在統計學 中，內曼-皮爾森引理 （英語：Neyman–Pearson lemma ）是假設檢定 的基本引理 ，由耶日·內曼 和埃貢·皮爾森 於1933年提出。引理指出當虛無假設 和對立假設 均為簡單假說時，似然比檢驗 顯著水平 相同的檢驗中統計功效 最大。
假設檢定是根據樣本 的觀察結果，判斷關於總體 的命題真偽的方法。若要對某一命題的真偽做出判斷，兩種錯誤可能會發生：在命題為真時判斷它為假，和在命題為假時判斷它為真，兩者分別稱為第一型錯誤與第二型錯誤 。發生第一型錯誤的概率 即稱作顯著水平，而不發生第二型錯誤的概率稱作統計功效。儘管理想的判斷方法應該同時最小化兩種錯誤，但這一點很難實現。內曼-皮爾森引理給出了，在發生第一型錯誤的概率上限固定時，能儘量減少第二型錯誤的檢驗方法。
工廠驗收、飛機試飛、新藥研發等場合會從總體 中抽樣 進行檢查。總體的某一性質，比如合格品的佔比、藥品的效力，可被視作擁有未知概率分佈 的隨機變量
X
{\displaystyle \,X\,}
期望值 和方差 不明確的正態分佈 。對樣本 中這一性質的觀察結果可視為
X
{\displaystyle \,X\,}
x
{\displaystyle \,x\,}
X
{\displaystyle \,X\,}
假設檢定 的目標。這種判斷稱作接受或拒絕這一假說。若
X
{\displaystyle \,X\,}
P
0
{\displaystyle \,P_{0}\,}
P
1
{\displaystyle \,P_{1}\,}
X
{\displaystyle \,X\,}
P
0
{\displaystyle \,P_{0}\,}
H
0
{\displaystyle \,H_{0}\,}
X
{\displaystyle \,X\,}
P
0
{\displaystyle \,P_{0}\,}
P
1
{\displaystyle \,P_{1}\,}
H
1
{\displaystyle \,H_{1}\,}
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
ϕ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \,\phi (x)=0\,}
x
{\displaystyle \,x\,}
H
0
{\displaystyle \,H_{0}\,}
ϕ
(
x
)
=
1
{\displaystyle \,\phi (x)=1\,}
H
0
{\displaystyle \,H_{0}\,}
虛無假設 和對立假設 。
內曼和皮爾森認為，僅靠概率論 無法證實或證偽單一的假說。然而，可以建立一套用於判斷一系列假說的規則，使得長遠來看依靠這一規則做出的判斷大多數時候是正確的。在判斷觀測到的數據
x
{\displaystyle \,x\,}
P
1
(
x
)
P
0
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {P_{1}(x)}{P_{0}(x)}}.}
比值中的兩種概率稱作似然 ，而該檢驗方法稱作似然比檢驗。
無論對假說作出怎樣的判斷，不可避免地會出現第一型錯誤與第二型錯誤 ：在假說為真時拒絕假說，和在假說為假時接受假說。取決於假設檢定運用的場合，兩種錯誤的結果會相當不同。若是用假設檢定判斷患者是否患有某一疾病，則第一型錯誤代表着患者沒有患病時仍進行治療，可能造成患者的不適和金錢損失；第二型錯誤則代表患者患病但沒有診出，若病情因而惡化可能導致患者死亡。在樣本大小固定的情況下，無法同時控制這兩種錯誤。發生第一型錯誤的概率 稱作顯著水平 ，統計功效 則指不發生第二型錯誤的概率。似然比檢驗即是顯著水平上限固定時，統計功效最大的檢驗方法。
埃里希·萊曼 拉東-尼科迪姆導數 定義概率分佈的概率密度函數 ，對引理的表述為：
內曼-皮爾森引理 — 設
P
0
,
P
1
{\displaystyle \,P_{0},P_{1}\,}
測度
μ
{\displaystyle \,\mu \,}
p
0
,
p
1
{\displaystyle \,p_{0},p_{1}\,}
存在性：存在有檢驗
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
k
{\displaystyle \,k\,}
E
0
(
ϕ
(
X
)
)
=
α
,
{\displaystyle E_{0}(\phi (X))=\alpha ,}
1
ϕ
(
x
)
=
{
1
,
p
1
(
x
)
>
k
p
0
(
x
)
,
0
,
p
1
(
x
)
<
k
p
0
(
x
)
.
{\displaystyle \phi (x)={\begin{cases}1,\quad p_{1}(x)>kp_{0}(x),\\0,\quad p_{1}(x)<kp_{0}(x).\end{cases}}}
2
最強力檢定的充分條件 ：滿足上述條件1和2的檢驗在顯著水平為
α
{\displaystyle \,\alpha \,}
最強力檢定的必要條件 ：若檢驗
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
α
{\displaystyle \,\alpha \,}
k
{\displaystyle \,k\,}
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
μ
{\displaystyle \,\mu \,}
幾乎處處 滿足條件2。除非存在顯著水平小於
α
{\displaystyle \,\alpha \,}
1
{\displaystyle \,1\,}
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
上述表述中的
E
0
(
ϕ
(
X
)
)
{\displaystyle \,E_{0}(\phi (X))\,}
H
0
{\displaystyle \,H_{0}\,}
ϕ
(
X
)
{\displaystyle \,\phi (X)\,}
另一種簡化後的表述則只包含了充分條件部分：
內曼-皮爾森引理 — 若檢驗
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
α
{\displaystyle \,\alpha \,}
P
1
(
x
)
P
0
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {P_{1}(x)}{P_{0}(x)}}.}
大於某常數
k
{\displaystyle \,k\,}
H
0
{\displaystyle \,H_{0}\,}
ϕ
(
x
)
=
1
{\displaystyle \,\phi (x)=1\,}
α
{\displaystyle \,\alpha \,}
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
證明
記概率分佈
P
0
,
P
1
{\displaystyle \,P_{0},P_{1}\,}
概率質量函數 分別為
p
0
,
p
1
{\displaystyle \,p_{0},p_{1}\,}
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
0
,
1
{\displaystyle \,0,1\,}
ϕ
(
X
)
{\displaystyle \,\phi (X)\,}
伯努利分佈 的隨機變量。它的顯著水平
P
0
(
ϕ
(
X
)
=
1
)
{\displaystyle P_{0}(\phi (X)=1)}
即是假說
H
0
{\displaystyle \,H_{0}\,}
ϕ
(
X
)
{\displaystyle \,\phi (X)\,}
E
0
(
ϕ
(
X
)
)
.
{\displaystyle E_{0}(\phi (X)).}
它的統計功效
P
1
(
ϕ
(
X
)
=
0
)
{\displaystyle P_{1}(\phi (X)=0)}
即是假說
H
1
{\displaystyle \,H_{1}\,}
ϕ
(
X
)
{\displaystyle \,\phi (X)\,}
E
1
(
ϕ
(
X
)
)
.
{\displaystyle E_{1}(\phi (X)).}
若
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
α
{\displaystyle \,\alpha \,}
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \,\phi (x)\,}
p
1
(
x
)
>
k
p
0
(
x
)
{\displaystyle \,p_{1}(x)>kp_{0}(x)\,}
1
{\displaystyle \,1\,}
E
0
(
ϕ
(
X
)
)
=
α
{\displaystyle \,E_{0}(\phi (X))=\alpha \,}
α
{\displaystyle \,\alpha \,}
ϕ
∗
{\displaystyle \,\phi ^{*}\,}
E
0
(
ϕ
∗
(
X
)
)
≤
E
0
(
ϕ
(
X
)
)
=
α
{\displaystyle \,E_{0}(\phi ^{*}(X))\leq E_{0}(\phi (X))=\alpha \,}
ϕ
∗
(
x
)
[
p
1
(
x
)
−
k
p
0
(
x
)
]
≤
ϕ
(
x
)
[
p
1
(
x
)
−
k
p
0
(
x
)
]
.
{\displaystyle \phi ^{*}(x)[p_{1}(x)-kp_{0}(x)]\leq \phi (x)[p_{1}(x)-kp_{0}(x)].}
這是因為若
ϕ
(
x
)
=
1
{\displaystyle \,\phi (x)=1\,}
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
p
1
(
x
)
>
k
p
0
(
x
)
{\displaystyle \,p_{1}(x)>kp_{0}(x)\,}
ϕ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \,\phi (x)=0\,}
p
1
(
x
)
<
k
p
0
(
x
)
{\displaystyle \,p_{1}(x)<kp_{0}(x)\,}
對不等式兩側關於
x
{\displaystyle \,x\,}
E
1
(
ϕ
∗
(
X
)
)
−
k
E
0
(
ϕ
∗
(
X
)
)
≤
E
1
(
ϕ
(
X
)
)
−
k
E
0
(
ϕ
(
X
)
)
.
{\displaystyle E_{1}(\phi ^{*}(X))-kE_{0}(\phi ^{*}(X))\leq E_{1}(\phi (X))-kE_{0}(\phi (X)).}
因此
k
[
E
0
(
ϕ
(
X
)
)
−
E
0
(
ϕ
∗
(
X
)
)
]
≤
E
1
(
ϕ
(
X
)
)
−
E
1
(
ϕ
∗
(
X
)
)
.
{\displaystyle k[E_{0}(\phi (X))-E_{0}(\phi ^{*}(X))]\leq E_{1}(\phi (X))-E_{1}(\phi ^{*}(X)).}
由於
ϕ
∗
{\displaystyle \,\phi ^{*}\,}
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
ϕ
∗
{\displaystyle \,\phi ^{*}\,}
ϕ
{\displaystyle \,\phi \,}
若
x
{\displaystyle \,x\,}
μ
{\displaystyle \,\mu \,}
σ
2
{\displaystyle \,\sigma ^{2}\,}
σ
2
{\displaystyle \,\sigma ^{2}\,}
μ
{\displaystyle \,\mu \,}
H
0
{\displaystyle \,H_{0}\,}
μ
=
0
{\displaystyle \,\mu =0\,}
H
1
{\displaystyle \,H_{1}\,}
μ
=
μ
1
>
0
{\displaystyle \,\mu =\mu _{1}>0\,}
p
1
(
x
)
p
0
(
x
)
=
exp
[
−
(
x
−
μ
1
)
2
/
(
2
σ
2
)
]
exp
[
−
x
2
/
(
2
σ
2
)
]
=
exp
(
μ
1
x
σ
2
−
μ
1
2
2
σ
2
)
.
{\displaystyle {\frac {p_{1}(x)}{p_{0}(x)}}={\frac {\exp[-(x-\mu _{1})^{2}/(2\sigma ^{2})]}{\exp[-x^{2}/(2\sigma ^{2})]}}=\exp \left({\frac {\mu _{1}x}{\sigma ^{2}}}-{\frac {\mu _{1}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).}
由於指數函數 單調遞增 ，似然比
p
1
(
x
)
/
p
0
(
x
)
>
k
{\displaystyle \,{p_{1}(x)}/{p_{0}(x)}>k\,}
x
{\displaystyle \,x\,}
x
>
k
′
{\displaystyle \,x>k'\,}
顯著水平為
α
{\displaystyle \,\alpha \,}
P
0
(
X
>
k
′
)
=
α
{\displaystyle \,P_{0}(X>k')=\alpha \,}
k
′
=
σ
z
1
−
α
{\displaystyle \,k'=\sigma z_{1-\alpha }\,}
z
1
−
α
{\displaystyle \,z_{1-\alpha }\,}
標準正態分佈 的第
(
1
−
α
)
{\displaystyle \,(1-\alpha )\,}
分位數 。因此，對這一問題統計功效最大的檢驗方法為在
X
>
σ
z
1
−
α
{\displaystyle \,X>\sigma z_{1-\alpha }\,}
H
0
{\displaystyle \,H_{0}\,}
Lehmann, E. L.; Romano, Joseph P., Testing Statistical Hypotheses, Fourth Edition, Springer, 2022, ISBN 978-3-030-70578-7（英語） Rice, John A., Mathematical Statistics and Data Analysis, Third Edition, Duxbury, 2007, ISBN 0-534-39942-8（英語） Neyman, J.; Pearson, E. S., On the Problem of the Most Efficient Tests of Statistical Hypotheses, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, 1933, 231 : 289–337, doi:10.1098/rsta.1933.0009 （英語）
![{\displaystyle \phi ^{*}(x)[p_{1}(x)-kp_{0}(x)]\leq \phi (x)[p_{1}(x)-kp_{0}(x)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3072b870f9ce404aab601b9675eea8451d27d58c)
![{\displaystyle k[E_{0}(\phi (X))-E_{0}(\phi ^{*}(X))]\leq E_{1}(\phi (X))-E_{1}(\phi ^{*}(X)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84778074ad344b100227fcc28c656675b4dd8f3e)
![{\displaystyle {\frac {p_{1}(x)}{p_{0}(x)}}={\frac {\exp[-(x-\mu _{1})^{2}/(2\sigma ^{2})]}{\exp[-x^{2}/(2\sigma ^{2})]}}=\exp \left({\frac {\mu _{1}x}{\sigma ^{2}}}-{\frac {\mu _{1}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2985128a6ceba65fe36802db89fc296fc035de62)
