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商空間

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拓撲學及其相關數學領域,一個商空間quotient space,也稱為等化空間identification space)直觀上說是將一個給定空間的一些點等同或「黏合在一起」;由一個等價關係確定哪些點是等同的。這是從給定空間構造新空間的常見方法。

定義

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假設X是一個拓撲空間,~是X上一個等價關係。我們能夠在商集合X/~(這個集合有所有~的等價類組成)上定義一個拓撲使得:X/~中一個等價集合是開集當且僅當他們的併集X中是開集。所得的拓撲稱為在商集合X/~上的商拓撲quotient topology)。

商拓撲可以由如下方式等價地定義:設q : XX/~是將X的任何元素映為它的等價類的投影映射)。則X/~上的商拓撲定義為使q 連續最細拓撲finest topology)。

給定一個從拓撲空間X集合Y滿射f : XY,我們可以在Y上定義商拓撲為使f連續的最細拓撲。這等價於說集合VYY中開當且僅當它的原像f−1(V)在X中開。映射fX上誘導了一個等價關係,即x1~x2當且僅當f(x1) = fx2)。這個商空間X/~ 同胚Y(帶着它的商拓撲),同構映射為將x的等價類映為f(x)。

一般地,如果Y具有由一個滿連續映射f : XY確定的商拓撲,則f稱為一個商映射quotient map)。

例子

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  • 黏合:通常,拓撲學家討論將一些點黏合在一起。如果X是一個拓撲空間,點「黏合」在一起,這意味着我們考慮由等價關係a~b當且僅當a = ba = x, b = y(或a = y, b = x)得到的商空間。即這兩個點被看作一個。
  • 考慮一個單位正方形I2 = [0,1]×[0,1]以及由所有邊界點等價生成的等價關係~,從而所有邊界點等同到一個等價類。則I2/~同構於單位球面S2
  • 黏着空間Adjunction space):更一般地,假設X是一個空間,AX的一個子空間。我們可以將A中所有點等同到一個等價類,而A以外的點不變。所得的空間記作X/A。2維球面同構於將單位圓盤的邊界等同為一個點D2/∂D2
  • 考慮集合X = ,取通常拓撲的實數集,記x ~ y 當且僅當xy是一個整數。則商空間X/~同構於單位圓周S1,同構映射為將x的等價類映為 exp(2πix)。
  • 上一個例子的一類大量的推廣如下:假設一個拓撲群G連續作用在空間X上。我們可以構造X上一個等價關係,如果兩點等價當且僅當它們在同一個軌道中。這個關係下的商空間稱為軌道空間,記作X/G。上一個例子中G = 通過平移作用在上。軌道空間同構於S1
:記號有歧義:如果理解成一個群作用在上則商空間是圓周;如果看作的一個子空間,則商空間是無窮的一束圓英語bouquet of circles在同一個點連接起來。

性質

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商映射 q : XY是由如下性質刻畫的滿射:如果Z是任何拓撲空間,f : YZ是任何函數,則f連續當且僅當f O q連續。

商空間的特徵性質
商空間的特徵性質

商空間X/~與商映q : XX/~一起由如下泛性質刻畫。如果g : XZ是一個連續映射使得:對所有ab屬於Xa~b蘊含g(a)=g(b),則存在惟一連續映射f : X/~ → Z使得g = f O q。我們稱 g「下降到商」。

因此定義在X/~商的連續映射恰是由定義在X上與等價關係一致的連續映射(它們將同一個等價類中的元素映到相同的像)誘導的。在研究商空間時,時常使用這個判據。

給定一個連續滿射f : XY,關於f是否為商映射的判據是有用的。兩個充分條件是f開映射閉映射。注意這兩個條件只是充分條件而不是必要的。容易構造出不開或不閉的商映射例子。

與其它拓撲概念的相容性

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  • 分離
    • 一般地,商空間關於分離公理的表現都很壞。X的分離性質不必被X/~繼承,而X/~可能具有X所沒有的分離性質。
    • X/~是一個T1空間當且僅當~的任何等價類在X中閉。
    • 如果商映射X/~是一個豪斯多夫空間當且僅當~是乘積空間X×X的一個子集。
  • 連通性
    • 如果一個空間是連通的或道路連通,則所有的商空間也是。
    • 一個單連通可縮空間的商空間不必具有同樣的性質。
  • 緊性
    • 如果一個空間緊,則所有商空間也是。
    • 一個局部緊空間的商空間不必是局部緊的。
  • 維數
    • 一個商空間的拓撲維數可能比原空間大(顯然也可能比較小),皮亞諾曲線space-filling curve)提供了這樣的例子。

又見

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拓撲學

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代數

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參考

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  • Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
  • Quotient space. PlanetMath.