勾股容方

勾股容方

勾股容方幾何解

戴震 《句股容方圖》

勾股容方是古代中國數學中的一個命題。出自《九章算術》第九卷《勾股》章第十五題。經三國時數學家劉徽論證，其後又經中國歷代數學家研究和擴充為股中容直，勾中容橫，由此產生一套具有中國傳統數學特色的求解直角三角形幾何學問題的方法，廣泛用於在中國古代幾何學和測量學。中國古代沒有古希臘歐幾里得幾何學的平行線概念，採用容方、容橫、容直概念，收到異曲同工的效用。

《九章算術》第九卷《勾股》章第十五題；「今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？答曰三步十七分步之九。術曰：並勾股為法，勾股相乘為實，實如法而一，得方一步。」如圖直角三角形ABC中內接正方形DEFB。直角三角形高（股））H=AB，底長（勾）L=BC，正方形邊長為X。答案：以勾5步、股12步之和為分母（並勾股為法）；以勾5步、股12步之積為分子（勾股相乘為實），得勾中容方之邊長= 12x5/(12+5) = 60/17 = 3　9/17

劉徽為勾股容方的關係式，提供了兩個證明，一個是利用出入相補原理，即利用幾何圖形在移動、轉動時面積守恆，將幾何圖形重新排列，以求結果的方法。先將三角形ABC複製，倒置，和原三角形合併成為一個高為H、寬為L的長方形，如圖。將兩個邊長為X的正方形標以黃色，兩個大直角三角形標以紅色，兩個小直角三角形標以青色。再將左圖的兩個黃色正方形、兩個紅色大直角三角形、兩個青色小直角三角形，重新排列如右圖。從出入相補，面積守恆原理，左圖的面積和右圖的面積相等。左圖面積=HL， 右圖面積=X(H+L)

HL = X(H+L)

由此得出勾股容方的關係式：

邊長 X = HL / (H+L)

劉徽的第二個證明，利用相似三角形比率不變原理。劉徽注曰：「冪圖方在勾中，則方之兩廉各自成小勾股，其相與之勢，不失本率也」。 即內接正方形DEFB的兩邊DE,EF與直角三角形的三邊，各自形成小的直角三角形，而這兩個小直角三角形三邊的比率，和原來大直角三角形的三邊比率相同。劉徽從勾中容方中歸納出「不失本率」原理，即三個相似三角形比率相同。

AD : DE : AE = EF : FC : EC = AB : BC : AC

令股高為H，勾長為L，勾股容方的邊長為X，根據不失本率原理，

(H-X) : X = H : L

HL - XL = HX

HX + XL = HL

得勾股容方關係式　　　Ｘ＝ＨＬ／（Ｈ＋Ｌ）

股中容直

勾中容方 股中容直

勾中容方可以轉變為股中容直

將三角形ABC倒置，與之重疊成長方形ABCD 如圖；其次從勾中容方接觸點E畫水平線EM，垂直線EK，與長方形的邊相交，如圖，三角形ACD內接長方形KDME，構成股中容直。

圖中三角形ABC中內接紅色正方形１，三角形ADC中內接綠色長方形２。

中國古代數學中的一條定理，「勾中容方與股中容直，其積必等」由此而來。

由於三角形ABC相等三角形ADC，而三角形３＝三角形４；三角形５＝三角形６；所以從三角形ABC中減去三角形３，三角形５，剩下的正方形１，必然等於從三角形ADC中減去三角形４和三角形６後，所剩餘的長方形２。

即：

三角形ABC＝正方形１＋三角形３＋三角形５

三角形ADC＝長方形２＋三角形４＋三角形６

因為　三角形ABC＝三角形ADC

所以　正方形１＋三角形３＋三角形５＝長方形２＋三角形４＋三角形６

又因　三角形３＝三角形４

　　　三角形５＝三角形６

所以　正方形１＝長方形２

如以 X代表正方形邊長，H代表股高，L代表勾長

得勾股容方的另一關係式：

$X^{2}$ = (H-X) (L-X)

這個關係式和關係式 X = HL / (H+L) 等價；

$X^{2}$ = HL - HX - LX + $X^{2}$

由此得出 X = HL / (H+L)

今有邑方二百里各中開門

《九章算術》第九卷勾股章第十七題：「今有邑，方二百步，各中開門。出東門十五步有木，問出南門幾何步而見木？答曰：六百六十六步太半步。」

如圖，方城寬200步，出東門15步有一棵樹T，出南門X步到P點看到樹，求X.

根據上列「勾中容方與股中容直，其積必等」定理，可得

15 * X = 100 x 100 步

X = 10000 / 15 = 666.6 步

勾中容橫

勾中容橫 股中容直

今有邑，東西七里，南北九里，各開中門

再推廣一步，圖中三角形ABC中內接紅色橫長方形５，三角形ADC有內接長方形６。「勾中容橫，股中容直，二積皆等」。 由於三角形ABC相等三角形ADC，而三角形１＝三角形２；三角形３＝三角形４；所以從三角形ABC中減去三角形１，三角形３，剩下的長方形５必然等於三角形ADC減去三角形２，三角形４後，所剩餘的長方形６。

又因；長方形５＋三角形３＋三角形４＝長方形６＋三角形４＋三角形３

即　長方形EBCG ＝ 長方形HDCK

所以　EB x BC = FG x AB

又因；長方形５＋三角形１＋三角形２＝長方形６＋三角形１＋三角形２

即　長方形AHKB ＝ 長方形ADGE

所以　EF x AB = AE x EG

《九章算術》第九卷第十八題：「今有邑，東西七里，南北九里，各中開門。出東門十五里有木，問出南門幾何步而見木？答曰：三百一十五步。」

用勾中容橫與股中容直，其積必等定理

得　15X = 3.5 x 4.5

　　　X = 3.5 x 4.5 / 15 = 1.05 里 = 1.05 x 300 = 315 步

薄透鏡成像

薄透鏡成像

牛頓透鏡成像公式的勾股容方

薄透鏡成像的規律（包括牛頓透鏡成像公式）蘊含著勾股容方的關係式。加拿大科學家Harold Merklinger所著的關於攝影機鏡頭景深的書籍，封面上正是一幅「勾股容方」圖

如圖物距為D，像距為d，透鏡焦點為f，

透鏡成像公式：　1/f = 1/D + 1/d = (D+d) / Dd

即　　　f = Dd / (D+d)

這恰恰是勾股容方的關係式，即勾d，股D，容方長為f．

從勾中容方，股中容直，其積相等原理，可知圖中黃色正方形的面積＝藍色長方形的面積，

　(D-f) (d-f) = f*f

這正是著名的牛頓透鏡成像公式。

參考文獻

• 《九章算術》第九卷
• 吳文俊主編 《中國數學史大系》 第三卷 第三章 劉徽對勾股理論的論述 第三節 ISBN 7-303-04557-0
• Harold Merklinger: The INs and OUTs of FOCUS ISBN 0-9695025-0-8