割圓連比例

割圓連比例是清代級數理論的幾何學基礎，最先由明安圖在《割圜密率捷法》卷三、四《法解》中闡明，其後經董祐誠、項名達等數學家的工作而趨於完善。^[1]。割圓連比例的中心問題是已知圓弧長度，如何求弦長及矢高，或已知弦長、矢高，如何求得弧長。割圓連比例中心方法是結合由西方傳入的連比例方法，結合傳統中算方法，將圓弧分割成多等分，畫出多條矢，然後構造一系列相似三角形獲得一系列連比例式，再將圓弧分割越細，以折線逼近弧線，求得弧長^[2]。

歷史背景

1701年，法國耶穌會傳教士杜德美（Pierre Jartoux 1668年至1720年）來到中國，他帶來了由艾薩克·牛頓和J.格雷戈里創建的三個三角函數無窮級數^[3]

\pi =3\left(1+{\frac {1}{4\cdot 3!}}+{\frac {3^{2}}{4^{2}\cdot 5!}}+{\frac {3^{2}\cdot 5^{2}}{4^{3}\cdot 7!}}+\cdots \right)

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots

\operatorname {vers} x={\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots

這些計算 $π$ 的「捷法」只涉及乘法和加減運算，速度遠超傳統劉徽割圓術涉及的平方根計算，因而激起了中國數學家的極大興趣。然而杜德美沒有將推導這些無窮級數的方法帶來中國。明安圖懷疑西方人不願分享他們的秘密，於是他著手進行這項工作，前後歷時30年，完成了書稿《割圜密率捷法》，他在書中創建幾何模型用於獲得三角函數無窮級數，不僅推出杜德美的三個無窮級數，還發現了六個新的無窮級數。在這個過程中，他發現和應用卡塔蘭數。

連比例

如圖一 ABC,BCD,CDE,DEF,FDG…… 是一系列相似三角形，於是^[4]。

AB:BC=BC:CD=CD:EF=EF:DF=DF:DG;

AB為第一率，以 $\phi _{1}$ 表示
BC為第二率，以 $\phi _{2}$ 表示
BC為第二率，以 $\phi _{2}$ 表示
CD為第三率，以 $\phi _{3}$ 表示
DE為第四率，以 $\phi _{4}$ 表示
EF為第五率，以 $\phi _{5}$ 表示
FG為第六率，以 $\phi _{6}$ 表示
……
第m率： $\phi _{m}$

於是：

\phi _{6}=k*\phi _{5}

\phi _{5}=k*\phi _{4}

\phi _{4}=k*\phi _{3}

\phi _{3}=k*\phi _{2}

\phi _{2}=k*\phi _{1}

\phi _{m}=k^{m-1}*\phi _{1}

$\phi _{m}$ …… $\phi _{6}:\phi _{5}:\phi _{4}:\phi _{3}:\phi _{2}:\phi _{1}=k^{m-1}:k^{m-2}$ …… $k^{5}:k^{4}:k^{3}:k^{2}:k:k^{0}$

又： ${\frac {\phi _{m}*\phi _{n}}{\phi _{p}}}=(m+n-p-q)*\phi _{q}$

明安圖割圓連比例

由二分弧通弦率數求全弧通弦率數法

如圖BCD為全弧，AB=AC=AD=為半徑,令半徑=1；BD為通弦，BC、CD為1/2 分弧。作BG=BC=x,作直線CG;又作DH=DC,連CH直線。因此，

$BD=2*x-GH$ ^[5]

作EJ=EF,FK=FJ；延長BE直線至L，並令EL=BE;作BF=BE,使F在AE線上。連BF延長至M，並BF=MF；連LM，顯然LM通過C點。將三角形BLM以BM為軸反轉成三角形BMN,C點重合G，L點重合N。將三角形NGB以BN為軸反轉至BMI；顯然BI=BC。

$AB:BC:CI=1:x:x^{2}$

作CG之平分線BM，並令BM=BC；連GM、CM；作CO=CM交BM於O;作MP=MO；作NQ=NR，R為BN與AC之交點。∠EBC=1/2 ∠CAE=1/2 ∠EAB; $\therefore$ ∠EBM=∠EAB;於是得到一系列相似三角形：ABE,BEF,FJK,BLM,CMO,MOP,CGH,而且三角形CMO=三角形EFJ;於是得:^[6]

連比第一率:AB=AC=AD=AE
連比第二率：BE=BC=BF=C
連比第三率:EF=CM
連比第四率:FJ
連比第五率:JK=OP

$AB:BE:EF:FJ:JK=1:p:p^{2}:p^{3}:p^{4}$

1:BE=BE:EF；即 $EF=BE^{2}$

$1:BE^{2}=x:GH$

於是 $GH=x*BE^{2}=x*p^{2}$ ,

即 $BD=2*x-x*p^{2}$

因為風箏形ABEC 與BLIN相似，^[6]。

$EF=LC=CM=MG=NG=IN$

$LM+MN=CM+MN+IN=CI+OP=JK+CI$

\therefore AB:(BE+EC)=BL:(LM+MN)

即

AB:BL=BL:(CI+JK)

令

BL=q

AB:BL:(CI+JK)=1:q:q^{2}

JK=p^{4}

CI=y^{2}

CI+JK=q^{2}=BL^{2}=(2BE)^{2}=(2p)^{2}=4p^{2}

由此得 $q^{2}=4p^{2}$ 或 $p={\frac {q}{2}}$

又

CI+JK=x^{2}+p^{4}=q^{2}

,代人p值得：

$x^{2}+{\frac {q^{4}}{16}}=q^{2}$ ,於是

x^{2}=q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}}

上式平方之，兩邊除以16：^[7]

{\frac {(x^{2})^{2}}{16}}={\frac {(q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}})^{2}}{16}}=\sum _{j=0}^{2}(-1)^{j}*{2 \choose j}*{\frac {q^{2*(2+j)}}{16^{j}}}

即

{\frac {x^{4}}{16}}={\frac {q^{4}}{16}}-{\frac {q^{6}}{128}}+{\frac {q^{8}}{4096}}{16}

依次類推

{\frac {x^{2n}}{16^{n-1}}}=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}*{n \choose j}*{\frac {q^{2*(n+j)}}{16^{n+j-1}}}

^[8]。

將下列二式相加，可以消去 $q^{4}$ 項：

x^{2}=q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}}

{\frac {x^{4}}{16}}={{\frac {q^{4}}{16}}-{\frac {2*q^{6}}{16^{2}}}+{\frac {q^{8}}{4096}}}{16}

x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}=q^{2}-{\frac {q^{6}}{128}}+*{\frac {q^{8}}{4096}}

同理

x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}+{\frac {2*x^{6}}{16^{2}}}=q^{2}-{\frac {5*q^{8}}{4096}}+{\frac {3*q^{10}}{32768}}-{\frac {q^{12}}{524288}}

,

.......

{\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}+{\frac {2x^{6}}{16^{2}}}+{\frac {5x^{8}}{16^{3}}}+{\frac {14x^{10}}{16^{4}}}+{\frac {42x^{12}}{16^{5}}}\\[10pt]{}&+{\frac {132x^{14}}{16^{6}}}+{\frac {429x^{16}}{16^{7}}}+{\frac {1430x^{18}}{16^{8}}}+{\frac {4862x^{20}}{16^{9}}}\\[10pt]&{}+{\frac {16796x^{22}}{16^{10}}}+{\frac {58786x^{24}}{16^{11}}}+{\frac {208012x^{26}}{16^{12}}}\\[10pt]&{}+{\frac {742900x^{28}}{16^{13}}}+{\frac {2674440x^{30}}{16^{14}}}+{\frac {9694845x^{32}}{16^{15}}}\\[10pt]&{}+{\frac {35357670x^{34}}{16^{16}}}+{\frac {129644790x^{36}}{16^{17}}}\\[10pt]&{}+{\frac {477638700x^{38}}{16^{18}}}+{\frac {1767263190x^{40}}{16^{19}}}+{\frac {6564120420x^{42}}{16^{20}}}\\[10pt]&=q^{2}+{\frac {62985}{8796093022208}}q^{24}\end{aligned}}

展開式各項分子的係數 1，1，2，5，14，42，132……（見圖二明安圖原圖最後一行，由右至左讀）乃是卡塔蘭數,明安圖是發現此數的世界第一人^[9]。

因而得到：

$q^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {x^{2n}}{4^{2n-2}}}$ ^[10]^[11]。

其中

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}$ 為明安圖-卡塔蘭數。

明安圖利用他首創的遞推關係^[12]：

C_{n}=\sum _{k}(-1)^{k}*{n-k \choose k+1}*C_{n-k}

$\because BC:CG:GH=AB:BE:EF=1:p:p^{2}=x:px:p^{2}*x$

\therefore GH:=p^{2}*x=({\frac {q}{2}})^{2}*x={\frac {q^{2}*x}{4}}

代人 $BD=2x-GH$

最後得到^[13]。

$BD=2x-{\frac {x}{4}}*q^{2}$

y_{2}=2x-\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {x^{2n+1}}{4^{2n-1}}}

三角學意義

在圖一中令BAE角=α，BAC角=2α

x=BC=sinα
q=BL=2BE=4sin(α/2)
BD=2sin(2α)

明安圖獲得的 $BD=2*x-x*BE^{2}$

就是

\sin(2\alpha )=2\sin \alpha -\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {(\sin \alpha )^{2n+1}}{4^{n-1}}}

=2*\sin(\alpha )-{\frac {2*\sin(\alpha )^{3}}{1+\cos(\alpha )}}

$q^{2}=BL^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {x^{2n}}{4^{2n-2}}}$

即

\sin({\frac {\alpha }{2}})^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {(sin\alpha )^{2n}}{4^{2n}}}

由三分弧通弦率求全弧通弦率

如圖，BE為全弧通弦，BC=CE=DE=a為三等分弧。AB=AC=AD=AE=1 為半徑。連BC、CD、DE、BD、EC；作BG、EH=BC，Bδ=Eα=BD,於是三角形Cαβ=Dδγ；又三角形Cαβ與三角形BδD相似。

因此： $AB:BC=BC:CG=CG:GF$ , $BC:FG=BD:\delta \gamma$

$2*BD=BE+\delta \alpha$

$2*BD-\delta \gamma =BE+BC$

$\therefore 2*BD-\delta \gamma -BC=BE$

依次類推，最後得：

$y_{3}=3*a-a^{3}$ ^[14]^[15]。

四分弦

$y_{4}=4*a-{\frac {10*a^{3}}{4}}+{\frac {14*a^{5}}{4^{3}}}-{\frac {12*a^{7}}{4^{5}}}$ +……

=4a-10*a^{3}/4+\sum _{n=1}^{\infty }(16C_{n}-2C_{n+1})*{\frac {a^{2n+1}}{4^{2n-1}}}

。^[16]。

幾何意義：

$\sin(4*\alpha )=4*sin(\alpha )-10*sin^{3}\alpha$ $+\sum _{n=1}^{\infty }(16*C_{n}-2C_{n+1})*{\frac {\sin ^{2n+3}(\alpha )}{4^{n}}}$ ^[17]。

五分弦

$y_{5}=5a-5a^{3}+a^{5}$

幾何意義：

\sin(5\alpha )=5\sin(\alpha )-20\sin ^{3}(\alpha )+16\sin ^{5}(\alpha )

^[18]。

十分弦

從十分弦開始，明安圖不再作幾何模型，而是對無窮級數進行代數運算

顯然十分弦等於五分弦和二分弦的組合，即

$y_{10}=y_{5}(y_{2})$

y_{10}=5*y_{2}-5*(y_{2})^{3}+(y_{2})^{5}

;

展開即得：

$y_{10}(a)=10*a-{\frac {165*a^{3}}{4}}+{\frac {3003*a^{5}}{4^{3}}}-{\frac {21450*a^{7}}{4^{5}}}$ +……^[19]。

百分弧

同理，

$y_{100}=y_{10}(y_{10})$ ,展開後即得：

y_{100}=100*a-166650*{\frac {a^{3}}{4}}+333000030*{\frac {a^{5}}{4*16}}-316350028500*{\frac {a^{7}}{4*16^{2}}}+17488840755750*{\frac {a^{9}}{4*16^{3}}}+

……^[20]。

千分弧

$y_{1000}=1000*a-1666666500*{\frac {a^{3}}{4}}+33333000000300*{\frac {a^{5}}{4*16}}-3174492064314285000{\frac {a^{7}}{4*16^{2}}}+$ ……^[20]。

萬分弦

$y_{10000}=10000*a-{\frac {166666665000*a^{3}}{4}}+{\frac {33333330000000300*a^{5}}{4^{3}}}+$ …………^[21]。

弧背求通弦

y100,y1000 and y10000 可表為^[22]:

$y100=100a-{\frac {(100a)^{3}}{24.002400240024002400}}+{\frac {(100a)^{5}}{24.024021859697730358*80}}+$ ..........

$y1000:=1000a-{\frac {(1000a)^{3}}{24.000024000024000024}}+{\frac {(1000a)^{5}}{24.000240002184019680*80}}+$ ..............

$y10000:=10000a-{\frac {(10000a)^{3}}{24.000000240000002400}}+{\frac {(10000a)^{5}}{24.000002400000218400*80}}+$ ..................

分弦數越大，分母24.000000240000002400、24.000002400000218400*80越接近 24 、 24*80 ；當分弦數n趨向無窮大， n*a, 就變成弧背，於是^[23]

令c 為弦，a 為弧背，

$c=a-{\frac {a^{3}}{4*3!}}+{\frac {a^{5}}{4^{2}*5!}}-{\frac {a^{7}}{4^{3}*7!}}+$ .....

$=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}*a^{2*n-1}}{(4^{n-1}*(2*n-1)!)}}$

通弦求弧背

明安圖求得上述無窮級數的反逆，將弧表示為弦的無窮級數^[23]^[24]:

$a:=c+{\frac {c^{3}}{24}}+{\frac {3*c^{5}}{640}}+{\frac {5*c^{7}}{7168}}+$ ............

正弦的無窮級數展開

$\because sin(\alpha )={\frac {c}{2}}$ ,

令 r=1

$\therefore sin\alpha =a-{\frac {a^{3}}{3}}+{\frac {a^{5}}{5}}-{\frac {a^{7}}{7}}+{\frac {a^{9}}{9}}+$ …………

$=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}*{\frac {a^{2n-1}}{2n-1}}$ ^[25]。

參考文獻

^ 吳文俊 477頁
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明安圖原著羅見今譯註《割圓密率捷法譯註》內蒙古教育出版社 1998 ISBN 7-5311-3584-1
Yoshio Mikami, Development of Mathematics in China and Japan
李儼《中算史論叢》第三集《明清算家的割圓術研究》《李儼錢寶琮科學史全集》第7卷

[wwj-1] 吳文俊 477頁

[xu-2] 徐傳勝 143

[3] 何紹庚，《清代無窮級數研究中的一個關鍵問題》《自然科學史研究》第6卷第3期1989年第 205-214

[ly1-4] 李儼《中算史論叢》第三集《李儼錢寶琮科學史全集》第7卷第297-299頁

[ly-5] 李儼《中算史論叢》第三集《李儼錢寶琮科學史全集》第7卷第300頁

[ljJ-6] 6.0 ^6.1 羅見今 96頁

[ljj4-7] 羅見今 100頁

[ljj6-8] 羅見今 106頁

[9] 羅見今《明安圖和他的冪級數展開式》數學傳播34卷1期, pp. 65-73

[ljjj-10] 羅見今 113頁

[11] Yan Xue-min Luo Jian-jin, Catalan Numbers, A Geometric Model J.of Zhengzhou Univ Vol 38 No2， Jun 2006， p22

[LjJ-12] 羅見今 114頁

[13] 羅見今 114頁

[14] Yoshio Mikami p147

[LJj-15] 羅見今 148頁

[lJJ-16] 羅見今 153頁

[LJJ6-17] 羅見今 153頁

[LJJ7-18] 羅見今 156頁

[19] 羅見今 164頁

[#1-20] 20.0 ^20.1 李儼 320頁

[mkm-21] Yoshio Mikami, p147

[lj8-22] 羅見今 209-225頁

[ymik-23] 23.0 ^23.1 Yoshio Mikami, p148

[ljjjj-24] 羅見今 226-260

[ly5-25] 李儼 327頁

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閱論編中國數學史
上古至西漢	幻方十進位制九九表算籌籌算算表算數書《周髀算經》《九章算術》張蒼耿壽昌《許昌算術》《杜忠算術》勾股定理開方術盈不足術
東漢三國	張衡趙爽劉洪徐岳《數術記遺》王蕃劉徽割圓術《海島算經》勾股容方出入相補
晉隋唐五代	張邱建《張邱建算經》夏侯陽《夏侯陽算經》何承天調日法甄鸞祖沖之開差冪牟合方蓋王孝通《緝古算經》李淳風僧一行大衍曆明算科重差術《孫子算經》《五經算術》《五曹算經》《算經十書》
兩宋	沈括李籍劉益《議古根源》賈憲賈憲三角形增乘開平方法增乘開立方法《黃帝九章算術細草》秦九韶秦九韶算法《數書九章》大衍求一術楊輝楊輝縱橫圖幻圓《楊輝算法》《乘除通變算寶》《田畝比類乘除捷法》《續古摘奇算法》《詳解九章算法》《日用算法》《九章算法纂類》遞增三乘開四次方術
遼金元	張行簡天元術李冶《測圓海鏡》《益古演段》《授時曆》郭守敬王恂朱世杰《算學啟蒙》《四元玉鑒》垛積術招差術趙友欽《革象新書》割圓術金曆法耶律楚材曆法阿拉伯幻方馬拉加天文台
明	《丁巨算法》《算法全能集》《透簾細草》吳敬《九章詳註比類算法大全》王文素《新集通證古今算學寶鑑》朱載堉十二平均律《算學新說》《嘉量算經》珠算算盤《盤珠算法》柯尚遷《數學通軌》程大位《算法統宗》格子乘法徐光啟譯《幾何原本》前6卷《崇禎曆書》《算法全能集》《詳明算法》《通源算法》
清	薛鳳祚李子金《算法通義》梅文鼎年希堯《視學》戴震李湟沈欽裴《疇人傳》《數理精蘊》明安圖《割圜密率捷法》割圓連比例明安圖變換卡塔蘭數吳烺焦循《加減乘除釋》李銳《開方說》汪萊《衡齋算學》孔廣森董祐誠《割圓比例術圖解》項名達《象數一原》張敦仁《求一算術》戴煦《求表捷術》王韜李善蘭李善蘭恆等式《則古昔齋算學》譯《幾何原本》後9卷華蘅芳《決疑數學》丁取忠《白芙堂算學從書》時曰醇《百雞術衍》同文館《同文館算學課藝》
現代	胡明復熊慶來何魯段子燮李儼姜立夫陳蘇學派陳建功蘇步青陳省身錢寶琮江澤涵華羅庚《數論導引》《堆疊素數論》王元潘承洞許寶騄陳景潤丘成桐吳文俊吳消元法廖山濤張益唐