割圓連比例

割圓連比例是清代級數理論的幾何學基礎，最先由明安圖在《割圜密率捷法》卷三、四《法解》中闡明，其後經董祐誠、項名達等數學家的工作而趨於完善。。割圓連比例的中心問題是已知圓弧長度，如何求弦長及矢高，或已知弦長、矢高，如何求得弧長。割圓連比例中心方法是結合由西方傳入的連比例方法，結合傳統中算方法，將圓弧分割成多等分，畫出多條矢，然後構造一系列相似三角形獲得一系列連比例式，再將圓弧分割越細，以折線逼近弧線，求得弧長。

歷史背景

1701年，法國耶穌會傳教士杜德美（Pierre Jartoux 1668年至1720年）來到中國，他帶來了由艾薩克·牛頓和J.格雷戈里創建的三個三角函數無窮級數

$\pi =3\left(1+{\frac {1}{4\cdot 3!}}+{\frac {3^{2}}{4^{2}\cdot 5!}}+{\frac {3^{2}\cdot 5^{2}}{4^{3}\cdot 7!}}+\cdots \right)$

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$

$\operatorname {vers} x={\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$

這些計算π的「捷法」只涉及乘法和加減運算，速度遠超傳統劉徽割圓術涉及的平方根計算，因而激起了中國數學家的極大興趣。然而杜德美沒有將推導這些無窮級數的方法帶來中國。明安圖懷疑西方人不願分享他們的秘密，於是他着手進行這項工作，前後歷時30年，完成了書稿《割圜密率捷法》，他在書中創建幾何模型用於獲得三角函數無窮級數，不僅推出杜德美的三個無窮級數，還發現了六個新的無窮級數。在這個過程中，他發現和應用卡塔蘭數。

連比例

連比例圖

如圖一 ABC,BCD,CDE,DEF,FDG…… 是一系列相似三角形，於是。

AB:BC=BC:CD=CD:EF=EF:DF=DF:DG;

• AB為第一率，以$\phi _{1}$表示
• BC為第二率，以$\phi _{2}$ 表示
• BC為第二率，以$\phi _{2}$ 表示
• CD為第三率，以$\phi _{3}$ 表示
• DE為第四率，以$\phi _{4}$ 表示
• EF為第五率，以$\phi _{5}$ 表示
• FG為第六率，以$\phi _{6}$ 表示
• ……
• 第m率：$\phi _{m}$

於是：

$\phi _{6}=k*\phi _{5}$

$\phi _{5}=k*\phi _{4}$

$\phi _{4}=k*\phi _{3}$

$\phi _{3}=k*\phi _{2}$

$\phi _{2}=k*\phi _{1}$

$\phi _{m}=k^{m-1}*\phi _{1}$

$\phi _{m}$……$\phi _{6}:\phi _{5}:\phi _{4}:\phi _{3}:\phi _{2}:\phi _{1}=k^{m-1}:k^{m-2}$……$k^{5}:k^{4}:k^{3}:k^{2}:k:k^{0}$

又： ${\frac {\phi _{m}*\phi _{n}}{\phi _{p}}}=(m+n-p-q)*\phi _{q}$

明安圖割圓連比例

圖一 明安圖一弦二矢割圓連比例圖

圖二 明安圖發現卡塔蘭數 《割圜密率捷法》卷三

由二分弧通弦率數求全弧通弦率數法

如圖BCD為全弧，AB=AC=AD=為半徑,令半徑=1；BD為通弦，BC、CD為1/2 分弧。作BG=BC=x,作直線CG;又作DH=DC,連CH直線。因此，

$BD=2*x-GH$

作EJ=EF,FK=FJ；延長BE直線至L，並令EL=BE;作BF=BE,使F在AE線上。連BF延長至M，並BF=MF；連LM，顯然LM通過C點。將三角形BLM以BM為軸反轉成三角形BMN,C點重合G，L點重合N。將三角形NGB以BN為軸反轉至BMI；顯然BI=BC。

$AB:BC:CI=1:x:x^{2}$

作CG之平分線BM，並令BM=BC；連GM、CM；作CO=CM交BM於O;作MP=MO；作NQ=NR，R為BN與AC之交點。∠EBC=1/2 ∠CAE=1/2 ∠EAB;$\therefore$ ∠EBM=∠EAB;於是得到一系列相似三角形：ABE,BEF,FJK,BLM,CMO,MOP,CGH,而且三角形CMO=三角形EFJ;於是得:

• 連比第一率:AB=AC=AD=AE
• 連比第二率：BE=BC=BF=C
• 連比第三率:EF=CM
• 連比第四率:FJ
• 連比第五率:JK=OP

$AB:BE:EF:FJ:JK=1:p:p^{2}:p^{3}:p^{4}$

1:BE=BE:EF；即$EF=BE^{2}$

$1:BE^{2}=x:GH$

於是$GH=x*BE^{2}=x*p^{2}$,

即$BD=2*x-x*p^{2}$

因為 風箏形ABEC 與BLIN相似，。

$EF=LC=CM=MG=NG=IN$

$LM+MN=CM+MN+IN=CI+OP=JK+CI$

$\therefore AB:(BE+EC)=BL:(LM+MN)$ 即 $AB:BL=BL:(CI+JK)$

令$BL=q$

$AB:BL:(CI+JK)=1:q:q^{2}$

$JK=p^{4}$

$CI=y^{2}$

$CI+JK=q^{2}=BL^{2}=(2BE)^{2}=(2p)^{2}=4p^{2}$

由此得$q^{2}=4p^{2}$ 或$p={\frac {q}{2}}$

又$CI+JK=x^{2}+p^{4}=q^{2}$,代人p值得：

$x^{2}+{\frac {q^{4}}{16}}=q^{2}$,於是

$x^{2}=q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}}$

上式平方之，兩邊除以16：

${\frac {(x^{2})^{2}}{16}}={\frac {(q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}})^{2}}{16}}=\sum _{j=0}^{2}(-1)^{j}*{2 \choose j}*{\frac {q^{2*(2+j)}}{16^{j}}}$

即${\frac {x^{4}}{16}}={\frac {q^{4}}{16}}-{\frac {q^{6}}{128}}+{\frac {q^{8}}{4096}}{16}$

依次類推

${\frac {x^{2n}}{16^{n-1}}}=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}*{n \choose j}*{\frac {q^{2*(n+j)}}{16^{n+j-1}}}$。

將下列二式相加，可以消去$q^{4}$項：

$x^{2}=q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}}$

${\frac {x^{4}}{16}}={{\frac {q^{4}}{16}}-{\frac {2*q^{6}}{16^{2}}}+{\frac {q^{8}}{4096}}}{16}$

$x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}=q^{2}-{\frac {q^{6}}{128}}+*{\frac {q^{8}}{4096}}$

同理

$x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}+{\frac {2*x^{6}}{16^{2}}}=q^{2}-{\frac {5*q^{8}}{4096}}+{\frac {3*q^{10}}{32768}}-{\frac {q^{12}}{524288}}$,

.......

${\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}+{\frac {2x^{6}}{16^{2}}}+{\frac {5x^{8}}{16^{3}}}+{\frac {14x^{10}}{16^{4}}}+{\frac {42x^{12}}{16^{5}}}\\[10pt]{}&+{\frac {132x^{14}}{16^{6}}}+{\frac {429x^{16}}{16^{7}}}+{\frac {1430x^{18}}{16^{8}}}+{\frac {4862x^{20}}{16^{9}}}\\[10pt]&{}+{\frac {16796x^{22}}{16^{10}}}+{\frac {58786x^{24}}{16^{11}}}+{\frac {208012x^{26}}{16^{12}}}\\[10pt]&{}+{\frac {742900x^{28}}{16^{13}}}+{\frac {2674440x^{30}}{16^{14}}}+{\frac {9694845x^{32}}{16^{15}}}\\[10pt]&{}+{\frac {35357670x^{34}}{16^{16}}}+{\frac {129644790x^{36}}{16^{17}}}\\[10pt]&{}+{\frac {477638700x^{38}}{16^{18}}}+{\frac {1767263190x^{40}}{16^{19}}}+{\frac {6564120420x^{42}}{16^{20}}}\\[10pt]&=q^{2}+{\frac {62985}{8796093022208}}q^{24}\end{aligned}}$

展開式各項分子的係數 1，1，2，5，14，42，132……（見圖二 明安圖原圖最後一行，由右至左讀）乃是卡塔蘭數,明安圖是發現此數的世界第一人。

因而得到：

$q^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {x^{2n}}{4^{2n-2}}}$。

其中

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}$為明安圖-卡塔蘭數。

明安圖利用他首創的遞推關係：

$C_{n}=\sum _{k}(-1)^{k}*{n-k \choose k+1}*C_{n-k}$

$\because BC:CG:GH=AB:BE:EF=1:p:p^{2}=x:px:p^{2}*x$

$\therefore GH:=p^{2}*x=({\frac {q}{2}})^{2}*x={\frac {q^{2}*x}{4}}$

代人$BD=2x-GH$

最後得到。

$BD=2x-{\frac {x}{4}}*q^{2}$

$y_{2}=2x-\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {x^{2n+1}}{4^{2n-1}}}$

三角學意義

在圖一中令BAE角=α，BAC角=2α

• x=BC=sinα
• q=BL=2BE=4sin(α/2)
• BD=2sin(2α)

明安圖獲得的 $BD=2*x-x*BE^{2}$

就是

$\sin(2\alpha )=2\sin \alpha -\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {(\sin \alpha )^{2n+1}}{4^{n-1}}}$

$=2*\sin(\alpha )-{\frac {2*\sin(\alpha )^{3}}{1+\cos(\alpha )}}$

$q^{2}=BL^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {x^{2n}}{4^{2n-2}}}$

即$\sin({\frac {\alpha }{2}})^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {(sin\alpha )^{2n}}{4^{2n}}}$

由三分弧通弦率求全弧通弦率

明安圖割圓密率三分弧

如圖，BE為全弧通弦，BC=CE=DE=a為三等分弧。AB=AC=AD=AE=1 為半徑。連BC、CD、DE、BD、EC；作BG、EH=BC，Bδ=Eα=BD,於是三角形Cαβ=Dδγ；又三角形Cαβ與三角形BδD相似。

因此： $AB:BC=BC:CG=CG:GF$,$BC:FG=BD:\delta \gamma$

$2*BD=BE+\delta \alpha$

$2*BD-\delta \gamma =BE+BC$

$\therefore 2*BD-\delta \gamma -BC=BE$

依次類推，最後得：

$y_{3}=3*a-a^{3}$。

四分弦

四分弦

$y_{4}=4*a-{\frac {10*a^{3}}{4}}+{\frac {14*a^{5}}{4^{3}}}-{\frac {12*a^{7}}{4^{5}}}$+……

$=4a-10*a^{3}/4+\sum _{n=1}^{\infty }(16C_{n}-2C_{n+1})*{\frac {a^{2n+1}}{4^{2n-1}}}$。。

幾何意義：

$\sin(4*\alpha )=4*sin(\alpha )-10*sin^{3}\alpha$ $+\sum _{n=1}^{\infty }(16*C_{n}-2C_{n+1})*{\frac {\sin ^{2n+3}(\alpha )}{4^{n}}}$ 。

五分弦

五分弦

$y_{5}=5a-5a^{3}+a^{5}$

幾何意義：

$\sin(5\alpha )=5\sin(\alpha )-20\sin ^{3}(\alpha )+16\sin ^{5}(\alpha )$。

十分弦

十分弦圖

從十分弦開始，明安圖不再作幾何模型，而是對無窮級數進行代數運算

顯然十分弦等於五分弦和二分弦的組合，即

$y_{10}=y_{5}(y_{2})$

$y_{10}=5*y_{2}-5*(y_{2})^{3}+(y_{2})^{5}$;

展開即得：

$y_{10}(a)=10*a-{\frac {165*a^{3}}{4}}+{\frac {3003*a^{5}}{4^{3}}}-{\frac {21450*a^{7}}{4^{5}}}$+……。

百分弧

同理，

$y_{100}=y_{10}(y_{10})$,展開後即得：

$y_{100}=100*a-166650*{\frac {a^{3}}{4}}+333000030*{\frac {a^{5}}{4*16}}-316350028500*{\frac {a^{7}}{4*16^{2}}}+17488840755750*{\frac {a^{9}}{4*16^{3}}}+$……。

千分弧

$y_{1000}=1000*a-1666666500*{\frac {a^{3}}{4}}+33333000000300*{\frac {a^{5}}{4*16}}-3174492064314285000{\frac {a^{7}}{4*16^{2}}}+$……。

萬分弦

$y_{10000}=10000*a-{\frac {166666665000*a^{3}}{4}}+{\frac {33333330000000300*a^{5}}{4^{3}}}+$…………。

弧背求通弦

y100,y1000 and y10000 可表為:

$y100=100a-{\frac {(100a)^{3}}{24.002400240024002400}}+{\frac {(100a)^{5}}{24.024021859697730358*80}}+$..........

$y1000:=1000a-{\frac {(1000a)^{3}}{24.000024000024000024}}+{\frac {(1000a)^{5}}{24.000240002184019680*80}}+$..............

$y10000:=10000a-{\frac {(10000a)^{3}}{24.000000240000002400}}+{\frac {(10000a)^{5}}{24.000002400000218400*80}}+$..................

分弦數越大，分母24.000000240000002400、24.000002400000218400*80越接近 24 、 24*80 ；當分弦數n趨向無窮大， n*a, 就變成 弧背，於是

令c 為弦，a 為弧背，

$c=a-{\frac {a^{3}}{4*3!}}+{\frac {a^{5}}{4^{2}*5!}}-{\frac {a^{7}}{4^{3}*7!}}+$.....

$=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}*a^{2*n-1}}{(4^{n-1}*(2*n-1)!)}}$

通弦求弧背

明安圖求得上述無窮級數的反逆，將弧表示為弦的無窮級數:

$a:=c+{\frac {c^{3}}{24}}+{\frac {3*c^{5}}{640}}+{\frac {5*c^{7}}{7168}}+$............

正弦的無窮級數展開

$\because sin(\alpha )={\frac {c}{2}}$,

令 r=1

$\therefore sin\alpha =a-{\frac {a^{3}}{3}}+{\frac {a^{5}}{5}}-{\frac {a^{7}}{7}}+{\frac {a^{9}}{9}}+$…………

$=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}*{\frac {a^{2n-1}}{2n-1}}$。

參考文獻

• 明安圖原著 羅見今譯註 《割圓密率捷法譯註》內蒙古教育出版社 1998 ISBN 7-5311-3584-1
• Yoshio Mikami, Development of Mathematics in China and Japan
• 李儼 《中算史論叢》 第三集 《明清算家的割圓術研究》《李儼錢寶琮科學史全集》第7卷