立方半八面体

立方半无穷星形八面体
类别	无穷星形多面体; 半多面体对偶
对偶多面体	立方半八面体
识别
名称	立方半无穷星形八面体
参考索引	DU15
性质
面	12
边	24
顶点	10
欧拉特征数	F=12, E=24, V=10 （χ=-2）
对称性
对称群	Oh, [4,3], *432
	查; 论; 编;

立方半八面体
类别	均匀星形多面体
对偶多面体	立方半无穷星形八面体
识别
名称	立方半八面体
参考索引	U15, C51, W78
鲍尔斯缩写; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	cho
数学表示法
考克斯特符号; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
威佐夫符号; （英语：Wythoff symbol）	4/3 4 \| 3 （二重复盖）
性质
面	10
边	24
顶点	12
欧拉特征数	F=10, E=24, V=12 （χ=-2）
组成与布局
面的种类	6个四边形{4}; 4个六边形{6}
面的布局; （英语：Face configuration）	6{4}+4{6}
顶点图	4.6.4/3.6
对称性
对称群	Oh, [4,3], *432
特性
	均匀
图像
	; 4.6.4/3.6; （顶点图）
	; 立方半无穷星形八面体; （对偶多面体）
	查; 论; 编;

在几何学中，立方半八面体是一种非凸多面体，属于星形多面体及均匀多面体，也可以归类在非凸均匀多面体，其索引在均匀多面中是U₁₅^[1]、温尼尔多面体模型中是W₇₈^[2]。立方半八面体外观看起来像所有三角形面都凹进去的截半立方体。^[3]^:78立方半八面体由6个正方形和4个正六边形组成，是一种十面体，且每个顶点对应的角皆相等，因此也可以被归类为拟正多面体^[4]，然而由于这个立体同时具备半多面体的特性，因此被部分学者分成一类新的立体，即拟正半多面体（Versi-Regular Polyhedra），这类立体共有九个，最早在1881年由亚伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）发现并描述^[5]。

性质

立方半八面体共有10个面、24条边和12个顶点^[6]^[7]。在其10个面中有6个正方形面和4个六边形面。这6个正方形面的排列方式与截半立方体的六个正方形面相同^[8]^:108 。立方半八面体每个顶点都是2个正方形和2个六边形的公共顶点。其中，有一个四边形反向相接，使得其顶点图为交叉四边形，在顶点布局中，可以用4.6.4/3.6来描述。^[9]^[6]

面的组成

立方半八面体由10个面组成，在其十个面中，有6个正方形面和4个六边形面^[10]，其中的4个六边形面互相相交，且皆穿过该立体的几何中心。^[11]^:57

二面角

八面半八面体二面角为三平方根的倒数之反馀弦值^[12]^[13]：

\cos ^{-1}({\frac {\sqrt {3}}{3}})\approx 0.9553166\approx 54.7356^{\circ }

顶点座标

由于立方半八面体凸包为截半立方体，因此其12顶点会与截半立方体相同，为(0, ±1, ±1)、 (±1, 0, ±1), (±1, ±1, 0)，若边长为a，则座标要缩放 ${\frac {\sqrt {2}}{2}}a$ 倍。^[14]

定向性

立方半八面体的表面是一个不可定向的曲面^[6]，即无法定义表面上特定点属于内部或外部，因为任何点都可以在不打洞的情况下经由表面找到一个路径连接该点对应的背面的位置，这个特性与克莱因瓶类似^[15]。

相关多面体

立方半八面体与截半立方体和八面半八面体有著相同的顶点布局（英语：vertex arrangement）与棱布局（英语：edge arrangement）。^[14]

截半立方体	立方半八面体	八面半八面体

截半四阶六边形镶嵌

立方半八面体在拓朴上的展开图可以排布在顶点图为4.6.4.6的截半四阶六边形镶嵌上。可对应到截半的四阶六边形镶嵌之半正则地区图上。^[10]

立方半无穷星形八面体

立方半无穷星形八面体是立方半八面体的对偶多面体，也是九个对偶半多面体之一^[16]。其外观难以与八面半无穷星形八面体区别。^[17]

多面体	立方半八面体	八面半八面体
对偶多面体	立方半无穷星形八面体	八面半无穷星形八面体

从定义上来看，对偶多面体的面会与原始立体的顶点图相同，同时顶点周围之面的排列方式会和原始立体的面之边相同，也就是说对偶多面体的顶点图为原始立体的面^[18]。由于立方半无穷星形八面体是立方半八面体的对偶多面体，而立方半八面体的12个顶点皆为4个面的公共顶点，因此立方半无穷星形八面体的面理应具有12个面，每个面由4个边组成^[19]。然而立方半八面体有部分面几何中心落在整个立体的几何中心上，因此其对偶多面体的顶点会落在无穷远处，即无穷实射影平面上的点。^[20]一般来说，这样的立体无法被具象化^[19]。为了具像化这种立体，温尼尔在著作《对偶模型》中将其描述为由无限高的柱体组合构成的立体，在这样的视觉化方式下，立方半八面体外观为由4个无限高的六角柱构成的立体^[20]。然而这样的具象化结果会使得其外观与八面半无穷星形八面体的具象化结果相同。^[21]

半刻面立方体

半刻面立方体又称为立方半菱形十二面体，是立方体的一种刻面（英语：Faceting）结果，由6个长方形和6个交叉四边形组成，并具有12个面、24条边和8个顶点，每个顶点都是3个长方形和3个交叉四边形的公共顶点。其长方形面穿过立方体的几何中心，因此其对偶多面体是一个位于实无穷射影平面的几何结构。

五个半刻面立方体依照五复合立方体的组成方式形成的复合多面体称为五复合半刻面立方体，或五复合立方半菱形十二面体，其对偶多面体为五复合立方半无穷星形菱形十二面体，为一种位于实无穷射影平面的星形二十面体^[22]。

参见

八面半八面体

注释

参考文献

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外部链接

埃里克·韦斯坦因. 立方半八面體. MathWorld.

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[4] W₇₈ Cubohemioctahedron. colinspics. [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-08-31）.

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[21] Weisstein, Eric W. (编). Cubohemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

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查论编半多面体
拟正半多面体	四面半六面体八面半八面体立方半八面体小二十面半十二面体大二十面半十二面体大十二面半十二面体小十二面半二十面体小十二面半二十面体大十二面半二十面体
拟正半多面体对偶（无穷星形多面体）	四面半无穷星形六面体八面半无穷星形八面体立方半无穷星形八面体（章节）小二十面半无穷星形十二面体（英语：Small icosihemidodecacron）小十二面半无穷星形十二面体（英语：Small dodecahemidodecacron）大二十面半无穷星形十二面体（英语：Great icosihemidodecacron）大十二面半无穷星形十二面体（英语：Great dodecahemidodecacron）小十二面半无穷星形二十面体（英语：Small dodecahemicosacron）大十二面半无穷星形二十面体（英语：Great dodecahemicosacron）
半刻面多面体	半刻面立方体五复合半刻面立方体半刻面八面体
拟正半镶嵌图	双三角形半无限边形镶嵌正方形半无限边形镶嵌三角形半无限边形镶嵌六边形半无限边形镶嵌
其他有面通过整体几何中心的立体	大二重斜方截半二十面体大二重扭棱二重斜方十二面体

查论编均匀多面体
四面体群对称	正四面体截角四面体四面半六面体
八面体群对称	立方体正八面体截角立方体截角八面体截半立方体小斜方截半立方体大斜方截半立方体扭棱立方体八面半八面体立方半八面体小斜方立方体小立方立方八面体非凸大斜方截半立方体星形截角立方体大斜方立方体大立方截半立方体立方截角立方八面体星形截角截半立方体
二十面体群对称	正十二面体正二十面体小星形十二面体大十二面体大星形十二面体大二十面体截角十二面体截半二十面体截角二十面体小斜方截半二十面体大斜方截半二十面体扭棱十二面体大双三斜三十二面体小十二面半十二面体大十二面半十二面体小十二面半二十面体大十二面半二十面体小二十面半十二面体大二十面半十二面体小十二面二十面体大十二面二十面体斜方二十面体小斜方十二面体大斜方十二面体小十二面截半二十面体大十二面截半二十面体小双三角十二面截半二十面体大双三角十二面截半二十面体小二十面化截半二十面体大二十面化截半二十面体双三斜十二面体小双三斜三十二面体大截半二十面体截角大十二面体截半大十二面体小星形截角十二面体大星形截角十二面体截角大二十面体斜方截半大十二面体非凸大斜方截半二十面体二十面截角十二面十二面体二十面化截半大十二面体截角截半大十二面体大截角截半二十面体大二重斜方截半二十面体大二重扭棱二重斜方十二面体完全扭棱二十面体小反屈扭棱二十面截半二十面体大反屈扭棱截半二十面体扭棱小星形十二面体反扭棱小星形十二面体扭棱大星形十二面体反扭棱大星形十二面体大扭棱十二面截半二十面体扭棱二十面化截半大十二面体
其他	柱状均匀多面体星形均匀多面体