為：

${\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n

### 廣義的多重階乘

${\displaystyle z!^{(k)}=z(z-k)\cdots (k+1)=k^{\frac {z-1}{k}}\left({\frac {z}{k}}\right)\left({\frac {z-k}{k}}\right)\cdots \left({\frac {k+1}{k}}\right)=k^{\frac {z-1}{k}}{\frac {\Gamma \left({\frac {z}{k}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right)}}\,.}$

### 四次階乘

1, 2, 12, 120, 1680, 30240, 665280, ....

{\displaystyle {\begin{aligned}2^{n}{\frac {(2n)!}{n!2^{n}}}&=2^{n}{\frac {(2\cdot 4\cdots 2n)[1\cdot 3\cdots (2n-1)]}{2\cdot 4\cdots 2n}}\\[8pt]&=(1\cdot 2)\cdot (3\cdot 2)\cdots [(2n-1)\cdot 2]=(4n-2)!^{(4)}.\end{aligned}}}

### hyper階乘

hyper階乘（hyperfactorial有時譯作過度階乘）寫作H（n），其定義為：

${\displaystyle H(n)=\prod _{k=1}^{n}k^{k}=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}\cdot n^{n}}$

hyper階乘和階乘差不多，但產生更大的數。hyper階乘的增長速度卻並非跟一般階乘在大小上相差很遠。 前幾項的hyper階乘為：

1, 4, 108, 27648, 86400000, ...

### 超級階乘

1995年，尼爾·斯洛恩西蒙·普勞夫定義了超級階乘（superfactorial）為首n個階乘的積。即sf(n)=1!×2!×3!×...×n!。一般來說

${\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}$

#### 另一種定義

${\displaystyle 1\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=1}$
${\displaystyle 2\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=2^{2}=4}$
${\displaystyle 3\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=6\uparrow \uparrow 6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}}$，讀作6個6重冪。
${\displaystyle 4\mathrm {S} \!\!\!\!\!\;\,{!}=(4!)\uparrow \uparrow (4!)=24\uparrow \uparrow 24}$ = ${\displaystyle {\begin{matrix}{24_{}^{24^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{24}}}}}}}\\\end{matrix}}}$，一直寫24個24，讀作24個24重冪。

### 質數階乘

${\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#}$

### 自然數階冪

${\displaystyle n^{!}=n^{{(n-1)}^{!}}=n_{}^{(n-1)^{{(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3}^{{2}^{1}}}}}}}}}$

1 , 2 , 9 , 262144 , ...

${\displaystyle n^{!!}=n^{{!}^{2}}={n^{{!}{(n-1)^{{!}{{(n-2)}^{{!}{{.}^{{.}^{{.}^{3^{{!}{2^{{!}{1^{!}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle n^{{!}^{m}}=n^{{!}^{(m-1)}{(n-1)}^{!^{m}}}={n^{{!^{(m-1)}}{(n-1)^{{!^{(m-1)}}{{(n-2)}^{{!^{(m-1)}}{{.}^{{.}^{{.}^{3^{{!^{(m-1)}}{2^{{!^{(m-1)}}{1^{!^{(m-1)}}}}}}}}}}}}}}}}}$

## 符號史

• 瑞士數學家歐拉（Euler, L.）於1751年用大寫字母${\displaystyle M}$表示${\displaystyle m}$階乘${\displaystyle M=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot m}$
• 意大利數學家魯菲尼（Ruffini, P.）在1799年出版的方程著述中，用小寫字母${\displaystyle \pi }$表示${\displaystyle m}$階乘。
• 德國數學家高斯（Gauss, C.F）於1818年則用${\displaystyle \Pi (n)}$表示n階乘。
• 用符號${\displaystyle {\underline {\mid n}}}$表示${\displaystyle n}$階乘的方法起源於英國，尚不能確定其創始人，1827年，由雅來特（Jarrett）的建議得以流行，現代有時亦用此階乘符號。
• 現在通用的階乘符號${\displaystyle n!}$是法國數學家克拉姆（Kramp, C.）於1808年最先提出來的，後經德國數學家、物理學家格奧爾格·歐姆（Ohm, M.）等人的倡議而流行起來，直用到現在。

## 參考文獻

1. ^ 潘承洞. 數論基礎.
2. ^ http://ideone.com/gRKLir
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